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一个新的有最佳常数因子的Hilbert型积分不等式曾峥;谢子填【摘要】应用权函数,给出一个新的有最佳常数因子的Hilbert型积分不等式. 同时给出它的等价式及其逆向不等式.【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(000)003【总页数】4页(P31-33,38)【关键词】Hilbert积分不等式;权函数;H(o)lder不等式【作者】曾峥;谢子填【作者单位】韶关学院数学与信息科学院,广东韶关,512005;广东肇庆学院数学系,广东肇庆,526061【正文语种】中文【中图分类】O178假设p>1,+=1, f(x), g(x)≥0,且0<fp(x)dx<∞及0<gq(x)dx<∞,则有以下Hardy-Hilbert积分不等式[1]:dxdy<这儿常数因子为最佳值.关于Hardy-Hilbert不等式，近年来人们陆续作了推广[2-7].关于级数型Hilbert不等式近年也有很多人研究[8-10].最近,谢子填和杨必成[2]证明了:如p>1,+=1, a,b>0,a≠b,f(x),g(x)≥0,且0<fp(x)dx<∞及0<gq(x)dx<∞,则dxdy<gq(x)dx,同时还考虑了a=b的情形.2007年,杨必成在文献[4]中给出了以下2个推广的最佳常数因子的Hilbert型积分不等式:f(x)g(y)dxdy<xgq(x)dx,f(x)g(y)dxdy<{x(p-1)(1+)-1fp(x)dx×{x(q-1)(1+)-1gq(x)dx.我们将应用权函数方法给出一个新的含有最佳常数因子的Hilbert型不等式的推广式,它包含了式(3)和式(4).以下设a,b, 为非负数,且2a+b=+1;p>1, 1/p+1/q=1,r>1, 1/r+1/s=1.引理1 定义权函数W(x)和如下则其中且有证明设y=xσ,注意2a+b=+1, 则又由x=y/σ,则容易证明K1=K2,且定理1 如p>1,f(x)、g(x)非负实可测则f(x)g(y)dxdy<x.式(6)和式(7)等价,这儿常数因子K由引理1定义,且 K及Kp为最佳值.定理2 如1>p>0, f(x)、g(x)非负实可测则f(x)g(y)dxdy>Kx.式(8)和式(9)等价,这儿常数因子K及Kp为最佳值.我们仅证明定理1,定理2证明与之类似.定理1的证明由带权Hölder不等式[11],有f(x)g(y)dxdy=f(x)g(y)dxdy≤{fp(x)dydx×{gq(y)dxdy=如式(10)中的不等式取等号, 则有常数M和N使得Mfp(x)=Ngq(y) a.e. in (0,∞)×(0,∞).故有常数C,使由此必有M=0. 不然,如M≠0,则C/(Mx)在(0,∞)几乎处处成立,与矛盾.同理,N=0.此有式(6).我们用文献[4]的方法,证明K为最佳值. 如式(6)中常数K不是最佳值,则有代替式(6)中的K使不等式(6)仍然成立.由极限保号性, 则有α>0,使下式成立f(x)g(y)dxdy<对充分小的0<ε<及β(0,α),令fε(x)=gε(x)=0, 当x当x[β,∞).把fε,gε(x)代入式(11),两边乘以αεε,则式(11)为αεεfε(x)gε(y)dxdy<容易算出式(12)的右边为再算式(12)的左边,记y=σx,注意αεεfε(x)gε(y)dxdy=+-→+ (β→0).代入式(12),再令ε→0+,可得故与矛盾.下证式(6)和式(7)等价. 记存在n0+,当n≥n0时,有令y(0,∞),n≥n0.由式(6),有[f(x)]ngn(y)dxdy≤+∞,于是有∞.因而故当n→∞时应用式(6)、(13)和式(14)仍取严格不等号,从而有式(7).如式(7)成立,则f(x)g(y)dxdy=由式(15)和式(7)得式(6).评注容易看出式(6)包含了式(3)和式(4).事实上,在式(6)中设a=0, 这时b=+1,K==,于是令s=q可得式(3);令s=p可得式(4).致谢作者衷心感谢杨必成教授的指导和帮助！Key words： Hilbert-type integral inequality; weight function; Hölder’s inequality【相关文献】[1] HARDY G H. Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive terems[J].Proc Math,1925,23(2): XLV-XLVI.[2] XIE Zitian,YANG Bicheng.A new Hilbert-type integral inequality with some parameters and its reverse[J].Kyungpook Mathe J,2008(48):93-100.[3] XIE Zitian, ZENG Zheng. A Hilbert-type integral inequality whose kernel is a homogeneous form of degree-3[J].J Math Appl,2008(339):324-331.[4] 杨必成.一个Hilbert型积分不等式[J].浙江大学学报:理学版,2007,34(2):121-124.YANG Bicheng.A Hilbert-type integral inequality[J]. Journal of Zhejiang University:Science Edition,2007,34(2):121-124.[5] 杨必成.一个具有混合核的Hilbert型积分不等式及推广[J].四川师范大学学报:自然科学版,2008,31(3):281-284.YANG Bicheng.A Hilbert-type inequality with a mixed kernel and extensions[J].Journal of Sichuan Normal University:Natural Science,2008,31(3):281-284.[6] 谢子填,慕容居敏.一个新的含多个参量的Hilbert型积分不等式[J].华南师范大学学报:自然科学版, 2008(2):38-42.XIE Zitian, MU RONG Jumin.A new Hilbert type inequality with some parameters[J].Journal of South China Normal University:Natural Science Edition,2008(2):38-42.[7] 黄臻晓.一个-4齐次核的Hilbert型积分不等式[J].华南师范大学学报:自然科学版,2009(2):20-23.HUANG Zhenxiao.A new Hilbert-type inequality with the homogeneous kernel of-4 order[J].Journal of South China Normal University:Natural Science Edition,2009(2):20-23.[8] XIE Zitian. A reverse Hilbert-type inequality with a best constant Factor[J].J Math Anal Appl，2008,343：1154-1160.[9] 谢子填,曾峥.一个含有参量的Hilbert型不等式[J].湘潭大学自然科学学报,2007,29(3):24-28. XIE Zitian, ZENG Zheng.A Hilbert-type inequality with parameters[J]. Natural Science Journal of Xiangtan University,2007,29(3):24-28.[10] 王文杰，贺乐平，陈铁灵.参量化的Hardy-Hilbert型不等式的改进[J].湘潭大学自然科学学报,2008,30(2):12-14.WANG Wenjie, HE Leping, CHEN Tieling.On an improvement of Hardy-Hilbert’s type inequality with some parameters[J].Natural Science Journal of XiangtanUniversity,2008,30(2):12-14.[11] 匡继昌.常用不等式[M].3版.济南:山东科技出版社,2004.。
第29卷 第4期 广东海洋大学学报 V ol.29 No.42009年8月 Journal of Guangdong Ocean University Aug. 2009收稿日期：2009-03-22作者简介：付向红(1968—)，女，硕士，高级讲师，主要从事高校数学教学和泛函分析方面的工作。
新核Hilbert 型积分不等式的一个推广付向红（广东机电职业技术学院基础部，广东 广州 510515）摘 要：通过引入权函数的方法，得到了一个带最佳值()c λ的Hilbert 型积分不等式及其等价形式。
关键词：Hilbert 型积分不等式；权函数；Holder 不等式中图分类号：O175.12 文献标志码：A 文章编号：1673-9159(2009)04-0063-04The Generalization of a New Hilbert-type Integral InequalityFU Xiang-hong(Department of Basic Courses ，Guangdong Vocational College of Mechanical andElectrical Technology ，Guangzhou 510515, China )Abstract: By introducing the weight function, we obtain a new Hilbert-type integral inequality and the equivalent form with a best constant factor ()c λ.Key words: Hilbert-type integral inequality ；weight function ；Holderinequality1 引理如果(),()0,f x g x >200()d ,f x x ∞<<∞∫20()d g x x ∞<<∞∫则不等式[1]()()d d ∞∞<+∫∫f xg y x y x y1222π{()d ()d }∞∞∫∫f x x g x x (1)称为Hilbert 型积分不等式，1925年Hardy [2]将其推广。
