2015-2016学年《高等数学AI》期末考试试卷

南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学卷2016.01一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1．命题：“ x ∈Q ，x 2－8＝0”的否定是▲．2．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px 经过点(4，2)，则实数p ＝▲．3．在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＋21＝0的半径为▲．4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程是▲．5．已知p ：0＜m ＜1，q ：椭圆x 2m ＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则p 是q 的▲条件（用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”填空）．6．函数f (x )＝x ＋sin x 的图象在点O (0，0)处的切线方程是▲．7．已知实数x ，y≥1，≥0，＋y ≤2，则z ＝x －2y 的最大值是▲．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以正方形ABCD 的两个顶点A ，B 为焦点，且过点C 、D 的双曲线的离心率是▲．9．函数f (x )＝xex （e 为自然对数的底数）的最大值是▲．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (3，0)，动点P 满足2PO ＝PA ，则点P的轨迹方程是▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到点A (3，0)的距离等于它到准线的距离，则PA ＝▲．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t ＞0)围成的△OAB 的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是▲．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0和圆M ：x 2＋y 2＝9．若圆M 上存在点P ，使得P 到直线l 的距离为2，则实数m 的取值范围是▲．14．已知函数y ＝x 3－3x 在区间[a ，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值的差为2，则满足条件的实数a 的所有值是▲．xO y A B CD(第8题)二、解答题：本大题共6小题，共计58分．15．（本题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点(0，2)，其焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1＝4，求△PF1F2的面积．16．（本题满分10分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|x2－ax＜0}．（1）若a＝2，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过点A (1，0)，B (3，0)，C (0，1)．（1）求圆M 的方程；（2）若直线l ：mx －2y －(2m ＋1)＝0与圆M 交于点P ，Q ，且MP →·MQ →＝0，求实数m 的值．18．（本题满分10分）A 、B 两地相距300km ，汽车从A 地以v km/h 的速度匀速行驶到B 地（速度不超过60km/h ）．已知汽车每小时．．．的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v 的立方成正比，比例系数为11000．设全程的运输成本为y 元．（1）求y 关于v 的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？已知函数f(x)＝ln x．（1）若直线y＝2x＋p(p∈R)是函数y＝f(x)图象的一条切线，求实数p的值．（2）若函数g(x)＝x－mx－2f(x)(m∈R)有两个极值点，求实数m的取值范围．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2m＋8＋y2m＝1(m＞0)的离心率为63．（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，求满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值；若不存在，说明理由．南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．∀x ∈Q ，x 2－8≠02．123．24．y ＝±x 5．充要6．y ＝2x7．28．2＋19．1e10．x 2＋y 2＋2x －3＝011．312．2313．[－52，52]14．0和3－1二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解（1）由题意可知，c ＝5，b ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝9，……………………2分所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1．……………………4分（2）方法（一）由（1）可知，F 1F 2＝25，PF 1＋PF 2＝6，又PF 1＝4，所以PF 2＝2，…………………6分所以PF 12＋PF 22＝F 1F 22，所以PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为12×PF 1·PF 2＝4．……………………8分方法（二）由（1）可知e ＝53，设P (x 0，y 0)，因为PF 1＝4，所以3＋53x 0＝4，解得x 0＝35，…………………6分代入方程得15＋y 024＝1，解得|y 0|＝45，所以△PF 1F 2的面积为12×25×45＝4．……………………8分16．解（1）当a ＝2时，B ＝{x |0＜x ＜2}．………………………3分所以A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．………………………5分（2）a ＝0时，B ＝∅，a ＜0时，B ＝{x |a ＜x ＜0}，a ＞0时，B ＝{x |0＜x ＜a }．…………7分因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以a ≥3，即实数a 的取值范围为[3，＋∞)．……………………10分17．解（1）方法（一）设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，＋F＋1＝0，D＋F＋9＝0，＋F＋1＝0，…………………………2分＝－4，＝－4，＝3．所以圆M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0．……………………4分方法（二）线段AC的垂直平分线的方程为y＝x，线段AB的垂直平分线的方程为x＝2，＝x，＝2，解得M(2，2)．……………………2分所以圆M的半径r＝AM＝5，所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5．……………………4分（2）因为·＝0，所以∠PMQ＝π2．又由（1）得MP＝MQ＝r＝5，所以点M到直线l的距离d＝102．………………………8分由点到直线的距离公式可知，|2m－4－2m－1|m2＋4＝102，解得m＝±6．………………………10分18．解（1）由题意知y＝(v31000＋250)×300v＝300(v21000＋250v)（0＜v≤60）．……………………4分（2）设f(v)＝v21000＋250v，v＞0，则f′(v)＝v500－250v2，由f′(v)＝0得，v＝50，……………………6分当0＜v＜50时，f′(v)＜0，当50＜v＜60时，f′(v)＞0，…………………8分所以v＝50时，f(v)取得最小值，即y取得最小值．答：为使全程运输成本最小，汽车应以50km/h速度行驶．………………10分19．解（1）方法（一）由题意知f ′(x )＝1x．设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝2，解得x 0＝12，所以切点的坐标为(12，－ln2)，代入直线y ＝2x ＋p ，解得p ＝－1－ln2．……………………4分方法（二）f ′(x )＝1x，设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则切线的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0·x ＋ln x 0－1，又切线方程为y ＝2x ＋p ，2，ln x 0－1，解得p ＝－1－ln2．…………………4分（2）函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝1＋m x 2－2x ＝x 2－2x ＋mx 2．………………6分由题意可知，关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的正根x 1，x 2，…………………8分＞0，4－4m ＞0，解得0＜m ＜1．即实数m 的取值范围是(0，1)．…………………10分20．解（1）由题意a 2＝m ＋8，b 2＝m ，所以c 2＝a 2－b 2＝8．又椭圆的离心率为63，所以8m ＋8＝23，解得m ＝4．…………………3分（2）由（1）知椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1，所以A (0，2)．假设存在椭圆C 的一条弦AB 满足条件．方法（一）当AB 斜率不存在时，AB 的方程为x ＝0，显然符合题意，此时P (0，0)，r ＝1．……………………4分当AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，P (x 0，y 0)，x 2＋3y 2＝12，y ＝kx ＋2，消去y ，整理得，(1＋3k 2)x 2＋12kx ＝0，解得x ＝0或x ＝－12k1＋3k 2，……………………6分所以x 0＝－6k1＋3k 2，y 0＝21＋3k2．由21＋3k 2－0－6k 1＋3k 2－1×k ＝－1，得3k 2＋4k ＋1＝0，解得k ＝－1或k ＝－13．………………………9分所以直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22，或直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………10分方法（二）设P (x 0，y 0)，则B (2x 0，2y 0－2)．因为B 在椭圆C 上，所以(2x 0)2＋3(2y 0－2)2＝12，即x 20＋3(y 0－1)2＝3，所以x 20＋3y 20－6y 0＝0．①……………………5分设M (1，0)，则MP ⊥AB ，所以·＝0，即2x 0(x 0－1)＋(2y 0－4)y 0＝0，x 20＋y 20－x 0－2y 0＝0．②…………………7分0＝0，0＝0，0＝0，0＝2，(舍)0＝32，0＝32，0＝32，0＝12．当点P 为(0，0)时，直线AB 方程为x ＝0，r ＝1；当点P 为(32，32)时，直线AB 方程为y ＝－13x ＋2，r ＝102．当点P 为(32，12)时，直线AB 方程为y ＝－x ＋2，r ＝22．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………………10分。

绝密★启用前2015-2016学年四川省遂宁市高一上学期期末考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：139分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知是定义在上的偶函数，且当时，若对任意实数，都有恒成立，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．2、若函数唯一的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)。

下列命题中正确的是 A ．函数在区间(0,1)内有零点. B ．函数在区间(0,1)或(1,2)内有零点.C ．函数在区间[2,16)上无零点.D ．函数在区间(1,16)内无零点.3、函数的图象大致为4、已知、为任意两个非零向量，且，，，则 A ．三点共线 B ．三点共线 C ．三点共线 D ．三点共线5、将函数的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得函数的表达式是A ．B ．C ．D ．6、已知函数，则的值为A ．B ．C ．D ．7、设是平行四边形的对角线的交点，为平面上任意一点，则=A ．B ．C ．D ．8、设，则的大小关系A ．B ．C ．D ．9、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A ． B ．C ．D ．10、若角的终边经过点，则A ．B ．C ．D ．11、若，则A ．B ．C ．D ．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）12、有下列命题：①若函数对于任意的都有，则；②正切函数在定义域上单调递增；③曲线与曲线有三个公共点;④若∥，则有且只有一个实数，使；⑤已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是.其中正确命题的序号是 .13、若函数 (其中)的值域为，则的取值范围是 .14、化简：(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝ .15、sin(-3000)＝ .16、函数对于，都有，则的最小值为A．B．C．D．三、解答题（题型注释）17、已知函数． （1）若是偶函数，求实数的值；（2）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求的范围．18、已知函数(1) 若，求函数的零点；(2) 若函数在上为增函数，求的取值范围．19、已知函数(其中)的周期为，其图象上一个最高点为．(1) 求的解析式，并求其单调减区间；（2）当时，求出的最值及相应的的取值，并求出函数的值域.20、已知函数（1）判断函数的奇偶性；（2）用定义判断函数的单调性．21、设全集，已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合.（2）若且,求实数的取值范围.22、已知．(1) 求的值；(2) 若，求的值.参考答案1、A2、C3、A4、C5、B6、B7、D8、B9、C10、D11、A12、①⑤13、14、115、16、D17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.18、(1)，0，-2 ；(2).19、(1),；(2)时取最大值2；时取最小值1；的值域为.20、（1）为奇函数；（2）在上为减函数.21、（1）；（2）.22、（1）；（2）.【解析】1、试题分析：由题意知，当时，，由此可知在上，也即在上单调递增；又是定义在上的偶函数，所以在上单调递减，且它的图像关于轴对称.若对任意实数，都有恒成立，即恒成立；所以，所以，两边平方得，，问题转化为：对任意实数，都有恒成立；此时只需，解得,所以实数的取值范围是.故选A.考点：函数的奇偶性；恒成立问题.2、试题分析：若函数唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，4），（0，2）内,则根据函数的零点判定定理可知，f（2），f（4），f（8），f（16）与f（0）的正负号均相反，即f（2），f（4），f（8），f（16）的正负号相同。

蓬莱一中2015-2016学年度12月练习（2）第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分一、选择题（本题共10道小题，每小题5分，共50分）1.设A={x ∈Z||x|≤2}，B={y|y=x 2+1，x ∈A}，则B 的元素个数是( ) A ． 5 B ．4 C ．3 D ．22.已知函数y=f （x ）是奇函数，当x ＞0时，f （x ）=lgx ，则的值等于( )A ．B ．C ．lg2D ．﹣lg23.设正项等比数列{a n }的前n 项之积为T n ，且T 14=128，则8711a a +的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．22 D ．23 4.已知函数()sin()4f x A x πω=-(0,0)A ω>>的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12个长度单位B ．向右平移12个长度单位C ．向左平移4π个长度单位D ．向右平移4π个长度单位 5.函数xxy 24cos =的图象大致是( ) A ． B ． C ． D ．6.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A ．343B ．353 C ．23D ．3837.已知点P （m ，n ）在椭圆13422=+y x 上，则直线mx+ny+1=0与圆x 2+y 2=31的位置关系为（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切8.己知函数f （x ）=sin ωx+3cos ωx （ω＞0），f （6π）+f （2π）=0，且f （x ）在区间（6π，2π）上递减，则ω=（ ）A ．3B ．2C ．6D ．59.过曲线C 1：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F 1作曲线C 2：x 2+y 2=a 2的切线，设切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2=2px （p ＞0）于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|=|MN|，则曲线C 1的离心率为( ) A ．B ．﹣1C ．+1D ．10.已知函数f （x ）周期为4，且当x ∈（﹣1，3]时，f （x ）=，其中m ＞0．若方程3f （x ）=x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为( ) A ．（，）B ．（，）C ．（，）D ．（，）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）11.22sin x dx ππ-⋅⎰等于12.若数列{a n }满足：a 1=2，a n+m =a m •a n （m ，n ∈N +），则数列{a n }的通项公式a n = ．13.如图，在等腰直角ABO ∆中，OA=OB=1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线，P 为垂线上任一点，则)(OA OB OP -∙错误！未找到引用源。

内蒙古大学2015－2016学年第一学期线性代数 期末考试试卷（A 卷）（闭卷 120 分钟）姓名 学号 专业 年级重修标记 □一、填空题（本题满分 40 分，每小题5分）1．已知向量组T T T c c c b b b a a a ),,(,),,(,),,(321332123211===ααα是线性无关的向量组，则向量组T T T c c c b b b a a a )3,,,(,)2,,,(,)1,,,(321332123211===βββ是。

（填线性相关或线性无关）2．设A 为n 阶矩阵)2(>n ，秩（A ）<1-n ，则秩)(*A = 。

3. 设A 为3阶方阵，且21=A ,则()=--*123A A 。

4．四元齐次线性方程组123400x x x x +=⎧⎨-=⎩解集的秩= 。

5. 设A 为3阶方阵，其特征值为1，2，-3，则=+A A 2 。

6.已知向量TT k k )2,8,1,(,)4,3,3,1(21--==αα正交，则=k 。

7.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001100010A ，则与A 可交换的一切方阵是 。

8.四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵的秩为3，321,,ηηη是它的三个解 向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5432,8642132ηηη，则该方程组的通解是 。

二、计算题（本题满分 16分）1．计算n 阶行列式D . xa a a x aaa x D =。

(8分)2．矩阵A A 求矩阵,111012112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=的逆矩阵（8分）三、计算题（本题满分 24分）1.二次型()322322213214332,,x x x x x x x x f +++=。

（1）写出二次型唯一对应的对称矩阵A; （2）求二次型的秩；（3）求一个正交矩阵P ，把二次型化成标准型：即使得=AP P T 对角矩阵。

（12分）4.线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321321321)1(3)1(0)1(x x x x x x x x x ，λ取何值的时候次方程组（1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。