高考数学(理)一轮复习课时训练：第9章平面解析几何50Word版含解析

第48节 双 曲 线一、选择题1．(2018合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】由题意得ba ＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4.故选B.2．(2018广州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝1【答案】A【解析】由题意知⎩⎨⎧a 2＋b 2＝25，1＝ba ×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝5，∴双曲线C的方程为x 220－y 25＝1.3．(2018浙江桐乡一中模拟)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)的离心率等于33b ，则该双曲线的焦距为( )A ．2 5B ．26C ．6D ．8【答案】D【解析】设双曲线的焦距为2c .由已知得c 2＝33b ，又c 2＝4＋b 2，解得c ＝4，则该双曲线的焦距为8.4．(2018山西平遥中学月考)已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由题意知双曲线的一个顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，一条渐近线的方程为mx －3y ＝0，则顶点到渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13×3m 2＋9＝15， 解得m ＝4.5．(2018湖南六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B ．x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D ．x 24－y 23＝1【答案】C【解析】由已知可得交点(3,4)到原点O 的距离为圆的半径，则半径r ＝32＋42＝5，故c ＝5，a 2＋b 2＝25，又双曲线的一条渐近线y ＝ba x 过点(3,4)，故3b ＝4a ，可解得b ＝4，a ＝3.故选C.6．(2018南昌调研)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【答案】A【解析】由题意，不妨设|PF 1|＞|PF 2|， 则根据双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，联立解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c ＞a ， 所以|PF 2|＜|F 1F 2|.所以∠PF 1F 2＝30°.所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2×2c ×4a cos 30°， 得c ＝3a .所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，即2x ±y ＝0. 7．(2018江苏无锡模拟)已知A ，B 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点，点O 为坐标原点．若双曲线C 的离心率为2，P A ，PB ，PO 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1k 2k 3的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，39B ．(0，3)C ．(0,33)D ．(0,8)【答案】C【解析】因为e ＝ca ＝2，所以b ＝3a .设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20a 2－y 20b 2＝1，k 1·k 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a 2＝b 2a2＝3.又双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以0＜k 3＜ 3.所以0＜k 1k 2k 3＜33.故选C.8．(2018沈阳质量监测)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为点A ，B ，则P A →·PB →的值是( )A ．－38B ．316C ．－38 D ．不能确定【答案】A【解析】设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线方程分别是x3－y＝0，x3＋y ＝0，所以可取|P A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03－y 013＋1，|PB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03＋y 013＋1.又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos 2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos ∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 203－y 2043·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－38.故选A. 二、填空题9．(2018武汉武昌区调研)双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于__________．【答案】8【解析】双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8. 10．(2018山东烟台模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为__________．【答案】233【解析】双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个焦点坐标为(c,0)．由题意得|bc －a ×0|b 2＋a 2＝14×2c .所以c ＝2b ，a ＝c 2－b 2＝3b ，所以e ＝c a ＝23＝233.三、解答题11．(2018河南安阳一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：y ＝x 与直线l 2：y ＝－x 之间的阴影部分为W .区域W 中动点P (x ，y )到l 1，l 2的距离之积为1.(1)求点P 的轨迹C 的方程．(2)动直线l 穿过区域W ，分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点．若直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB 的面积恒为定值．(1)【解】由题意得|x －y |2·|x ＋y |2＝1，所以|(x ＋y )(x －y )|＝2.因为点P 在区域W 内，所以x ＋y 与x －y 同号， 所以(x ＋y )(x －y )＝x 2－y 2＝2， 所以点P 的轨迹C 的方程为x 22－y 22＝1. (2)【证明】设直线l 与x 轴相交于点D .当直线l 的斜率不存在时，|OD |＝2，|AB |＝22，S △OAB ＝12|AB |·|OD |＝2.当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx＋m ，显然k ≠0，m ≠0，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k ，0.把直线l 的方程与C ：x 2－y 2＝2联立得 (k 2－1)x 2＋2km x ＋m 2＋2＝0.由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，知Δ＝4k 2m 2－4(k 2－1)·(m 2＋2)＝0，得m 2＝2(k 2－1)＞0，所以k ＞1或k ＜－1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝x得y 1＝m 1－k ，同理得y 2＝m1＋k.所以S △OAB ＝12|OD ||y 1－y 2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ⎪⎪⎪⎪⎪⎪m1－k －m 1＋k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 21－k 2＝2.综上， △OAB 的面积恒为定值2.。

第49节 抛 物 线一、选择题1．(2018沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0【答案】C【解析】将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a .故选C. 2．(2018辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2B ．12C ．32D ．52【答案】C【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4.又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3.所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.3．(2018邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点．若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意可设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋12)＋(x 2＋12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.故选C.4．(2018河北三市联考)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A.53 B ．75 C ．97 D ．2【答案】A【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2.又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，解得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53. 5．(2018广东汕头联考)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．25－1B ．25－2C ．17－1D ．17－2【答案】C【解析】由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.故选C. 二、填空题6．(2018沈阳质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过点P 作P A ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝________.【答案】43【解析】设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝2 33，设P (x 0，y 0)，则x 0＝±2 33，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|P A |＝y 0＋1＝43.7．(2018云南检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与圆M 相切，那么p 的值为__________．【答案】12或4【解析】将圆M 的方程化为标准方程为(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心的坐标为(－4,0)，半径r ＝2.又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴|4－p2|＝2，解得p ＝12或4.8．(2018兰州、张掖联考)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C .若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是__________．【答案】y 2＝3x【解析】分别过点A ，B 作准线的垂线AE ，BD ，分别交准线于点E ，D (图略)，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°.又|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点．根据题意，得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x .三、解答题9．(2018辽宁葫芦岛模拟)已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F ，圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p .(1)求直线l 的斜率；(2)若直线l 与抛物线交于A ，B 两点，△WAB 的面积为8，求抛物线的方程．【解】(1)易知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F (p,0)，由题意知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋p ，因为W (－p,0)，所以点W 到直线l 的距离为|－p －p |1＋(－m )2＝p ，解得m ＝±3，所以直线l 的斜率为±33.(2)由(1)知直线l 的方程为x ＝±3y ＋p ，由于两条直线关于x 轴对称，不妨取x ＝3y ＋p ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＋p ，y 2＝4px ，消去x 得y 2－43py－4p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43p ，y 1y 2＝－4p 2，所以|AB |＝1＋(3)2·(43p )2＋4×4p 2＝16p .因为△WAB 的面积为8，所以12p ×16p ＝8，解得p ＝1. 所以抛物线的方程为y 2＝4x .10．(2018合肥质检)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)，O 是坐标原点，点A ，B 为抛物线C 1上异于O 点的两点，以OA 为直径的圆C 2过点B .(1)若A (－2,1)，求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)． 【解】(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上，∴4＝2p ，p ＝2.又圆C 2的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，半径为|OA |2＝52，∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.(2)记A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p )，则OB →＝(x 2，x 222p )，AB →＝(x 2－x 1，x 22－x 212p )．由OB →·AB →＝0，知x 2(x 2－x 1)＋x 22(x 22－x 21)4p 2＝0.∵x 2≠0，且x 1≠x 2，∴x 22＋x 1·x 2＝－4p 2.∴x 1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4p 2x 2.∴x 21＝x 22＋16p 4x 22＋8p 2≥216p 4＋8p 2＝16p 2，当且仅当x 22＝16p 4x 22，即x 22＝4p 2时取等号．又|OA |2＝x 21＋x 414p 2＝14p 2(x 41＋4p 2·x 21)，且x 21≥16p 2，∴|OA |2≥14p 2(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2.而S ＝π·|OA |24，∴S ≥20πp 2，即S 的最小值为20πp 2，当且仅当x 22＝4p 2时取得．。

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.9 圆锥曲线中求值与证明问题题型一 求值问题例1 (12分)(2021·新高考全国Ⅰ)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程； [切入点：双曲线定义](2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和. [关键点：利用等式列式]教师备选已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，F 是椭圆C 的一个焦点，点M (0,2)且|MF |＝10.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为N ，且满足|AM |＝|BN |，求l 的方程．解 (1)由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ，c 2＋4＝10，b 2＋c 2＝a 2，解得a ＝22，b ＝2，故椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1. (2)根据题意可得，点A 必在点B 的上方，才有|AM |＝|BN |.当l 的斜率不存在时，|AM |＝2－2，|BN |＝2，|AM |≠|BN |，不合题意，故l 的斜率必定存在．设l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 28＋y 22＝1，y ＝kx ＋2，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋8＝0，Δ＝(16k )2－32(1＋4k 2)＝128k 2－32>0，即k 2>14. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝81＋4k 2. 设N (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－8k 1＋4k 2. 由|AM |＝|BN |可得，|AB |＝|MN |，所以1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|x 0－0|，则x 1＋x 22－4x 1x 2＝|x 0|， 即424k 2－11＋4k 2＝⎪⎪⎪⎪8k 1＋4k 2， 整理得k 2＝12>14， 故k ＝±22，l 的方程为y ＝±22x ＋2. 思维升华 求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．跟踪训练1 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，P 为椭圆上任意一点，且△PF 1F 2面积的最大值为 3.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设A (4,0)，直线y ＝kx ＋1与椭圆M 交于C ，D 两点，若直线AC ，AD 均与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相切，求k 的值．解 (1)当点P 位于椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，即(12PF F S △)max ＝12·|F 1F 2|·b ＝3， 解得b ＝3，又a 2＝b 2＋c 2，∴c ＝1，a ＝2，∴椭圆M 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋1，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，Δ>0，∴x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k 2， ∵直线AC ，AD 都与圆相切，∴k AC ＋k AD ＝0，即y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝0， ∴y 1x 2－4y 1＋y 2x 1－4y 2x 1－4x 2－4＝0， ∴2kx 1x 2＋(1－4k )(x 1＋x 2)－8＝0，即－83＋4k 2×2k －(1－4k )8k 3＋4k 2－8＝0， 即－24k ＝24，∴k ＝－1.题型二 证明问题例2 (2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F (2，0)，且离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2＋y 2＝b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |＝ 3. (1)解 由题意得， 椭圆半焦距c ＝2且e ＝c a ＝63， 所以a ＝3，又b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)证明 由(1)得，曲线为x 2＋y 2＝1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x ＝1，不符合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN ：y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1(x >0)相切可得|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝±x －2，x 23＋y 2＝1，可得4x 2－62x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝322，x 1·x 2＝34， 所以|MN |＝1＋1·x 1＋x 22－4x 1·x 2＝3，所以必要性成立；充分性：设直线MN ：y ＝kx ＋b (kb <0)，即kx －y ＋b ＝0，由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1(x >0)相切可得|b |k 2＋1＝1，所以b 2＝k 2＋1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，x 23＋y 2＝1， 可得(1＋3k 2)x 2＋6kbx ＋3b 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－6kb 1＋3k 2，x 1·x 2＝3b 2－31＋3k 2， 所以|MN |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1·x 2＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫－6kb 1＋3k 22－4·3b 2－31＋3k 2 ＝1＋k 2·24k 21＋3k 2＝3， 化简得3(k 2－1)2＝0，所以k ＝±1，所以⎩⎨⎧ k ＝1，b ＝－2或⎩⎨⎧ k ＝－1，b ＝2，所以直线MN ：y ＝x －2或y ＝－x ＋2，所以直线MN 过点F (2，0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立，所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |＝ 3.高考改编在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，离心率为12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，分别过A ，B 作C 的切线l 1，l 2，且l 1与l 2交于点P ，证明：O ，P ，M 三点共线．(1)解 由⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 由题意知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，P (x 3，y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝12， 整理得3(m 2y 2＋2my ＋1)＋4y 2＝12，即(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m 3m 2＋4， x 0＝43m 2＋4， ∴k OM ＝－34m . 直线l 1的方程为x 1x 4＋y 1y 3＝1，① 直线l 2的方程为x 2x 4＋y 2y 3＝1，② ②－①⇒y 3(y 2－y 1)＝x 4(x 1－x 2) ⇒y x ＝34·x 1－x 2y 2－y 1＝－34m ， ∴y 3x 3＝－34m ＝k OP ， ∴k OM ＝k OP ，即O ，P ，M 三点共线．教师备选(2022·湖南师大附中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆的短轴顶点到焦点的距离为 6.(1)求该椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，求证：直线l 与某个定圆E相切，并求出定圆E 的方程．解 (1)∵椭圆的短轴顶点到焦点的距离为6， ∴b 2＋c 2＝a ＝6，∵椭圆的离心率e ＝c a ＝22， ∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 26＋y 23＝1. (2)∵|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，∴OA →⊥OB →，则OA →·OB →＝0，①当直线l 的斜率不存在时，设l ：x ＝t ，代入椭圆方程得，y ＝±6－t 22， 不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，6－t 22，B ⎝⎛⎭⎪⎫t ，－6－t 22， 由OA →·OB →＝0得，t 2－3＋t 22＝0，解得t ＝±2， 此时l ：x ＝±2，与圆x 2＋y 2＝2相切；②当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝6，y ＝kx ＋m 得， (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0，则Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－6)>0，化简得m 2<6k 2＋3，①由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2， 则y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－6k 21＋2k 2， 由OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0可得，2m 2－61＋2k 2＋m 2－6k 21＋2k 2＝0， 整理得，m 2＝2k 2＋2，满足①式， ∴|m |k 2＋1＝2，即原点到直线l 的距离为2， ∴直线l 与圆x 2＋y 2＝2相切．综上所述，直线l 与圆E ：x 2＋y 2＝2相切．思维升华 圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明． 跟踪训练2 双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 点为圆心，a 为半径的圆与C 的渐近线相切．(1)求C 的离心率；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫22a ，0，过F 点的直线与C 的右支交于M ，N 两点，证明：F 点到AM ，AN 的距离相等． (1)解 双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为bx ±ay ＝0，令点F (c,0)，则c 2＝a 2＋b 2，因为以F 点为圆心，a 为半径的圆与C 的渐近线相切， 则bc a 2＋b 2＝a ， 整理得b ＝a ，c ＝2a ，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a＝ 2. (2)证明 由(1)知，双曲线C 的方程为2x 2－2y 2＝c 2，点A ⎝⎛⎭⎫12c ，0，显然直线MN 不垂直于y轴，设直线MN ：x ＝my ＋c ，因为直线MN 与双曲线右支交于两点，则直线MN 与双曲线的两条渐近线x ±y ＝0在y 轴右侧都相交，于是得－1<m <1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋c ，2x 2－2y 2＝c 2消去x 得2(m 2－1)y 2＋4cmy ＋c 2＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2cm m 2－1，y 1y 2＝c 22m 2－1， 直线AM 的斜率k AM ＝y 1x 1－12c ＝y 1my 1＋c －12c ＝2y 12my 1＋c ， 同理，直线AN 的斜率k AN ＝2y 22my 2＋c ， 于是得k AM ＋k AN ＝2y 12my 1＋c ＋2y 22my 2＋c＝8my 1y 2＋2c y 1＋y 22my 1＋c 2my 2＋c＝8m ·c 22m 2－1＋2c ⎝⎛⎭⎫－2cm m 2－12my 1＋c 2my 2＋c＝0， 因此，直线AM 与AN 的倾斜角互补，则直线AM 与AN 关于x 轴对称，而点F 在x 轴上， 所以点F 到直线AM 与AN 的距离相等．课时精练1．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线与x 轴的交点为A (－1,0)．(1)求C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点．求证：1|PM |2＋1|QM |2为定值． (1)解 由题意，可得－p 2＝－1，即p ＝2， ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 设直线l 的方程为x ＝my ＋2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4my －8＝0，则Δ＝16(m 2＋2)>0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－8，又|PM |＝1＋m 2|y 1|，|QM |＝1＋m 2|y 2|.∴1|PM |2＋1|QM |2＝11＋m 2y 21＋11＋m 2y 22＝y 21＋y 221＋m 2y 21y 22＝16m 2＋16641＋m 2＝1＋m 241＋m2＝14. ∴1|PM |2＋1|QM |2为定值．2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1.所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. (2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ,0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0,2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k 2， 代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k 2， 所以直线OP 的斜率y P x P ＝4－5k 2－10k. 在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k. 由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k 2. 由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝⎛⎭⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305. 所以直线PB 的斜率为2305或－2305.3．(2022·莆田质检)曲线C 上任意一点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＝4的距离之比等于22，过点M (4,0)且与x 轴不重合的直线l 与C 交于不同的两点A ，B . (1)求C 的方程；(2)求证：△ABF 内切圆的圆心在定直线上． (1)解 设P (x ，y )，由题意，x －22＋y 2|x －4|＝22⇒(x －2)2＋y 2 ＝12(x －4)2， 化简得x 28＋y 24＝1， 即C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明 设直线l ：x ＝my ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将l 代入C 得(m 2＋2)y 2＋8my ＋8＝0，∴⎩⎨⎧ Δ＝64m 2－32m 2＋2>0⇒m 2>2，y 1＋y 2＝－8m m 2＋2，y 1·y 2＝8m 2＋2.设直线AF 与BF 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1my 1＋2＋y 2my 2＋2 ＝2my 1y 2＋2y 1＋y 2my 1＋2my 2＋2 ＝2m ·8m 2＋2＋2⎝⎛⎭⎫－8m m 2＋2my 1＋2my 2＋2＝0. ∴k 1＝－k 2，则∠BFM ＝π－∠AFM ，∴直线x ＝2平分∠AFB ，而三角形内心在∠AFB 的角平分线上， ∴△ABF 内切圆的圆心在定直线x ＝2上．4．(2022·深圳光明区模拟)已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，E (0,1)，过焦点F 2，且斜率为16的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且满足AF 1→＝2BO →. (1)求C 的方程；(2)过点D ⎝⎛⎭⎫－32，0且斜率不为0的直线l 交C 于M ，N 两点，且|EM |＝|EN |，求直线l 的方程． 解 (1)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±1ax ， 过F 2(c,0)，且斜率为16的直线方程为 y ＝16(x －c )， 由⎩⎨⎧ y ＝1a x ，y ＝16x －c得A ⎝⎛⎭⎫ac a －6，c a －6， 由⎩⎨⎧ y ＝－1a x ，y ＝16x －c得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac a ＋6，－c a ＋6， 由于AF 1—→＝2BO →，即⎝⎛⎭⎫－c －ac a －6，－c a －6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2ac a ＋6，2c a ＋6， 所以－c a －6＝2c a ＋6，解得a ＝2. 所以双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1. (2)设l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋32(k ≠0)， 由⎩⎨⎧ y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋32，x 24－y 2＝1，消去y 并化简得(1－4k 2)x 2－12k 2x －9k 2－4＝0，Δ＝144k 4＋4(1－4k 2)(9k 2＋4)＝16－28k 2>0，k 2<47且k ≠0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 21－4k 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋3)＝k ⎝⎛⎭⎫12k 21－4k 2＋3 ＝3k 1－4k 2， 所以M ，N 的中点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6k 21－4k 2，32k 1－4k 2， 由于|EM |＝|EN |，所以EG ⊥MN ，k EG ·k MN ＝－1，32k 1－4k 2－16k 21－4k 2－0·k ＝－1， 化简得8k 2＋15k －2＝0，(k ＋2)(8k －1)＝0，解得k ＝－2或k ＝18， 由于k 2<47且k ≠0， 所以k ＝18， 所以直线l 的方程为y ＝18⎝⎛⎭⎫x ＋32.。

与距离有关的问题
典例突破
例4.(1)若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:x+ny-3=0之间的距离是√5 ,
则m+n=(
)
A.0
C.-2
B.1
D.-1
(2)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则实数a的取值范围
为
.
答案 (1)A
解析
(2)[0,10]
1
(1)由两直线平行,得1
)
记 P 的轨迹为 E,则(
A.E 是一个半径为√5的圆
B.E 是一条与 l 相交的直线
C.E 上的点到 l 的距离均为√5
D.E 是两条平行直线
答案 (1)C
(2) C
解析(1)因为直线 x-y-m=0 与直线 mx+y-4=0 平行,所以

m≠0,且 1
=
1
-1
≠
-4
,解
-
得 m=-1,即两直线为直线 x-y+1=0 与直线 x-y+4=0,所以它们之间的距离为
式.
2 -1
提示
· = -1,
2 -1
1 +2
2
=
1 +2
·
+ .
2
常用结论
1.两种求直线方程的设法
(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线可设为Bx-Ay+m=0.
(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线可设为Ax+By+n=0.
2.六种常见的对称点
(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).