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期末复习
学了一个学期的点集拓扑，大家对它应当有了更多的了解，更深刻的认识．大家掩卷回忆一下，点集拓扑学的主要内容有哪些？沿着什么思路研究？研究手法是什么？
下面把这几个方面的内容理一下，仅供参考．
一、点集拓扑学的主要内容：
1．一般拓扑空间：
（1）任何点集只要定义了拓扑，就成了拓扑空间．任何拓扑空间中均有开集、基、闭集、闭包．任何点集均可能有凝聚点，任何点均有邻域．指定了顺序的元素就成了序列．（这些名词的定义是什么？相互关系是什么？如何判定？）
（2）常见的拓扑空间有：度量空间、平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间等．任何集合均可通过指定开集而构成上述空间．因此一个集合与不同的拓扑（开集族）配对，可以构成不同的拓扑空间．（实数集合可能成为上述空间吗？）（注意：实数集合与实数空间不同．）
（3）一般拓扑空间均可以有子空间，任意有限个拓扑空间均可以构成乘积空间．任一拓扑空间中的一个等价关系均可以造出商空间．（这些空间的拓扑是怎样的？或基是怎样的？）
2．有个性的拓扑空间：与连通性有关的空间、各可数性公理空间、各分离性公理空间、与紧致性有关的空间、完备度量空间．
（1）并不是任何空间都可以成为上述空间的．只有符合上述空间定义的空间才可以成为上述空间．（各类空间之间没有必然的联系）
（2）R及是上述空间吗？
（3）若有两个空间，之间通过连续映射联系起来，则原象空间的哪些性质可以传递到象空间？
（4）上述空间的哪些性质可以遗传给子空间？（或闭遗传？）
（5）上述空间的哪些性质可以是有限可积的？
3．连通性：
（1）§4.1的所有定义,定理均要掌握.以应对判断一个空间的连通性.
(2)两种分支的性质.
(3)三种连通性之间的关系．
（4）R及的连通性．
4．可数性：
（1）P．149 图表5.1
（2）各空间的性质．（特别，空间中序列的性质及如何构造序列？）
（3）哪些常见空间是的？是可分的？Lindeloff的？
5．分离性：
（1）P．171 图表6.1
（2）各分离性空间的定义及等价命题．
（3）常见空间及的分离性．
（4）中序列的极限点，中点集的凝聚点，正规、完全正则空间与连续映射的关系．（5）遗传性、有限可积性、连续映射的保持性等．
6．紧致性：
（1）P．191、201、204、208、210、212的图表．
（2）各空间的定义及等价命题．
（3）紧致性与分离性的关系．
（4）紧致、可数紧致的等价命题．
（5）中的紧致子集．
（6）局部紧致、仿紧致只要求定义与联系图．
二、思路：不断剖析，将中的性质作为公理搬到一般拓扑空间中来．考察具备怎样的性质的拓扑空间才能具有与相应的性质．及研究各拓扑空间的性质及这些性质的遗传性、有限可积性、连续映射的保持性、拓扑不变性．
三、研究手法：集合的运算与逻辑推理．
四、收获
收获：复习了这些内容后，对点集拓扑学有何了解？
研究目的：研究各拓扑空间的性质及这些性质的遗传性、有限可积性、连续映射的保持性、拓扑不变性．
感受：原来具有……性质．
提高：对逻辑推理性的证明能力有提高？证明的书写能力有提高？
五、几个注意点:
1．首先，要熟悉所有的定义、定理的内容．
2．涉及度量空间，常利用球形邻域．
3.有限个开集的交是开集,任意个开集的并是开集.有限个闭集的并是闭集,任意个闭集的交是闭集.
4.一个集合的任意个拓扑的交是拓扑,即使有限个拓扑的并也可能不是拓扑.
5.拓扑空间中任意个紧致闭子集的交还是紧致子集.有限个紧致子集的并还是紧致子集.
6.拓扑空间与它的子集的连通性各自独立.
7.不是连续映射所保持的性质,而是拓扑不变的.但是可遗传的,有限可积的.可分空间不可遗传,但是连续映射所保持的,有限可积的.
8.Lindeloff空间闭遗传,不可积,但是连续映射所能保持的.
紧致空间闭遗传,但是连续映射所能保持的,有限可积的.
9.分离性公理空间不是连续映射所保持的,但是拓扑不变的.除正规空间, 是闭遗传外,其余均可遗传. 除正规空间,不可积外,其余均有限可积.均不可商.
10．在中构造序列，可利用在x处的邻域基套，在每个中取一点，.
就构成序列
11.若涉及到连续映射f：X→Y，总是将X中的子集映到Y，或将Y中的子集反射到X．
12.常对一个等式或包含关系式两边同取f或或闭包，并注意利用P.23的习题1,2或P.28的定理1.6.3或P.20的定理1.5.2
13.要对集族构造一个单调上升或单调下降序列,可令:
则分别为单调上升或单调下降序列.
14．注意拓扑空间{X*，T*}，其中X*=X∪{∞}，但T*有两种构造法：P.55的习题9与P.142的例5.2.1
15.注意定义中的措辞：是任给还是存在（有一个）．它的反面是什么？（互为反面）
16.注意反证法．
