人教新课标版数学高一- 数学必修二练习第二章直线与平面平行的性质

最新人教版高中数学必修二第二章《直线与直线、直线与平面平行的判定》精选习题（含答案解析）一、选择题(每小题5分，共40分)1.已知l∥α，m∥α，l∩m=P且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )A.相交B.平行C.相交或平行D.不确定2.已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.b∥α或b与α相交3.平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB=AE︰EC，如图，则BC与α的位置关系是 ( )A.平行B.相交C.平行或相交D.异面4.有以下三种说法，其中正确的是( )①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；③直线a，b满足a∥α，a∥b，且b⊂α，则a平行于经过b的任何平面.A.①②B.①③C.②③D.①5.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB=AF∶FD=1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )A.BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B.EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形6.正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G7.已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下说法：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确说法的个数是( )A.0B.1C.2D.38.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，P在对角线BD1上，且BP=BD1，给出下面四个命题：(1)MN∥平面APC；(2)C1Q∥平面APC；(3)A，P，M三点共线；(4)平面MNQ∥平面APC.正确的序号为( )A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(3)(4)二、填空题(每小题5分，共10分)9.三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，则EG与平面SBC的关系为________.10.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.(将你认为正确的都填上)三、解答题(每小题10分，共20分)11.如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，G，F分别是BE，DC的中点. 求证：GF∥平面ADE.12.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由).(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.参考答案与解析1【解析】选B.因为l∩m=P，所以过l与m确定一个平面β，又因为l∥α，m ∥α，l∩m=P，所以β∥α.2【解析】选D.由题意画出图形，当a，b所在平面与平面α平行时，b与平面α平行，当a，b所在平面与平面α相交时，b与平面α相交.3【解析】选A.因为AD︰DB=AE︰EC，所以DE∥BC，又DE⊂α，BC⊄α，所以BC ∥α.4【解析】选D.①正确，若在α内存在一条直线b，使a∥b，则a∥α与“a与平面α相交”矛盾，故①正确；②错误，反例如图(1)所示；③错误，反例如图(2)所示，a，b可能在同一平面内.5【解析】选B.如图，由题意得，EF∥BD，且EF=BD.HG∥BD，且HG=BD.所以EF∥HG，且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形.所以EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行.故选B.6【解析】选A.在平面E1FG1与平面EGH1中，因E1G1∥EG，FG1∥EH1，且E1G1∩FG1=G1，EG∩EH1=E，故平面E1FG1∥平面EGH1.7【解析】选B.设m∩n=P，则直线m，n确定一个平面，设为γ，由面面平行的判定定理知，α∥γ，β∥γ，因此，α∥β，即①正确；如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线EF平行于平面ADD1A1和平面A1B1C1D1，即满足②的条件，但平面A1B1C1D1与平面ADD1A1不平行，因此②不正确；图中，EF∥平面ADD1A1，BC∥平面A1B1C1D1，EF∥BC，但平面ADD1A1与平面A1B1C1D1不平行，所以③也不正确.8【解析】选C.(1)MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面PAC，所以MN∥平面APC是错误的；(2)平面APC延展，可知M，N在平面APC上，AN ∥C1Q，所以C1Q∥平面APC，是正确的；(3)由BP=BD1，以及相似，可得A，P，M 三点共线，是正确的；(4)直线AP延长到M，则M在平面MNQ内，又在平面APC内，所以平面MNQ∥平面APC，是错误的.9【解析】连接AG并延长交BC于点M，连接SM，则AG=2GM，又AE=2ES，所以EG∥SM，又EG⊄平面SBC，所以EG∥平面SBC.答案：平行10【解析】在④中NP平行所在正方体的那个侧面的对角线，从而平行AB，所以AB∥平面MNP；在①中设过点B且垂直于上底面的棱与上底面交点为C，则由NP∥CB，MN∥AC，可知平面MNP∥平面ABC，即AB∥平面MNP.答案：①④11【证明】取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GH∥AB且GH=AB，又F是CD的中点，所以DF=CD，由四边形ABCD是矩形，得AB CD，所以GH DF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥HD.又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，所以GF∥平面ADE.12【解析】(1)点F，G，H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC=FG，又FG∥EH，FG=EH，所以BC∥EH，BC=EH于是BCHE为平行四边形.所以BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH，又BE∩BG=B，所以平面BEG∥平面ACH.。

si r2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定●知识梳理1简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a αb β => a ∥αa ∥b●知能训练一．选择题1．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n2．若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则（ ）A ．α内存在直线与l 异面B ．α内存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交3．如图，M 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列命题①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都垂直；③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都相交；④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都平行．其中真命题是（ ）godfo rs A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③4．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点．P 在对角线BD 1上，且BP ＝BD 1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面APC ；（2）C 1Q ∥面APC ；（3）A ，P ，M 三点共线；（4）面MNQ ∥面APC ．正确的序号为（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（4）C ．（2）（3）D ．（3）（4）5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（ ）A ．12条B ．18条C ．21条D ．24条6．直线a ∥平面α，P ∈α，那么过P 且平行于a 的直线（ ）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的（ ）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（ ）A ．DD 1B ．A 1D 1C ．C 1D 1D ．A 1D9．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1上的一点，若BC 1∥平面AB 1D 1，则 等于（ ）A ．1/2B ．1C ．2D ．3re o od fo rs10．下面四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E ，F ，EF=，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值的中点，AA =AB=2．an d2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1符号表示：βa βb ∩ = β∥a b p α∥a α∥b α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3●知能训练一．选择题1．已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②l ，m 是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β；③l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β；其中可以判定α∥β的是（ ）A．①B．②C．①③D．③2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）A．α、β都垂直于平面rB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β3．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系（ ）A．平行B．相交C．异面D．以上都不对h i n（1）求证：平面PCD ∥平面MBE ；（2）求四棱锥M-BCDE 的体积．2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质知识梳理1简记为：线面平行则线线平行。

课后训练1．下列命题中，错误的是()A．平行于同一直线的两个平面平行B．平行于同一平面的两个平面平行C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交2．已知α∥β，a⊂α，b⊂β，则①a∥b，②a，b为异面直线，③a，b一定不相交，④a∥b 或a，b异面，其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①②③④3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是()A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形4．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝()A．2∶25 B．4∶25C．2∶5 D．4∶55．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C()A ．不共面B ．当且仅当A ，B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A ，B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A ，B 如何移动，都共面6如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．7．设α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34．当S 在α，β之间时，CS ＝________．8．已知直线m ，n 及平面α，β，有下列关系：①m ，n ⊂β；②n ⊂α；③m ∥α；④m ∥n ，现把其中一些关系看作条件，另一些看作结论，组成一个真命题__________(用序号表示)．9．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：GH ∥平面PAD ．10．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值．参考答案1答案：A2答案：C3答案：C4答案：B5答案：D6 7答案：168答案：①②③⇒④ 9答案：略 10答案：1ADDC =.。

人教版高中数学必修二第2章点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.3直线与平面平行的性质学案【学习目标】1．理解直线与平面平行的性质定理的含义．(重点)2．能用三种语言准确描述直线与平面平行的性质定理．(重点)3．能用直线与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点直线与平面平行的性质定理阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行1. 定理三个条件缺一不可。

2. 简记:线面平行,则线线平行。

[思考辨析学练结合]1. (1)若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的任意一条直线，对吗？(2)若直线a与平面α不平行，则直线a就与平面α内的任一直线都不平行，对吗？[答案](1)不对.若直线a∥平面α，则由线面平行的性质定理可知直线a与平面α内的一组直线平行.(2)不对.若直线a与平面α不平行，则直线a与平面α相交或a⊂α.当a⊂α时，α内有无数条直线与直线a平行.2. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．()(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．()(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．()(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．()[解析]由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√【合作探究析疑解难】考点线面平行性质定理的应用[典例1]如图，四边形EFGH是空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.[点拨]要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．[解答]∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.[方法总结]运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.1．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.求证：AA 1∥EE1.[证明]在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1.∵AA1⊂平面AEE1A1，平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，∴AA1∥EE1.【学习检测巩固提高】1. 如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线()A.只和这个平面内的一条直线平行B.只和这个平面内两条相交直线不相交C.和这个平面内的任何一条直线都平行D.和这个平面内的任何一条直线都不相交[解析]一条直线和一个平面平行，则这条直线和这个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面内的任何一条直线都没有公共点，所以这条直线和这个平面内的直线都不相交.[答案] D2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有[解析]过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条．故选B.[答案] B3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________. [解析]由直线与平面平行的性质定理知l∥m.[答案]平行4．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.[证明]因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.5．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD 交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.[证明]连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.线∥面线面平行的性质线面平行的判定线∥线.在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键.人教版高中数学必修二第2章点、直线、平面之间的位置关系2.2.3直线与平面平行的性质课时检测一、选择题1．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面()A．只有一个B．至多有两个C．不一定有D．有无数个[答案] C2．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上均可能[答案] D3．若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A∉α，则()A.α∥平面ABCB.△ABC中至少有一边平行于αC.△ABC中至多有两边平行于αD.△ABC中只可能有一边与α相交[解析]若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC中至少有一边平行于α.[答案] B4．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°[解析]∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，PQ∥面DAC．又∵面ABC∩面ADC＝AC，PQ⊂面ABC，∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD．故有选项A、B、D正确，C错误．[答案] C5．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C6．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行和异面[解析]∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，PQ∥面DAC．又∵面ABC∩面ADC＝AC，PQ⊂面ABC，∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD．故有选项A、B、D正确，C错误．∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB．又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH．又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH．[答案] A7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面[解析]由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.[答案] A8．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有[解析] 设这n条直线的交点为P，则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b，则直线b过点P．又直线a∥平面α，则a∥b．很明显这样作出的直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条．[答案] B9．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是()A．l1平行于l3，且l2平行于l3B．l1平行于l3，且l2不平行于l3C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3D．l1不平行于l3，但l2平行于l3[解析] ∵l1∥l2，l2⊂γ，l1⊄γ，∴l1∥γ．又l1⊂β，β∩γ＝l3，∴l1∥l3∴l1∥l3∥l2．[答案] A10．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是()A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F[解析]由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D.[答案] D11．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n[解析]对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1)图(2)图(3)[答案] C12．如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能[解析] ∵MN∥平面P AD，平面P AC∩平面P AD＝P A，MN⊂平面P AC，∴MN∥P A.[答案]B二、填空题13．设M、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①M∥n；②M∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示) [解析]设过M的平面β与α交于l．∵M∥α，∴M∥l，∵M∥n，∴n∥l，∵n⊄α，l⊂α，∴n∥α．[答案]①②⇒③(或①③⇒②14．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD 上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．[解析]因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.[答案]215．如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为_________.[解析]由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E ＝45＋62.[答案]45＋62.16．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．[解析]∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝2a 3，故PQ＝PD2＋DQ2＝2DP＝22a 3．[答案]22 3 a17．如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.[解析]EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又EFBC＝AFAC，∴EF＝AF×BCAC＝3×48＝32.[答案]3 218．已知(如图)A、B、C、D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______．[解析]平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，得EF∥CD；同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB．∴GH∥EF，EG∥FH．∴四边形EFGH是平行四边形．[答案]平行四边形19．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝M，BD＝n，当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝______．[解析] ∵AC ∥平面EFGH ，∴EF ∥AC ，GH ∥AC ，∴EF ＝HG ＝M·BE BA ，同理EH ＝FG ＝n·AE AB ．∵EFGH 是菱形，∴M·BE BA ＝n·AE AB ，∴AE ∶EB ＝M ∶n ．[答案] M ∶n三、解答题20．ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH ．[证明] 如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点，∴AP ∥OM ．根据直线和平面平行的判定定理，则有PA ∥平面BMD ．∵平面PAHG∩平面BMD ＝GH ，根据直线和平面平行的性质定理，∴AP ∥GH ．21．如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，E 是BB1上不同于B 、B1的任一点，AB1∩A1E ＝F ，B1C∩C1E ＝G .求证：AC ∥FG .[证明]∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1EC1，AC⊄平面A1EC1，∴AC∥平面A1EC1.又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，∴AC∥FG.22．如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．[证明]∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF，∴AD∥EF.又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．23．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．求证：CD∥平面EFGH．[证明]∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH．又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD．∴EF∥平面BCD．而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD．而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．24．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC 的中点，平面P AD∩平面PBC＝l．(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．(1)[证明]因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD．又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l．(2)[解]MN∥平面P AD．证明如下：如图所示，取DC的中点Q．连接MQ、NQ．因为N为PC中点，所以NQ∥PD．因为PD⊂平面PAD，NQ⊄平面PAD，所以NQ∥平面PAD．同理MQ∥平面PAD．又NQ⊂平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．所以MN∥平面PAD．。