数学物理方法教学Chapt1

数学物理方法教学大纲

课程名称： 数学物理方法

英文名称： Methods of Mathematical Physics

学分/学时： 5/80

先修课程： 高等数学，线性代数，常微分方程，普通物理

一、课程教学目标

本课程是为物理专业与核物理专业所开设的重要专业基础课，也可供电子信息、自动化等专业参考。本课程定位于高等数学和普通物理的基础上，以讲授古典数学物理中的常用方法为主，适当介绍近年来的新发展，为后继的专业基础课程和专业课程的学习以及研究有关的数学物理问题做准备。本课程也是今后继续学习近代物理知识的必要基础，为工作中遇到的数学物理问题的求解提供基础。通过本课程的学习，不仅可以使学生学习到有关的基础知识、基本方法和基本技巧，而且引导学生通过对具体物理过程的具体分析，抓住主要因素，建立数学模型，求解、分析问题，以达到对物理过程的深入了解，同时从纯数学的学习转到将数学物理紧密结合、将数学应用于实际物理问题。本课程教学活动的着力点在于培养学生的理论思维能力，提高学生的分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容及参考学时

1.复数与复变函数（2学时）

复数、复数运算与表示，无穷远点，复变函数，复变函数的极限、连续性。

2. 解析函数（4学时）

复变函数的导数及运算，解析函数，初等函数，多值函数*。

3. 复变积分（4学时）

复数函数的积分，单连通区域的科希定理，复连通区域的科希定理，科希积分公式，高阶导数的积分表达式。

4.无穷级数（2学时）

复数级数，复函数级数，幂级数。

5.解析函数的局域性展开（6学时）

解析函数的泰勒展开，泰勒级数求法举例，解析函数的罗朗展开，罗朗级数求法举例，单值函数的孤立奇点，解析延拓*。

6. 二阶线性常微分方程的级数解法（4学时）

二阶线性常微分方程的常点与奇点，方程常点邻域的级数解法，Legendre方程的解，方程正则奇点邻域内的级数解法，Bessel方程的解。

1 《数学物理方法》教学大纲 适应专业：物理学、光信息科学与技术 课程编号：090802 计划学时：72 其中授课：72 参考教材：1.《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社 2.《数学物理方法》，吴崇试编著，北京大学出版社 3.《数学物理方法》，管平，计国君，黄骏，高等教育出版社 先修课程：普通物理 高等数学 一、课程的性质与目的 该课程介绍复变函数的基础知识和物理学中常遇到的偏微分的基本求解方 法，使得学生通过学习该课程能够掌握常见偏微分方程的基本解法，为理论物理 课程所遇到的偏微分方程求解奠定基础， 同时培养学生数学建模能力和解决数理 问题的基本素质。 二、授课内容及学时分配建议 （一） 解析函数 建议学时：5 学时 授课内容： 1.复变函数的六则运算 2.复数领域上的初等函数 3.复变函数的的极限、连续、微分、可导 4.解析函数，调和函数，C-R条件 5.多值函数的支点、黎曼面和单值支的概念 教学基本要求： 1.熟练掌握复数的各种表示方法及六则运算。 2.掌握复变函数及其极限、连续、可导的概念。 3.掌握邻域等概念，理解复变函数的几何意义。 4.正确理解解析面数的定义，判断函数的解析性掌握并熟练运用C-R条件。 5.掌握解析函数与调和函数的关系及有关复势的基本概念。 6.掌握初等函数的定义、性质和解析性。 7.理解多值函数有关支点、黎曼面和单值支的概念。 教学重点、难点： 重点：复变函数的运算与几何意义，解析函数与C-R条件。 难点：多值函数有关支点、黎曼面。 （二）复变函数积分 建议学时：5 学时 授课内容： 1. 复变函数的积分

2 2. 柯西定理、柯西公式 3. 复变函数的环路积分 教学基本要求： 1.掌握复变函数积分的定义、基本性质及计算方法。 2.记住并能熟练地运用公式 î í ì = = p = - ò 0 n 0 1 n , i 2 ) a z ( dz l n 。 3.牢固地掌握柯西定理、柯西公式及解析函数的任意阶导数存在性。 4.熟练地运用柯西定埋、柯西公式 5.计算复变函数的环路积分 教学重点、难点： 重点：柯西定埋、柯西公式。 难点：复变函数积分的定义。 （三） 无穷级数 建议学时： 7 学时 授课内容： 1、绝对收敛和一致收敛 2、幂级数和Taylor级数，收敛半径 3、孤立基点和可去基点、极点，孤立基点的分类 4、解析延拓 教学基本要求： 1.了解在复数范围内级数及级数的收敛、发散、绝对收敛、一致收敛的概念 及有关性质，会使用收敛判据。 2.正确确定幂级数的收敛半径，并了解幂级数的性质。 3.掌握Taylor级数与解析函数的关系及Taylor展开的方法， 理解其收敛半 径与孤立奇点的关系。 4.掌握劳林级数与奇点存在的关系及劳林展开的方法， 理解其收敛环与孤立 奇点的关系。 5.正确地判断孤立奇点的类型。 6.了解解析延拓的概念。 教学重点、难点： 重点：劳林级数及展开方法，孤立基点的分类，收敛半径的杜额定方法。 难点：绝对收敛，一致收敛，解析延拓。 （四） 留数理论 建议学时： 6 学时 授课内容： 1、留数，留数定理，Jordan引理及小弧引理 2、留数定理得应用 教学基本内容： 1.正确理解留数的概念，熟练掌握计算留数的方法。 2.熟练地掌提留数定理、Jordan 引理及小弧引理，并能正确应用于计算复 变函数的环路积分和某些实定积分。 3.掌握用留数定理计算实定积分的一般方法， 学会根据具体情况适当的选择

《数学物理方法A》教学大纲

（Methods of Mathematical Physics ）

一.课程编号: 040422

二.课程类型：必修.

学时/学分: 48学时/3学分

适用专业: 通信与信息类强化班

先修课程: 高等数学, 线性代数, 普通物理

三.课程的性质与任务：

数学物理方法是我校通信与信息类强化班的一门必修课程。通过本课程的学习, 使学生初步掌握复变函数和数学物理方程的基本理论与方法, 培养学生的理论思维能力和分析问题、解决问题的能力。为学生学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

四、教学的主要内容及学时分配

（一）教学的主要内容

复变函数部分:

1.复数与复变函数 复数及其代数运算, 复数的几何表示, 复数的乘幂与方根, 复平面上的点集, 复变函数的概念, 复变函数的极限和连续性

2.解析函数 解析函数的概念, 函数解析的充要条件, 初等函数

3.复变函数的积分 复变函数积分的概念、存在条件、性质与计算方法, Cauchy基本定理及其推广-复合闭路定理, Cauchy积分公式、解析函数的高阶导数, 解析函数与调和函数的关系

4.级.复数项级数、幂级数，Taylor级数，Laurent级.

5.留数 孤立奇点及其分类、函数的零点与极点的关系, 留数的定义、留数定理、留数的计算规则, 留数在定积分计算上的应用

数学物理方程部分:

1.典型方程和定解条件

1）三类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题的提出；

2）偏微分方程的一些基本知识与定值问题的适定性概念。

2.分离变量法（驻波法）

1）分离变量法的基本步骤； 2）非齐次方程齐次边界条件的固有函数法；

3）非齐次边界条件的处理；

4）施特姆-刘维尔方程的固有值问题简介。

3.达郎贝尔法（行波法）

1）一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式；

2）非齐次波动方程的齐次化原理。

第 1 页 共 21 页 58532383.doc §1-3复变函数的导数与解析性、保角映射

解析函数：亦称全纯（holomorphic）函数，正则（regular）函数，单演（monogenic）函数

主要内容： 1、导数 C—R条件

2、解析性、解析函数

3、保角性、二维调和函数与平面标量场

重 点： C—R条件、解析函数

难 点： 解析函数应用于平面标量场

一、 复变函数的导数 C—R条件

1、复变函数的导数

定义：设zfw是定义在区域D内的单值函数，如果对D内某一点z，极限zzfzzfz0lim存在，我们就说zf在z点可导，这个极限叫做zf在z点的导数，记作zf或zfdd。

即：zzfzzfzfzfz0limdd

要求：z在复平面上以任意方式趋于零时，zf均存在且相等，而实函数只要求从0x和0x两个方向趋于零。

2、函数可导的条件 C—R方程（Cauchy—Riemann）

（1）zf在z点可导（必要条件）—— C—R方程

A．z沿平行于实轴的方式趋于零

这时，xyixzy,0

故有：zzfzzfzfz0lim

xyxivyxuyxxivyxxux,,,,lim0

xyxvyxxvixyxuyxxuxx,,lim,,lim00

xvixu

B．z沿平行于虚轴的方式趋于零

同样有，yiyixzx,0 第 2 页 共 21 页 58532383.doc 故有：zzfzzfzfz0lim

yiyxivyxuyyxivyyxuy,,,,lim0