华师大版九年级数学上册第22章第2节22.2.5一元二次方程的根与

一元二次方程根的判别式
华东师大版九年级上册
学习目标
1. 能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论 证；
2. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.
回忆
新课导入
我们用配方法推导一元二次方程求根公式的过
程中，得到

x

b 2a
2

b2 4ac 4a2
.
（✻）
试一试
已知关于 x 的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0. 当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？ 当 k 取何值时，方程没有实数根？
解：因为 Δ = [– (3 + 4k)]2 – 4×2×(2k2 + k) = 16k + 9.
（2）当 b2 – 4ac = 0 时，方程 （✻）的右边是
0，因此方程有两个相等的实数根：
x1

x2


b； 2a
（3）当 b2 – 4ac < 0 时，方程 （✻）的右边是
一个负数，而对于任何实数 x，方程左边

x

b 2a
2

0，因此方程没有实数根.
概括
这里 b2 – 4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通 常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二 次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的实数根的情况：
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
例7 解下列方程： （1）3x2 = 5x – 2； （3）4(y2 + 4) – y = 0；

2x1x2 的值为 2
.
17．已知一元二次方程 x2－ax－2a＝0 的两根之和为 4a－3，则两根之积为
－2 .
18．(2018·达州)已知：m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0 且 mn≠1，则
mn＋nn＋1的值为 3
.
19．(2018·遂宁)已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋a＝0 的两实数根 x1， x2 满足 x1x2＋x1＋x2＞0，求 a 的取值范围．
A．－4
B．3
C．－34
4 D.3
3．一元二次方程 x2－3x－2＝0 的两根为 x1，x2，则下列结论正确的是 ( C)
A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝－2
C．x1＋x2＝3 D．x1x2＝2
4．如果关于 x 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的两根分别为 x1＝2，x2＝－ 1，那么 p，q 的值分别是( B )
(1)(x1＋1)(x2＋1)； 解：x1＋x2＝－2，x1x2＝－12，∴(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－32
(2)x12－3x1x2＋x22. 解：x12－3x1x2＋x22＝(x1＋x2)2－5x1x2＝6.5
易错点：忽视判断 b2－4ac 的符号而出错 13．若关于 x 的一元二次方程 x2＋kx＋4k2－3＝0 的两个实数根分别是 x1，
解：(1)∵(x1－1)(x2－1)＝28，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝28，∴m2＋5－2(m＋1) ＋1＝28，解得 m＝－4 或 6，又 b2－4ac≥0，∴m≥2，∴m＝6
(2)当 7 为底边时，此时方程 x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0 有两个相等的实数 根，∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得 m＝2，∴方程变为 x2－6x＋9＝0，解 得 x1＝x2＝3，∵3＋3<7，∴不能构成三角形；当 7 为腰时，设 x1＝7，代入方程 得 49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得 m1＝10，m2＝4，当 m＝10 时方程变为 x2－ 22x＋105＝0，解得 x1＝7，x2＝15，∵7＋7<15，不能构成三角形；当 m＝4 时方 程变为 x2－10x＋21＝0，解得 x1＝3，x2＝7，此时三角形的周长为 7＋7＋3＝17

22.2.5 一元二次方程的根 与系数的关系
九年级上
学习目标
1. 理解一元二次方程根与系数的关系；
重点
2. 了解一元二次方程根与系数的关系的简单应用.
难点
新课引入
1. 求出一元二次方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根 x1 和 x2，并计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值． 2. 观察它们与方程的系数有什么关系？
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等
于常数项与二次项系数的比．
注意：满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac ≥ 0.
针对训练
1. 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和 与积：
(1) x2 - 6x - 15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0；(3) 5x - 1 = 4x2.
(1) am2 + bm + c = 0；(2) an2 + bn + c = 0；(3) m + n = - ；
(4) an2 + bm + c = 0；(5) am2 + bn＋c＝0；(6) mn = .
3. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - (2m - 2)x + m2 - 2m = 0 的两实数根为 x1，x2，且 x12+x22 = 10，求 m 的值. 解：由题意可知 Δ = ( 2m - 2 )2 - 4(m²- 2m) = 4 > 0， ∴无论 m 取任何值，方程有两个不相等的实数根. ∵x1 + x2 = 2m - 2， x1x2 = m²- 2m， ∴x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10， ∴(2m - 2)2 - 2(m2 - 2m) = 10， ∴m2 - 2m - 3 = 0， ∴m = -1或 m = 3.

2 3
(2).2x2+5=0
2x2=-5 x2= 2
5
所以x无解
开平方法：
适用范围：形如ax2+c＝0（其中a≠0）形式
步骤(1):通过移项、两边同除以a，
原方程变形为x2 ＝- c
a
步骤(2):当a,c异号时，- c ＞0,方程的根为
a
x= c
a
当a,c同号时，-
c
＜0，方程没有实数根
解得:x1=
5 3
,x2= 2
2.x2-7x+12=0
原方程可变形为(x-4)(x-3)=0
得x-4=0 或 x-3=0
解得：x1=4,x2=3
3.2x(x-2)=x2+5
原方程可变形为x2-4x-5=0 有(x-5)(x+1)=0 解得:x1= 5,x2=-1
4.2x(2x+5)-(x-1)(2x+5)=0
因式分解法：
把一元两次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而
把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，像
这样解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
1.背诵1~25的乘方表 2.书p29/2.(1)(3)(5) 3.书p32/2.(2)(4) 3.(2)(3)(4)
当c
＝0时，-
c
a
＝0，方程的根
a
x1=x2=0
（1）-7x2+21 ＝0 （2）（1+x2） ＝ 16 （3）2（x+3）2-49 ＝0
如何解决形如ax2+bx=0（a≠0）的方程？
ax2+bx=0
因式分解
x(ax+b)=0