1.3函数的基本性质——单调性

《函数的基本性质》知识点总结

《函数的基本性质》知识点总结「篇一」

《函数的基本性质》知识点总结

基础知识：

1.奇偶性

（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

（3）简单性质：

①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；

②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

2.单调性

（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

注意：

①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

1.3 函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大（小）值

整体设计

教学分析

在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.

由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.

三维目标

1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.

3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.

4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.

重点难点

教学重点:函数的单调性和最值.

教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.

课时安排

2课时

设计方案（一）

教学过程

第1课时 函数的单调性

导入新课

思路1.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌.按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？

函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）

函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。 1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；

③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称

（2）若定义域不关于原点对称 ⾮奇⾮偶 例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数 常⽤性质：1．0)(=x f 是既奇⼜偶函数；

2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满⾜)

()()(x f x f x f =-=；

4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；

5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满⾜：

（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=⾮奇⾮偶

（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成⼀个奇函数2)

()()(x f x f x --=

和⼀个偶函数

2)

()()(x f x f x -+=

ψ的和。

2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意

且

① 总有

则称

在区间M 上单调递增

② 总有则称在区间M 上单调递减

应⽤：（⼀）常⽤定义法来证明⼀个函数的单调性

⼀般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （⼆） 求函数的单调区间

定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常⽤结论

（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减

3. 周期性

（1）⼀般地对于函数

1 / 4 3.4 函数的基本性质——单调性

【知识解读】

1、函数单调性的概念

对于给定区间I上的函数)(xfy，如果对于任意Ixx21,，当21xx时，都成立

)()(21xfxf，那么就称)(xf在区间I上是单调增函数，区间I称为函数)(xf的单调

增区间。

对于给定区间I上的函数)(xfy，如果对于任意Ixx21,，当21xx时，都成立

，那么就称)(xf在区间I上是单调减函数，区间I称为函数)(xf的

。

2、函数单调性的运算：

设)(xf与)(xg分别为1I与2I上的单调增函数，则)()(xgxf在21II上单调增

设)(xf与)(xg分别为1I与2I上的单调减函数，则)()(xgxf在21II上

3、单调性与奇偶性：

若奇函数)(xf在区间],[ba上单调递增，则它在区间],[ab上

若偶函数)(xf在区间],[ba上单调递增，则它在区间],[ab上

*4、复合函数单调性：同增异减。

【例题讲解】

例1、证明函数23xxf在区间,上是增函数。

例2、判别函数24xy在区间),0(上的单调性，并证明。

例3：判定函数2,4,2xxxf的单调性，并求出它的单调区间（不需证明）。

2 / 4 例4、已知函数xxxf3)(

（1）判断并证明)(xf在R上的单调性 （2）方程1000)(xf有正整数解吗？为什么？

例5、写出下列函数的单调区间（不需证明）

（1）12)(xxf （2）2)1()(xxf

（3）23)(2xxxf （4）231)(xxf