运筹学复习重点第1章线性规划与单纯形法（1）化线形规划标准形的手法（2）线性规划解的概念、解的情形、解的判定（3）单纯形法的计算过程、迭代逻辑。
（4）熟练运用单纯形表求解问题；若给出单纯形表，要会解读，会基于单纯形法基本原理反推出表中一些参数。
（5）两阶段法、大M法第2章对偶理论和灵敏度分析（1）会写对偶问题，掌握对偶性质，原问题与对偶问题之间的关系。
（2）互补松弛定理的应用：知道一个问题的最优解，求另一个问题的最优解。
（3）对偶单纯形法（4）当目标函数系数和右端项变化时灵敏度分析的简便方法第4章整数规划（1）分支定界法：如何构造分支子问题，如何更新目标函数最优值上下界，何时终止。
（2）割平面法：如何写对源约束方程；如何拆分、组装割平面方程；如何利用对偶单纯形法继续求解。
第5章无约束优化（1）凸函数与凸规划的定义与判别（2）一维搜索的0.618法基本原理和迭代过程（3）无约束优化的最速下降法的基本原理、迭代过程第6章约束极值优化（1）可行下降方向的含义、满足什么代数条件、几何意义（2）正确写出Kuhn-Tucker条件，理解K-T条件与最优解的关系（3）利用Kuhn-Tucker条件，求出K-T点和最优解。
（4）外点法和内点法的基本原理、无约束优化目标函数的一般构造手法第7章动态规划（1）动态规划的基本原理和基本方程（2）动态规划的逆推解法（3）动态规划求静态规划问题的套路第8章图与网络优化（1）图的基本概念、树的基本性质、最小支撑树的求法（2）求最短路的Dijkstra算法（3）增广链的概念、用途，求网络最大流的标号法第10章排队论（1）排队系统基本性能指标的含义、关系（2）泊松流与负指数分布的关系，排队系统中基本参数λ和μ含义的多维解读。
（3）系统状态概率Pn的含义、它在推导系统基本性能指标中的基础地位，推导它自身所依据的状态转移图。
（4）M/M/1模型、M/M/c模型的状态转移图，概率平衡方程，以及了解系统状态概率、基本性能指标的计算过程。
1.1解（1）用图1-1中的阴影部分分为此线性规划问题的可行域，目标函数123z x x =+，即21133z x x =-+是斜率为13-的一族平行线，易知123,0x x ==为可行解，由线性规划的性质知，其最值在可行域的顶点取得，将直线1233x x +=沿其法线方向逐渐向上平移，直至A 点，A 点坐标为(2,4)。
所以 max 23414z =+⨯= 此线性规划问题有唯一最优解。
（2）用图1-2中的阴影部分分为此线性规划问题的可行域，目标函数121.5z x x =+，即212233x x z =-+是斜率为23-的一族平行线，易知123,0x x ==为可行解，由线性规划的性质知，其最值在可行域的顶点取得。
将直线121.53x x +=沿其法线方向逐渐向下平移，直至B 点，B 点坐标为31(,)22。
所以 319max 1.5224z =+⨯= 此线性规划问题有唯一最优解。
（3）用图1-3中的阴影部分分为此线性规划问题的可行域，目标函数1222z x x =+，即212zx x =-+是斜率为1-的一族平行线，易知120,0x x ==为可行解。
在将直线12220x x +=沿其法线方向逐渐向上平移的过程中发现：目标函数的值可以增加到无穷大，故此线性规划问题为无界解。
（4）如图1-4所示，此问题的可行域为空集，故此线性规划问题无可行解。
1.4 (2)解法一：图解法图中的阴影部分为此线性规划问题的可行域，目标函数1225z x x =+，即21255z x x =-+是斜率为25-的一族平行线，易知120,0x x ==为可行解，将直线12250x x +=沿其法线方向逐渐向上平移，直至B 点，B 点坐标为（2，6）。
所以 m a x22563z =⨯+⨯=解法2：单纯形法将上述问题化为标准型如下：12345max 25000z x x x x x =++++132412512345 + =4 212..3x 2 =18,,,,0x x x x s t x x x x x x x ⎧⎪+=⎪⎨++⎪⎪≥⎩下面用单纯形法进行计算，见下表：表的最终结果表明：最优解(2,6,2,0,0)TX=目标函数最优值m a x34z=迭代第一步得(1)(0,0,4,12,18)TX=表示图中原点。
判断题判断正误，如果错误请更正第二章线形规划的对偶理论1.原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0.2.互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解.3.原问题有多重解,对偶问题也有多重解.4.对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解.5.原问题无最优解,则对偶问题无可行解.6.设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝的可行解,则有(1)CX<=Yb;(2)CX是w的上界;(3)当X,Y为最优解,CX=Yb;(4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0;(5)X为最优解且B是最优基时,则Y=CB-1是最优解;(6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优解.7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解.8.原问题具有无界解,则对偶问题可行.9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y.10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余.11影子价格就是资源的价格.12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算.13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解.14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法.15.减少一个约束,目标值不会比原来变差.16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.17增加一个变量, 目标值不会比原来变差.18.减少一个非基变量, 目标值不变.19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第二章线性规划的对偶理论1.如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划 A约束条件相同B目标函数相同 C最优目标函数值相同 D以上结论都不对2.对偶单纯形法的最小比值规则是为了保证 A使原问题保持可行 B使对偶问题保持可行C逐步消除原问题不可行性 D逐步消除对偶问题不可行性3.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A若最优解存在，则最优解相同 B原问题无可行解，则对偶问题也无可行解 C对偶问题无可行解，原问题可能无可行解 D一个问题无界，则另一个问题无可行解 E一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解4.已知规范形式原问题（max）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，……λn），松弛变量的检验数为（λn+1,λn+2,……λn+m）,则对偶问题的最优解为 A—（λ1，λ2，……λn） B （λ1，λ2，……λn） C —（λn+1,λn+2,……λn+m）D（λn+1,λn+2,……λn+m）5.原问题与对偶问题都有可行解，则 A原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B原问题与对偶问题可能都没有最优解 C可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D 原问题与对偶问题都有最优解计算题线性规划问题和对偶问题对于如下的线性规划问题min z = 3x1 + 2x2+x3. x1 + x2+ x3 ≤ 15 (1)2x1 - x2+ x3≥ 9 (2)-x1 + 2x2+2x3≤ 8 (3)x1 x2x3 ≥ 01、写出题目中线性规划问题的对偶问题；2、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解答：1、写出题目中线性规划问题的对偶问题；解：max w = 15y1 + 9y2 + 8y3. y1 + 2y2- y3 ≤ 3 (1)y1 - y2+ 2y3≤ 2 (2)y1 + y2+ 2y3≤ 1 (3)y1≤0、 y2 ≥0、y3 ≤02、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解：先将原问题化成以下形式，则有mi n z = 3x1 + 2x2 + x3. x1 + x2+ x3+ x4= 15 (1)-2x1 + x2- x3+ x5= -9 (2)-x1 + 2x2+2x3+x6= 8 (3)x1 x2x3x4x5x6 ≥ 0原始问题的最优解为（X1 X2 X3 X4 X5 X6）=（2，0，5，8，0，0），minz=11对偶问题的最优解为（y1 y2 y3 y4 y5 y6）=（0，7/5，-1/5，0，19/5，0），maxw=11对于以下线性规划问题max z = -x1 - 2x2. -2x1 + 3x2≤ 12 (1)-3x1 + x2≤ 6 (2)x1 + 3x2≥ 3 (3)x1≤ 0， x2≥ 01、写出标准化的线性规划问题；2、用单纯形表求出这个线性规划问题的最优解和最优的目标函数值；3、写出这个（极大化）线性规划问题的对偶问题；4、求出对偶问题的最优解和最优解的目标函数值；5、第（2）个约束右端常数b2=6在什么范围内变化，最优解保持不变。
