解密18 圆与方程考点1 圆的方程题组一 直接求圆的方程调研1 一个圆经过以下三个点12A ⎫⎪⎭，(3,0)B -，(0,2)C -，且圆心在y 轴上，则圆的标准方程为A ．22211344x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22251344x y ⎛⎫⎛⎫+±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2251344x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭D ．22251344x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】设圆心坐标为()0,b ，半径为r ，则圆的方程为()222x y b r +-=，将12A ⎫⎪⎭，(3,0)B -，(0,2)C -三点代入，得()222222110292b rb r b r ⎧⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得54b =，216916r =． ∴圆的标准方程为22251344x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．【名师点睛】本题主要考查圆的标准方程，重点找出圆心及半径是关键，难度不大.根据题意设出圆心，利用圆心到三点的距离相等建立等式，从而求得标准方程. 题组二 利用圆的几何性质求圆的方程调研2 与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++= D ．()()22114x y +++=【答案】C【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上， 又圆心()1,1-到直线40x y --==设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --=的左上方，=0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=． 故选C ．调研3 在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，3)，B (4，6)，且圆心在直线x −2y −1=0上的圆的标准方程为________________． 【答案】(x −5)2+(y −2)2=17【解析】根据题意，圆经过点A(1，3)，B(4，6)，则圆心在线段AB 的垂直平分线上， 又由点A(1，3)，B(4，6)，则线段AB 的垂直平分线方程为2x +2y −14=0， 则有{x −2y −1=02x +2y −14=0 ，解得{x =5y =2，即圆心为(5，2)，圆的半径r 2=(5−1)2+(2−3)2=17， 故圆的方程为(x −5)2+(y −2)2=17．☆技巧点拨☆求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． 2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．附：（1）圆的标准方程：当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2=r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2=r 2．（2）圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0，其中D 2＋E 2－4F ＞0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．考点2 直线与圆的位置关系题组一 与圆有关的对称问题调研1 若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______． 【答案】4【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称，所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上，所以2260a b -++=，即3a b -=，，当点(a,b )与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a,b )≥4.故答案为4.☆技巧点拨☆1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称：（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称：（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．题组二 直线与圆、圆与圆的位置关系调研2 圆C 1:x 2+(y −1)2=1与圆C 2：(x +4)2+(y −1)2=4的公切线的条数为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A【解析】∵|C 1C 2|=√(0+4)2+(1−1)2=4，r 1=1，r 2=2，r 1+r 2=1+2=3，∴|C 1C 2|＞r 1+r 2， 所以圆C 1与圆C 2相离，有4条公切线． 故选A ．调研3 直线y =x +3被圆(x +1)2+y 2=4所截的弦长为 A ．1 B ．2 C ．√2D ．2√2【解析】直线方程可化为x −y +3=0，圆心到直线的距离为d =√12+12=√2，由垂径定理可得半弦长为√22−(√2)2=√2， 所以截直线所得弦长为2√2， 故选D ．调研4 两圆x 2+y 2+4x −4y =0和x 2+y 2+2x −8=0相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为 A ．4 B ．35√5 C ．125√5D ．65√5【答案】C【解析】∵两圆为x 2+y 2+4x ﹣4y =0 ①，x 2+y 2+2x ﹣8=0 ②，①﹣②可得x ﹣2y +4=0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程是x ﹣2y+4=0，∵x 2+y 2+4x ﹣4y =0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为2√2， ∴圆心到公共弦的距离为d =√12+22=25√5， ∴公共弦长=2√(2√2)2−(25√5)2=125√5．故选C ．调研5 已知直线l ：4y x =-+与圆C ：22(2)(1)1x y -+-=相交于P ，Q 两点，则⋅u u u r u u u rCP CQ ＝_______． 【答案】0【解析】根据题意，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1，圆心为（2，1），半径r ＝1，圆心C 到直线l 的距离d ==，则|PQ |＝2=PCQ ＝90°，故CP CQ ⋅=u u u r u u u r 0.故答案为0.调研6 若过点A (4，0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 A ．(－3，3) B ．[－3，3] C ．(－33，33) D ．[－33，33]【解析】解法1：如图，BC =1，AC =2，∴∠BAC =30°，∴－33≤k ≤33．故选D ．解法2：设直线l 的方程为y =k (x －4)，则由题意知，|2k －0－4k |1＋k 2≤1，∴－33≤k ≤33．故选D ．解法3：过A (4，0)的直线l 可设为x =my ＋4，代入(x －2)2＋y 2=1中得：(m 2＋1)y 2＋4my ＋3=0， 由Δ=16m 2－12(m 2＋1)=4m 2－12≥0得m ≤－3或m ≥3．∴l 的斜率k =1m ∈[－33，0)∪(0，33]，特别地，当k =0时，显然有公共点，∴k ∈[－33，33]．故选D ． 调研7 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅u u u u r u u u r＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 【解析】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A （0，1）的直线方程为y =kx +1，即：kx -y +1=0． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标为（2，3），半径R =1．1=，解得：12k k==故当4433k <<时，过点A （0，1）的直线与圆C ：()()22231x y -+-=相交于M ，N 两点． （2）设M ()11,x y ，N ()22,x y ，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y =kx +1，代入圆C 的方程()()22231x y -+-=， 可得()()2214170kxk x +-++=，∴()121222417,11k x x x x k k++==++，∴()()()2212121212212411111k k y y kx kx k x x k x x k++=++=+++=+， 由2121221248·121k k OM ON x x y y k++=+==+u u u u r u u u r ，解得 k =1， 故直线l 的方程为 y =x +1，即 x -y +1=0．圆心C 在直线l 上，MN 的长即为圆的直径，所以|MN |=2.☆技巧点拨☆解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．（2）圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．题组三 与圆有关的综合问题调研8 已知直线20x y a -+=与圆O ：222x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB △为等腰直角三角形，则实数a 的值为 A或 BCD【答案】B【解析】∵直线20x y a -+=与圆O ：222x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB △为等腰直角三角形，O ∴到直线AB 的距离为11,a =∴=故选B ．调研9 若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆2260x y x +-=截得的弦长为则双曲线的离心率为AB ．2CD 【答案】C【解析】因为圆的方程为22(3)9x y -+=2=，可设一条渐近线方程为0bx ay -=322c b a e =⇒=⇒=⇒== 故选C ．调研10 已知点M 是抛物线y 2=2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为 A ．10 B ．4√3 C ．8 D ．2√15【答案】D【解析】设圆心M (a 22， a)，而r 2=(a 22)2+(82)2，∴圆M 的方程为(x −a 22)2+(y −a )2=a 44+16，当y =0时，得x 2−a 2x +a 2−16=0，x 1+x 2=a 2，x 1x 2=a 2−16，∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√a 4−4a 2+64=√(a 2−2)2+60≥√60=2√15． 故选D ．调研11 已知过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切，且与直线10x ay -+=平行，则a =________________． 【答案】−2【解析】因为点P 在圆()2215x y -+=上，所以过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切的切线为()()21125,260x y x y --+=+-=，又该切线方程与直线10x ay -+=平行，得2, 2.a a -==-调研12 已知点()()2,0,0,2,A B -若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM △面积的最小值为________________． 【答案】2【解析】将圆22220x y x y +-+=化简成标准方程，得()()22112x y -++=，其圆心坐标为()1,1-，半径为r =()()2,0,0,2A B -，所以AB =，要求ABM △的面积最小，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心()1,1-到直线距离为，所以min d ==，故ABM S △的最小值22⨯=． 调研13 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为圆M:x 2+y 2−4x =0的圆心，直线l 与抛物线C 的准线和y 轴分别交于点P ，Q ，且P ，Q 的纵坐标分别为3t −1t ，2t(t ∈R ，t ≠0)． （1）求抛物线C 的方程； （2）求证：直线l 恒与圆M 相切．【解析】（1）圆心为(2，0)，半径为2，设抛物线C 的方程为y 2=2px(p ＞0)，因为焦点为圆M ：x 2+y 2−4x =0的圆心，所以p =4，因此抛物线C 的方程为y 2=8x ． （2）由题意可知，P (−2，3t −1t )，Q(0，2t)， 则直线PQ 方程为y −2t =2t−(3t−1t)2x ，即(t 2−1)x +2ty −4t 2=0，圆心M(2，0)到直线PQ 的距离2(2)22=2， 因此直线l 恒与圆M 相切．调研14 已知以点C （t ∈R ，且0t ≠）为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．（1）求证：OAB △的面积为定值；（2）设直线24y x =-+与圆C 交于点M ，N ，若OM ON =，求圆C 的方程． 【答案】（1）见解析；（2）()()22215x y -+-=．【解析】（1 设圆C 令0x =，得10y =，2y =；令0y =，得10x =，22x t =， ，即OAB △的面积为定值4． （2）因为OM ON =，CM CN =，所以OC 垂直平分线段MN ． 因为2MN k =-，所以12OC k =，所以212t t =，解得2t =或2t =-．当2t =时，圆心C 的坐标为()2,1，OC =此时点C 到直线24y x =-+的距离d =<，圆C 与直线24y x =-+相交于两点，符合题意；当2t =-时，圆心C 的坐标为()2,1--， OC =此时点C 到直线24y x =-+的距离d =>，圆C 与直线24y x =-+不相交， 所以2t =-不符合题意，舍去．综上，可得所求圆C 的方程为()()22215x y -+-=．调研15 已知点()2,2P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）当OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积. 【解析】（1）圆C 的方程可化为()22416x y +-=， 所以圆心为()0,4C ，半径为4，设(),M x y ，则()(),4,2,2CM x y MP x y =-=--u u u u r u u u r，由题意知0CM MP ⋅=u u u u r u u u r ，故()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=，由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是()()22132x y -+-=.（2）由（1）可知M 的轨迹是以点()1,3N为半径的圆. 由于OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥， 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13-， 所以l 的方程为1833y x =-+.又OM OP ==O 到lPM =， 所以POM △的面积为165.1．（河北省石家庄市辛集市中学2019-2020学年高三第三次月考数学）直线3y kx =+被圆()22-+x ()234-=y截得的弦长为AB．C．3D．3±【答案】D【解析】因为直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为()2,3到直线的距离1d ==1==，解得3k =±，故选D ．2．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期期中数学）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =A ．43-B ．34-CD ．2【答案】A【解析】由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为11=，解得43a =-，故选A ．3．（河南省郑州市2019-2020学年高三上学期第一次质量预测数学）直线340x y m ++=与圆222410x y x y +-++=相切，则m = A ．-5或15 B ．5或-15 C ．-21或1D ．-1或21【答案】A【解析】由圆22410x y x y +-++=，即22(1)(2)4x y -++=, 得圆心为(1,2)-，半径为2.直线340x y m ++=与圆22410x y x y +-++=相切，则圆心到直线的距离等于半径，即2d ==，解得：15m =或5-. 故选A.4．（福建省厦门市双十中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知两条平行直线1l ，2l 之间的距离为1，1l 与圆C ：224x y +=相切，2l 与C 相交于A ，B 两点，则AB =ABC ．3D．【答案】D【解析】根据题意，1l 与圆C ：224x y +=相切，则圆心C 到直线1l 的距离为2， 又由两条平行直线1l ，2l 之间的距离为1，则圆心C 到直线2l 的距离211d =-=，则2AB ==. 故选D ．5．（河北省承德市隆化县存瑞中学2019-2020学年高三上学期第二次质检数学）已知圆22:2+-=M x y ay()00>a截直线0x y +=所得线段的长度是则圆M 与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B【解析】圆()()2221:0,,M x y a a M a r a M +-=⇒=⇒到直线0x y +=的距离d =⇒ ()221220,2,2a a M r +=⇒=⇒=，又()2121,1,1N r MN r r MN =⇒=-<<12r r +⇒两圆相交. 故选B.6．（重庆南开中学2019-2020学年高三上学期第四次教学质量检测数学）已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为 A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-= D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，∵圆C 与直线3440x y ++=2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=．故选D ．7．（四川省棠湖中学2019届高三上学期第二次月考）已知两点A(a ，0)，B(−a ，0)(a >0)，若曲线x 2+y 2−2√3x −2y +3=0上存在点P ，使得∠APB =90°，则正实数a 的取值范围为 A ．(0，3] B ．[1，2] C ．[2，3] D ．[1，3]【答案】D【解析】因为∠APB =90°，所以点P 在圆x 2+y 2=a 2上，又点P 还在圆(x −√3)2+(y −1)2=1上，故|a −1|≤2≤a +1，解不等式可得1≤a ≤3， 故正实数a 的取值范围为[1，3]， 故选D ．8．（安徽首合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于A ．B ．CD ．【答案】B【解析】设圆心坐标为P （a ,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a =1， 所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长为，∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长的最小值为 故选B ．9．（安徽省黄山市2019届高三第一次质检）直线2x −y −√3=0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x +1)2+y 2=36的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A【解析】令x =0代入2x −y −√3=0可得P(0，−√3)，圆心坐标为(−1，0)，则P 与圆心的距离为√1+3=2，半径为6，可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2．故选A ．10．（河北省石家庄二中2019-2020学年高三年级上学期第三次联考）已知两点()1,0A -，()10B ,以及圆C ：222(3)(4)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅=u u u v u u u v，则r 的取值范围是A ．[]3,6 B ．[]3,5 C ．[]4,5D ．[]4,6【答案】D【解析】Q 0AP PB ⋅=u u u v u u u v，∴点P 在以()1,0A -，()1,0B 两点为直径的圆上， 该圆方程为221x y +=，又点P 在圆C 上，∴两圆有公共点，又两圆的圆心距5d ==，∴151r r -≤≤+，解得46r ≤≤.故选D.11．（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末质检）若直线y =x +m 与曲线y =√1−x 2有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围为 A ．(−1，1]∪{−√2} B ．{−√2，√2} C ．[−1，1)∪{√2} D ．(1，√2]【答案】C【解析】y =√1−x 2表示半圆，如图所示，∵直线y =x +m 与曲线y =√1−x 2有且只有一个公共点， ①d =√12()2=1，解得m =√2，m =−√2（舍去）；②代入（-1，0）可得0=−1+m ，m =1，代入（1，0）可得0=1+m ，m =−1． 综上，结合图象可得−1≤m <1或m =√2，故选C ．12．（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学）若直线x ﹣my +m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是 A ．（0，1） B ．（0，2） C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）【答案】D【解析】将圆与直线联立()22110x y x my m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得()()22212120m y m m y m m +-+++=，Q 图象有两个交点，∴方程有两个不同的实数根，即>0∆，由()()()22224142180=+-++=->mm m m m m ∆，得0m <.Q 圆()2211x y -+=都在x 轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，∴交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限，2122201m my y m +∴=<+，解得20m -<<，故选D.13．（四川省泸州市泸县第五中学2019-2020学年高三上学期期末考试数学）已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 【答案】22(2)10x y -+=.【解析】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上，结合题意知，AB 的垂直平分线为24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)=22(2)10x y -+=.14．（山东省济南市2019届高三上学期期末考试）过圆C:x 2+y 2−2x −3=0内一点P(2，1)作直线l ，则直线l 被圆C 所截得的最短弦长为________________． 【答案】2√2【解析】圆方程可化为（x ﹣1）2+y 2＝4，∴圆心C （1，0），半径r ＝2，|CP |=√1+1=√2，当截得的弦长最短时，CP ⊥l ，即P 为弦的中点，∴最短弦长为2√4−2=2√2．15．（甘肃省白银市会宁县第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）若圆C ：22(1)x y n ++=的圆心为椭圆M ：221x my +=的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则nm=______________． 【答案】8 【解析】21111,,0(11),4,8.2-=∴=++=∴=∴=QQ nm n n m m16．（广东省茂名市2019届高三第一次综合测试）已知O(0，0)，A(−2，2)，点M 是圆(x −3)2+(y −1)2=2上的动点，则ΔOAM 面积的最大值为________________． 【答案】6【解析】如图，由题设，得圆心C(3，1)，半径r =√2，OA =√22+22=2√2，直线OA 的方程为x +y =0，则ΔOAM 边OA 上的高ℎ就是点M 到直线OA 的距离，圆心C(3，1)到直线OA 的距离为d =√2=2√2，可得圆(x −3)2+(y −1)2=2上的点M 到直线OA 的距离的最大值为ℎmax =d +r =3√2，故ΔOAM 面积的最大值S =12OA ⋅ℎmax =12×2√2×3√2=6．17．（甘肃省兰州市城关区第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 向圆221(1)2x y -+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形AFBM 面积的最小值为________________． 【答案】12【解析】如下图所示：圆的圆心与抛物线的焦点重合，若四边形AFBM 的面积最小，则MF 最小， 即M 距离准线最近，故满足条件时，M 与原点重合，此时1,MF BF BM ===，此时四边形AFBM 面积112222△==⨯=BMF S S ， 故答案为12．18．（河北省石家庄市辛集市中学2019-2020学年高三第三次月考数学）已知圆C ：()()22344x y -+-=，直线l 过定点()1,0A ．（1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求△CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程． 【解析】（1）①若直线l 1的斜率不存在，则直线l 1：x ＝1，符合题意. ②若直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为()1y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1的距离等于半径22=，解得34k =. 所求直线l 1的方程是1x =或3430x y --=.（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为0kx y k --=， 则圆心到直线l 1的距离d =又∵△CPQ的面积12S d =⨯==∴当d S 取得最大值2.∴d =，∴ k ＝1 或k ＝7.故所求直线l 1的方程为 x －y －1＝0或7x －y －7＝0 .19．（江西省临川二中、临川二中实验学校2019-2020学年高三上学期第三次月考数学）已知椭圆22:+x E a21221(0),、=>>y a b F F b为其左、右焦点，12B B 、为其上、下顶点，四边形1122F B F B 的面积为2.点P 为椭圆E 上任意一点，以P 为圆心的圆（记为圆P ）总经过坐标原点O . （1）求椭圆E 的长轴12A A 的最小值，并确定此时椭圆E 的方程；（2）对于（1）中确定的椭圆E ，若给定圆()221:13F x y ++=，则圆P 和圆1F 的公共弦MN 的长是否为定值？如果是，求MN 的值；如果不是，请说明理由. 【解析】（1）依题意四边形1122F B F B 的面积为2,22,bc bc ∴=因为长轴122A A a ==≥=当且仅当1b c ==时取“=”，此时a =故长轴12A A的最小值为此时椭圆E 的方程为22 1.2x y +=（2）设点()00,P x y 为椭圆E 上任意一点，则222200001122x x y y +=⇒=-. 圆P 的方程为：()()22220000x x y y x y -+-=+ 2200220x y x x y y ⇒+--=，圆1F 的方程为：()2213x y ++=⇒22220x y x ++-=，两式作差得公共弦的方程为：()00110x x y y ++-=， 所以弦心距====d，则弦长2MN ==， 所以圆1F 和动圆P 的公共弦长为定值2.20．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期期中数学）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r求实数t 的取值范围.【解析】圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M （6，7），半径为5.（1）由圆心N 在直线x =6上，可设()06,N y . 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<， 于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=. （2）因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y =2x +m ，即2x -y +m =0，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA ===而222,2BC MC d =+（） 所以()252555m +=+，解得m =5或m =-15.故直线l 的方程为2x -y +5=0或2x -y -15=0. （3）设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=u u r u u r u u u r，所以……①，因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-=…….②， 将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上，从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点，所以5555,-≤≤+解得22t -≤≤+因此，实数t 的取值范围是22⎡-+⎣.21．（安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学）在平面直角坐标系xOy 中，圆O 为△ABC 的内切圆，其中(,),(2,1),(1,3)A m n B C --. （1）求圆O 的方程及A 点坐标；（2）在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q 使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQ λλ=为常数 )？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由(2,1),(1,3)B C --知直线BC 的方程为4350x y +-=， 由于圆O 与线段BC 相切，所以半径|5|15r -==，即圆O 的方程为221x y +=. 由题意221x y +=与线段AC 相切，所以线段AC 的方程为1x =-，即1m =-. 又221x y +=与线段AB 也相切，所以线段AB 的方程为1y =-，即1n =-. 故(1,1)A --.（2）设()00,,(,)Q x y P x y，则||PA =||PQ =若在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQ λλ=为常数)，=，对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，即()()22222200(1)(1)x y x x y y λλ+++=-+-， 整理得：()()()()()2222222200001222220xy x x y y x y λλλλ-++++++-+=，因为点Q 在直线AO 上，所以00x y =， 由于P 在圆O 上，所以221x y +=.故()22220022()320x x y x λλλ+++--=对任意[x y +∈恒成立，所以202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，显然0λ≠，所以021x λ=-，故22230λλ--=，因为0λ>，解得λ=1λ=，当1λ=时，(1,1)Q --，此时,Q A重合，舍去. 当λ=11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭， 综上，存在满足条件的定点11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭，此时λ= 22．（河南省郑州市2019届高三第一次质量预测）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C交于A ，B 两点，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为M ，N ，R 为准线上一点．（1）若AR//FN ，求|MR||MN|的值；（2）若点R 为线段MN 的中点，设以线段AB 为直径的圆为圆E ，判断点R 与圆E 的位置关系． 【解析】（1）F(1，0)，设直线l 方程为x =my +1，由{y 2=4x ，x =my +1， 得y 2−4my −4=0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则y 1，2=4m±√16m 2+162=2m ±2√m 2+1，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4．由题知M(−1，y 1)，N(−1，y 2)，设R(−1，y R )，把各个点坐标代入方程，分别求出以下点坐标：A(2m 2+1−2m√m 2+1，2m −2√m 2+1)，F(1，0)，N(−1，2m +2√m 2+1)， 利用平行关系，可得AR =λFN ，代入点坐标，可得|MR||MN|=12． （2）若R 是MN 的中点，则R(−1，2m)，RA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅RB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1+1，y 1−2m)⋅(x 2+1，y 2−2m) =(my 1+2，y 1−2m)⋅(my 2+2，y 2−2m) =(my 1+2)⋅(my 2+2)+(y 1−2m )⋅(y 2−2m )=(m 2+1)y 1y 2+4m 2+4=0．因此，R 在以AB 为直径的圆上．1．（2018新课标全国Ⅲ理科）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【解析】Q 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--，则AB =．Q 点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△．故答案为A ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可．2．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， ∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．3．（2017新课标全国Ⅲ理科）若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 A ．2 BCD【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 4．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 ABCD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===， 故选A ．5．（2017新课标全国Ⅲ理科）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，则()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r，易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+， 设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．6．（2016新课标全国Ⅲ理科）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB|=，|DE|=C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6D ．8【答案】B【解析】如图，设抛物线方程为22y px =，圆的半径为r ，,AB DE 交x 轴于,M F 点，则||AM =，即A点纵坐标为A 点横坐标为4p，即4||OM p=，由勾股定理知2222||||||DF OF DO r +==，2222||||AM OM AO r +==，即22224()()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B ．7．（2016新课标全国Ⅲ理科）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=A ．43-B ．34- CD ．2【答案】A【解析】圆的方程可化为22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得1d ==，解得43a =-，故选A ．【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d >r ，则直线与圆相离；若d =r ，则直线与圆相切；若d <r ，则直线与圆相交．（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x (或y )的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ=0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切； 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交． 提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．8．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________________．【答案】3【解析】如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，||||AM AN b ==，而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=o ，点(,0)A a 到直线by x a=的距离||AP =．在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即a =，由222c a b =+得2c b =，所以3c e a ===． 9．（2016新课标全国Ⅲ理科）已知直线l：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D两点，若AB =||CD =________________． 【答案】4【解析】因为||AB =，且圆的半径为r =，所以圆心(0,0)到直线30mx y m ++=的距3=，3=，解得3m =-，代入直线l 的方程，得3y x =+所以直线l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．10．（2018新课标全国Ⅱ理科）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）1y x =-；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 【解析】（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 216160k ∆=+>，故122224kx k x ++=． 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去）或1k =， 因此l 的方程为1y x =-．（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．11．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）直线l 的方程为20x y --=，圆M 的方程为()()223110x y -+-=；或直线l 的方程为240x y +-=，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=． 【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，:2l x my =+． 由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩ 可得2240y my --=，则124y y =-． 又221212,22y y x x ==，故()2121244y y x x ==． 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -⋅==-， 所以OA OB ⊥，故坐标原点O 在圆M 上．（2）由（1）可得()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+．故圆心M 的坐标为()22,m m +，圆M 的半径r =由于圆M 过点()4,2P -，因此0AP BP ⋅=u u u r u u u r，故()()()()121244220x x y y --+++=， 即()()1212121242200x x x x y y y y -+++++=， 由（1）可得12124,4y y x x =-=． 所以2210m m --=，解得1m =或12m =-． 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为()3,1，圆M M 的方程为()()223110x y -+-=．当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=．12．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或.【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.。
