LMS 算法自适应均衡器实验
08S005073 房永奎
一、实验目的
1、掌握LMS 算法的计算过程，加深对LMS 算法的理解。
2、研究用LMS 算法自适应均衡引起失真的线性色散信道问题。
3、研究特征值扩散度()R χ和步长参数μ对学习曲线的影响。
二、实验原理
1、自适应均衡器
)
n
图1 自适应信道均衡试验原理图
自适应均衡器用来纠正存在加性白噪声的信道的畸变，信道均衡器的原理框
图如1所示。随机噪声发生器(1)产生用来探测信道的测试信号序列{n x }，本实验中由Bernoulli 序列组成，n x =±1，随机变量n x 具有零均值和单位方差。随机噪声发生器(2)产生干扰信道的白噪声()n ν，具有零均值，方差为2νσ=0.001。信道的脉冲响应用升余弦表示为：
20.51cos (2)1,2,30n n n h W π⎧⎡⎤
⎛⎫+-=⎪ ⎪⎢⎥=⎝⎭⎨⎣⎦⎪⎩
（1） 其中，参数W 控制均衡器抽头输入相关矩阵的特征值分布()R χ，并且特征值分布随着W 的增大而扩大。
均衡器具有11M =个抽头。由于信道的脉冲响应n h 关于n ＝2时对称，那么
均衡器的最优抽头权值on ω在5n =时对称。因此，信道的输入n x 被延时了
257∆=+=个样值，以便提供均衡器的期望响应。通过选择匹配横向均衡器中点的合适延时∆，LMS 算法能够提供信道响应的最小相位分量和非最小相位分量之逆。
2、均衡器输入相关矩阵
在时刻n ，均衡器第1个抽头的输入为
()()()3
1k k u n h x n k v n ==-+∑ （2）
其中所有参数均为实数。因此，均衡器输入的11个抽头(),(1),,(10)
u n u n u n --的自相关矩阵R 为一个对称的1111⨯矩阵。此外，因为脉冲响应n h 仅在1,2,3n =时为非零，且噪声过程()v n 是零均值、方差为2v σ的白噪声，因此相关矩阵R 是主对角线的，有以下特殊结构所示：
()()()
()()()()()()()()()()()()0120010120210100
2100
0000r r r r r r r r r r r r r r r ⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
R （3） 其中
()222
21230v r h h h σ=+++ （4）
()12231r h h h h =+ （5）
()132r h h = （6）
其中方差20.001v σ=。123,,h h h 由（1）式中参数W 决定。
附表1中列出：（1）自相关函数(),0,1,2r l l =的值；（2）最小特征值min λ，最大特征值max λ，特征值扩散度()max min /χλλ=R 。由表可见，这些特征值扩散度范围为6.0782（W=2.9）到46.8216（W=3.5）。
三、程序流程图
程序的主要流程图如图2所示。实验中在测特征值扩散度和步长参数时，对χ分别赋予不同的值，即可画出学习曲线。
于μ和()R
图2 实验主要程序流程图
四、实验内容及结果分析
χ与步长参数μ，用来估计实验分为两个部分，以便改变特征值扩散度()R
基于LMS算法的自适应均衡器的响应。
实验1：特征值扩散度的影响
设定步长参数μ=0.075，满足max 1μ<，对于每一个特征值扩散度()R χ，经过N=200次独立计算机实验，通过对瞬时均方误差2()e n 与n 的关系曲线平均，可获得自适应滤波器的集平均学习曲线。
10
10
10
10
10
1
迭代次数
集平均平法误
差
图3 自适应均衡LMS 算法学习曲线[0.075μ=，改变特征值扩散度()R χ]
从图3中可以看出，当W 值增大时，特征值扩散度的变化范围增大，但自适应均衡器的收敛速率降低。比如，当()R χ=6.0782(即W=2.9)时，自适应滤波器在均方意义上收敛到稳态大约要80次迭代，500次迭代后平均均方误差值大约等于0.003；当()R χ=46.8216（即W=3.5）时，均衡器大约经过200次迭代才收敛到稳态，500次迭代后平均均方误差值大约为0.04。
-101w =2.9
-101w =3.1
024681012
-101w =3.3
024681012
-1
01w =3.5
图4 四个不同特征值扩散度下均衡器集平均脉冲响应[1000次迭代]
图4是经过1000次迭代后自适应均衡器的集平均脉冲响应，这个结果基于200次独立试验。可以看出，在不同的W 值情况下，自适应均衡器的脉冲响应都关于中心抽头对称。也就是说，从一个特征值扩散度到另一个特征值扩散度，脉冲响应的变化仅仅反映了信道脉冲响应相应变化的影响。
实验2：步长参数μ的影响
固定W=3.1，即均衡器抽头输入相关矩阵的特征值扩散度为11.1238。步长参数μ分别取0.075、0.025、0.0075。每一条学习曲线都是瞬态2()e n 与n 的关系曲线经过200次独立试验后得到的集平均结果。
0500
10001500
10
10
10
10
10
1
迭代次数
集平均平方误差
图5 固定特征值扩散度，改变步长参数μ时自适应均衡器LMS 算法学习曲线
从图5中可以看出，自适应均衡器的收敛速率在很大程度上取决于步长参数
μ。当步长参数μ较大时（如μ=0.075），均衡器收敛到稳态需要120次迭代；当步长参数μ较小时（μ=0.0075），收敛速率降低超过一个数量级。同时，平均均方误差的稳态值随着μ的变大而增大。
