2016年全国硕士研究生招生考试数学(三)试题解析

2016年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题解析

戴又发

（1）设函数)(x f y =在),(+∞-∞内连续，其导函数的图象如图所示，则

（A ）函数)(x f 有2个极值点，曲线)(x f y =有2个拐点 （B ）函数)(x f 有2个极值点，曲线)(x f y =有3个拐点 （C ）函数)(x f 有3个极值点，曲线)(x f y =有1个拐点 （D ）函数

)(x f 有3个极值点，曲线)(x f y =有2个拐点

解析：由导函数的图象得知导函数有3个不同零点，其中有一个是导函数图象与x 轴的切点，不是函数

)(x f 的极值点，所以函数)(x f 有2个极值点；

又因为导函数有2个极值点，当然是曲线

)(x f y =的拐点；

另外，导函数的图象还有1个间断点，导函数在该点左右两侧同号，而函数在该点处连续，所以该点也是曲线

)(x f y =的1个拐点．

故选（B ）

（A ）函数

0='-'y x f f

—

（B ）函数0='+'y x f f （C ）函数f f f y x ='-' （D ）函数

f f f y x ='+'

（A ）321J J J << （B ）213J J J << （C ）132J J J << （D ）312

J J J <<

解析：在平面坐标系中，312,,D D D 所表示的区域分别为：

所以213J J J <<，故选（

B ）

—

（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散

（D ）收敛性与k 有关

所以由正项级数的比较判别法，知该级数绝对收敛．故选（A ）

（5）设A ,B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是

（A ）T

A 与T

B 相似 （B ）1

-A 与1

-B 相似 （C ）T A A +与T B B +相似 （D ）1-+

A A 与1-+

B B 相似

解析：由A 与B 相似的定义，存在可逆矩阵P ，使得B AP P =-1

．

对于（A ），因为T T B AP P =-)(1

得T T T T B P A P =-1)(，所以T A 与T B 相似；

对于（B ），因为111

)(---=B AP P 得111---=B P A P ，所以1-A 与1-B 相似；

对于（D ），因为111111

)(------+=+=+B B P A P AP P P A A P

，

所以1-+A A 与1-+B B 相似．

故选（C ）

—

（6）设二次型

3132212

32221321222)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=的正负惯性指

数分别为1,2，则

（A ）1>a （B ）2-

时，313221321222),,(x x x x x x x x x f ++=，

其矩阵为⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛011101110，由此求得特征值为1,1,2--，满足正惯性指数为1, 负惯性指数

为2，即0=a 成立．

故选（C ）

（C

）1)

(=B A P Y

故选（A ）

—

（8）设随机变量X 与Y 互相独立，且)2,1(~N X

，)4,1(~N Y ，则=)(XY D

（A ）6 （B ）8 （C ）14 （D ）15

解析：由随机变量X 与Y 互相独立，则

22222)()]([)()(EY EX EY EX XY E XY E XY D ⋅-⋅=-=

222)(])([])([EY EX EY DY EX DX ⋅-+⋅+=

14)11()14()12(222=⋅-+⋅+=．

故选（C ）

所以6)(lim

=→x f x ，答案6

⎰⎰⎰+-=-==1

1010cos 01cos cos sin xdx x x x xd xdx x 1cos 1sin 1sin 1cos -=+-=，答案1cos 1sin -

（11）设函数

),(v u f 可微，)(x z z =由方程),()1(22y z x f x y z x -=-+确定，则

解析：由),()1(22y z x f x y z

x -=-+有1,0==y x 时1=z ，

dy

y z x f x dz dx y z x f x y z x xf ydy zdx dz x v u ),())(,(),(22)1(22-'+--'+-=-++将1,0==y x ，1=z 代入，得dy dx dz 2+-=．

答案dy dx 2+-

=⎰⎰-dxdy e

x D

y 2

2⎰⎰-1

22

2y

y dx e

x dy

43243)2(23422++++=++++=λλλλλλλλ．

答案： 432234++

++λλλλ

（14）设袋中有红、白、黑球各一个，从中有放回的取球，每次取一个，直到三种颜色的

解析： 若最后一次取到黑球后停止，则前三次只能取到红色球和白色球，且两种颜色都有．