直线和圆的位置关系 优秀教学设计(教案)

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（四）归纳总结,布置作业
本环节采用填写表格,师生协作的方式，对所学的知识进行小结，培养学生的归纳能力。
师生协作的方式
作业布置试图通过阅读、练习和思考等不同形式的教学活动，加深对所学知识的理解和运用。
作业:
（1）阅读：教材第78-80页；
（2）练习：教材第80页A组1题。
（3）思考:教材第80页B组2题。
（三）运用新知，解决问题
例题与练习是掌握、应用知识和技能所必需的，根据学生的认知特点，我设计了如下例题与练习。
1．例题分析
例1判断直线 与圆 的位置关系。
例2是教材上的例题。作为对圆与直线的位置关系的理解和初步应用，可以让学生自主完成。
判断下列各题中的直线与圆的位置关系。
（1）直线2x-3y+1=0，圆 ；
学生动手画时，教师进行巡视，当所有学生都把三种位置关系画出来时，我用计算机给同学们作演示，给定直线圆在动，使学生从运动的观点去研究问题。
学生动手画时，我进行巡视，当所有学生都把三种位置关系画出来时，我用计算机给同学们作演示，给定直线圆在动，使学生从运动的观点去研究问题。
通过观察，我们已经知道直线和圆的位置关系有三种，引导学生从直线和圆的公共点的个数来完成直线和圆的位置关系的定义。
练习1：主要反馈学生对定义本身的掌握程度,由学生抢答，培养学生的分析能力和数学语言表达能力。
判断圆与直线的位置关系。
圆的直径为10cm，直线到圆心的距离分别为
3
5
练习2我设计了一个小型对抗赛：将全班同学分为两个小组，一组出题另一组回答，答题组再出题，对方回答，依次类推。看哪个组答题既准又快，对优胜组和表现突出的同学进行表扬。
3、掌握直线和圆三种位置关系的判定方法。

直线和圆的位置关系教学设计一、教学目标：1.了解直线和圆的基本概念和性质。

2.能够判断给定直线和圆的位置关系。

3.能够解决与直线和圆的位置关系相关的问题。

二、教学重点：1.直线和圆的基本定义与性质。

2.直线和圆的位置关系的判定方法。

三、教学难点：四、教学准备：1.教学课件。

2.示意图和实物模型。

3.钢笔、直尺、圆规。

五、教学过程：第一步：导入（10分钟）1.教师介绍本堂课的主题为直线和圆的位置关系，和学生互动讨论与此相关的生活实例，引发学生思考。

2.出示几幅图片，比如直线穿过圆、切圆、与圆相切等情景，要求学生描述并猜测其中的位置关系。

第二步：概念讲解（15分钟）1.教师通过课件或者黑板，用简单明了的语言解释直线和圆的定义和性质。

2.教师介绍直线和圆的位置关系的基本判定方法。

(1)如果直线与圆有公共点，则直线与圆相交；(2)如果直线与圆没有公共点，并且直线不在圆内，则直线和圆外离；(3)如果直线与圆没有公共点，并且直线在圆内，则直线和圆内离；(4)如果直线与圆恰好有一点相切，则直线与圆相切。

第三步：示例分析（20分钟）1.教师呈现一些具体的例题，引导学生观察并判定直线与圆的位置关系。

2.学生跟随教师思考，尝试解答，并进行讨论。

3.解答过程中，教师提示学生注意判断的关键因素，如相对位置、切线方向等。

第四步：学生自主探究（30分钟）1.学生自由分组，每组4-5人，配备钢笔、直尺和圆规。

2.每组在实验桌上模拟教师给出的不同位置关系情景，进行观察、测量和判定。

3.学生记录实验结果，写出观察结论。

第五步：总结归纳（15分钟）1.小组成员交流各自的实验总结，讨论观察结果与结论是否一致，并汇报给全班。

2.教师对学生观察到的位置关系进行概括，引导学生总结出直线和圆的位置关系判定方法。

3.教师进行概念再讲，强调主要观察点和关键信息。

第六步：练习巩固（20分钟）1.教师提供一些练习题，学生单独完成。

2.学生完成后，进行讲评，对解题过程和答案逐一讲解。

《直线和圆的位置关系（第三课时）》教案教学目标教学目标：1. 理解切线的性质定理；2.会运用切线的性质定理进行计算与证明.教学重点：用切线的性质定理进行计算与证明.教学难点：用反证法证明切线的性质定理.教学过程时间教学环节主要师生活动2min活动一：复习回顾1.圆的切线是如何定义的?如果直线和圆只有一个公共点，那么这条直线叫圆的切线.2.判断一条直线是圆的切线有哪些方法?切线的判定方法有三种：（1）当直线和圆只有唯一公共点的时候，这条直线是圆的切线；（2）当圆心到直线的的距离等于半径的时候，这条直线是圆的切线；（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.文图式经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.∵OA为⊙O半径，直线l⊥OA于A，∴直线l与⊙O相切于A.（直线l是⊙O的切线.）3.今天我们一起探讨圆的切线有什么性质？9min 活动二：探索性质根据切线的定义我们可以得到切线的如下性质：(如图)（1）切线l和⊙O有且只有一个公共点A (这个公共点A就是切点)；（2）圆心O到切线l的距离等于圆的半径.切线的判定定理，实际上可以看成：①OA为⊙O的半径（点A在⊙O上），②直线l⊥OA于A.③直线l是⊙O的切线.（交换判定定理的条件和结论，如果已知直线l是⊙O的切线，下面又可分为“切点已知”和“切点未知”这两种情况分别研究，我们先看“切点已知”的情况）问1：如图，已知直线l是⊙O的切线，切点为A，连接OA,直线l⊥OA吗？从现有知识看，不具备直接证明垂直的条件，我们可以考虑用反证法. 已知：直线l是⊙O的切线，切点为A，连接OA.求证：l⊥OA.证明：假设OA与直线l不垂直，则过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短，得OM＜OA，即圆心O到直线l的距离OM＜半径OA.∴直线l与⊙O相交，这与直线l是⊙O的切线矛盾.∴假设不成立，即l⊥OA.这样，我们就得到了切线的性质定理：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.结合图形分析切线性质定理的条件和结论：文图式圆的切线垂直于过切点的半径.∵直线l与⊙O相切于A，（直线l是⊙O的切线,点A 是切点，）∴直线l⊥OA.可以看成：①OA为⊙O的半径，③直线l是⊙O的切线,点A是切点.②直线l⊥OA于A.（我们再来看“切点未知”的情况）问2：如图，已知⊙O的切线l，但切点未知，你能作出切点A吗？我们过O作直线l的垂线，设垂足是T，也就是OT⊥l于T.假设切点是A,由切线的性质定理,过切点A的半径OA⊥l于A，由于“平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，所以垂足T就是切点A.也就是说，过圆心作切线的垂线，垂足就是切点.由此得到结论1：经过圆心且垂直于切线的直线一定经过切点.文图式经过圆心且垂直于切线的直线一定经过切点. ∵直线l与⊙O相切（直线l 是⊙O的切线），l⊥OA于A，∴点A为切点.实际上可以看成：③直线l是⊙O的切线，②直线l⊥OA于A . ①OA为⊙O 的半径.问3：请同学们课后研究：结论2: 经过切点垂直于切线的直线一定经过圆心.9min 活动三：性质的应用例1.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了，而由切线的性质，OD是⊙O的半径，因此只需证明OD = OE.证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线.又∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径.∵OE为⊙O的半径，OE⊥AC于E，∴AC与⊙O相切.例2.如图，AB为⊙O的直径，AC是弦，D是⌒AC的中点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.（1）求证：AC∥ED；（2）若OA = AE = 4，求弦AC的长.分析：这里有三个条件：（1）AB为⊙O的直径；（2）D是⌒AC的中点；（3）ED切⊙O于D. 特别要关注D的作用：它即是弧的中点，又是切点.（1）证明：连接OC，OD.∵ED切⊙O于D，∴OD⊥ED.∴∠1 = 90°.∵D是⌒AC的中点，∴⌒AD= ⌒CD，∴∠2 = ∠3，又∵OA = OC，∴OD⊥AC，∴∠4 = 90° =∠1，∴AC∥ED.（2）连接AD.∵∠ODE = 90°，OA = AE = 4，∴142AD=EO=.又∵OA = OD = 4，∴△ADO为等边三角形.由（1）OD⊥AC，设垂足为F，∴12AF=AC，在Rt△ADF中，可得23AF=，∴243AC=AF=.2min 活动四：课堂小结课堂小结：1.切线的判定与性质的关系：(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.①OA为⊙O的半径（A在⊙O上），②直线l⊥OA于A.③直线l是⊙O的切线.(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.①OA为⊙O的半径，③直线l是⊙O的切线, 点A是切点. ②直线l⊥OA于A.(3)结论：结论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；③直线l是⊙O的切线，②直线l⊥OA于A.①OA为⊙O的半径.结论2: 经过切点垂直于切线的直线必过圆心.2.已知圆的切线，要利用切线的性质时常添的常用辅助线：切点的位置如果确定，常常是连接圆心和切点；切点位置如果不确定，可以过圆心作切线的垂线,垂足就是切点.1min 活动五：布置作业1.如图,已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°,过点C的切线PC与AB的延长线相交于点P,则∠P=_______°.2.如图，已知⊙O的半径为3，直线AB是⊙O的切线，OC交AB于点C，且∠OCA = 30°，则OC的长为_________.3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在AB上，OB = 2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长.知能演练提升一、能力提升1.已知☉O的半径为R,直线l和☉O有公共点,若圆心到直线l的距离是d,则d与R的大小关系是()A.d>RB.d<RC.d≥RD.d≤R2.若☉O的直径为5,直线l与☉O相交,圆心O到直线l的距离是d,则d的取值范围是()A.4<d<5B.d>5C.2.5<d<5D.0≤d<2.53.已知☉O的半径为5,圆心O到直线AB的距离为2,则☉O上到直线AB的距离为3的点的个数为()A.1B.2C.3D.44.如图,在平面直角坐标系中,☉O的半径为1,则直线y=-x+√2和☉O的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.以上三种情形都有可能5.已知直线l与☉O相切,若圆心O到直线l的距离是5,则☉O的半径是.6.如图,☉O的半径OC=10 cm,直线l⊥CO,垂足为H,交☉O于A,B两点,AB=16 cm,为使直线l与☉O相切,则需把直线l .7.如图,给定一个半径为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时,l为经过圆心O的一条直线,此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点,即m=4.由此可知:(1)当d=3时,m= ;(2)当m=2时,d的取值范围是.8.如图,∠AOB=60°,M为OB上的一点,OM=5,若以M为圆心,2.5为半径画☉M,请通过计算说明OA和☉M不相切.★9.已知等边三角形ABC的面积为3√3,若以A为圆心的圆和BC所在的直线l:(1)没有公共点;(2)有唯一的公共点;(3)有两个公共点.求这三种情况下☉A的半径r的取值范围.二、创新应用★10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AO=x,☉O的半径为1,问:当x在什么范围内取值时,AC所在的直线和☉O相离、相切、相交?知能演练·提升一、能力提升1.D2.D3.C4.C直线y=-x+√2与x轴的交点A的坐标为(√2,0),与y轴的交点B的坐标为(0,√2),则AB=2,△ABO的面积为1.由等面积法得点O到直线y=-x+√2的距离为1.因此d=r,故相切.5.56.向左平移4 cm或向右平移16 cm连接OA,设CO的延长线交☉O于点D.因为l⊥OC,所以OC平分AB.所以AH=8 cm.在Rt△AHO中,OH=√AO2-AH2=√102-82=6(cm),所以CH=4 cm,DH=16 cm.所以把直线l向左平移4 cm或向右平移16 cm时可与圆相切.7.(1)1(2)1<d<3(1)当d=3时,由于圆的半径为2,故只有圆与OM的交点符合题意,所以m=1;(2)当m=2时,即圆上到直线l的距离等于1的点的个数为2,当d<1时,m=4,当d=1时,m=3,当d=3时,m=1,当d>3时,m=0,故m=2时,1<d<3.8.解如图,过点M作MC⊥OA于点C.在Rt△OMC中,∠AOB=60°,∴∠OMC=30°.∴OC=12OM=2.5.∴MC=√52-2.52=5√32>2.5,即☉M和OA不相切.9.解在等边三角形ABC中,过点A作AD⊥BC,垂足为D(图略),得BD=12BC.在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD=√AB2-BD2=√BC2-(12BC)2=√32BC.由三角形面积公式,得12BC·AD=12BC·√32BC=3√3,所以BC=2√3.所以AD=√32BC=3.(1)当☉A和直线l没有公共点时,r<AD,即0<r<3(如图①);(2)当☉A和直线l有唯一公共点时,r=AD,即r=3(如图②);(3)当☉A和直线l有两个公共点时,r>AD,即r>3(如图③).二、创新应用10.分析由于直线和圆的位置关系取决于圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系,所以作OD⊥AC于点D,分别由AC和☉O相离、相切、相交可得相应的OD和☉O的半径r之间的关系式,从而求出x的范围.解如图,作OD⊥AC,垂足为点D,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,所以∠A=30°.所以OD=12AO=12x.当12x>1,即x>2时,AC和☉O相离;当12x=1,即x=2时,AC和☉O相切;当0≤12x<1,即0≤x<2时,AC和☉O相交.。

《直线与圆的位置关系》教案哈尔滨第一职业高级中学李立2014.10.15《直线与圆的位置关系》教案一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．2、过程与方法通过学习，学会使用不同的方法来分析、判断直线与圆的位置关系。

3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重点、难点：重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．三、教学设想：（一）创设情境请同学们观察一段海上日出的视频，并提出问题：直线与圆存在几种位置关系？进而，引出今天所要研究的内容——直线与圆的位置关系。

（二）讲解知识1.复习提问：（1）初中阶段，直线与圆的位置关系是如何定义？（2）若已知直线方程及圆的方程如何求它们的交点？（3）直线方程的一般式、圆的标准方程、圆的一般方程？2.用判别式法判断直线与圆的位置关系（1）例题示范：已知：直线的方程为： 圆的方程为：判断直线与圆的位置关系。

边分析边引导学生回答，教师示范板书。

并引导学生总结求解过程，从而，引发学生思考得出结论：相离0<∆⇔；相切0=∆⇔；相交0>∆⇔（2）练习2：已知：圆的方程： 直线的方程： 问：当 为何值时，直线与圆相切？由学生示范解题过程并引导学生讲解，启发学生思考：是否还有其它方法判断直线与圆的位置关系。

3.比较圆心到直线的距离d 与半径r 的大小判断直线与圆的位置关系（1）观察图形，引导学生总结三幅图中圆心到直线的距离d 与半径r 的大小得出结论：相离r d >⇔；相切r d =⇔；相交r d <⇔（2）用此方法再次求解例题1，教师示范板书。

（3）巩固练习3由学生回答完成。

,2x y =,4)1()3(22=-+-y x ,0922=-+y x ,4+=kx y k（4）分成两组用两种方法分别求解练习3，并请每组派一代表进行演示并讲解。