高中数学人教A版选修1-2：阶段质量检测(二) 推理与证明含解析

2021年09月30日试卷一、单选题(共25题；共0分) 1、(0分)在复平面内，复数 −2+3i 3−4i（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2、(0分)若复数z 满足 (3−4i )z =5，则z 的虚部为( )A. 45B. － 45C. 4D. －43、(0分)i ·z =1−i （i 为虚数单位），则z=( )A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i4、(0分)已知复数 z =2−1+i，则（ ）A. |z |=2B. z 的实部为1C. z 的虚部为﹣1D. z 的共轭复数为1+i5、(0分)若复数 z =(x 2−1)+(x −1)为纯虚数，则实数 x 的值为（ ）A. −1B. 0C. 1D. −1或16、(0分)定义运算a ∗b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则100(12lg9−lg2)∗(log 98•log 4√33)的值为（ ）A.1316B. 92C. 4D. 67、(0分)执行如图所示的程序框图，若，取，则输出的值为（ ）A. B.C. D.8、(0分)某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛. 该校高一年级有1，2，3，4四个班参加了比赛，其中有两个班获奖. 比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是A. 乙，丁B. 甲，丙C. 甲，丁D. 乙，丙9、(0分)下列说法正确的个数有①用刻画回归效果,当越大时,模型的拟合效果越差;反之,则越好；②可导函数在处取得极值，则；③归纳推理是由特殊到一般的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10、(0分)在一次体育兴趣小组的聚会中，要安排6人的座位，使他们在如图所示的6个椅子中就坐，且相邻座位（如1与2，2与3）上的人要有共同的体育兴趣爱好.现已知这6人的体育兴趣爱好如下表所示，且小林坐在1号位置上，则4号位置上坐的是（ ）A. 小方B. 小张C. 小周D. 小马11、(0分)设i 为虚数单位，则复数 i 2+i等于（ ）A. 15+25iB. −15+25iC. 15−25iD. −15−25i12、(0分)已知i 是虚数单位，则 3−i1+i =（ ）A. 2+iB. 2-iC. 1+2iD. 1-2i13、(0分)复数 z =2−i 2+i（ i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限14、(0分)计算 1+2i3−4i 的结果是（ ）A. −15+25iB. −15−25iC. −25+15iD. 25−15i15、(0分)(√22−√22i)2=（）A. 1B. −1C. iD. −i16、(0分)（2015秋•桃江县校级月考）用反证法证明“若x+y≤0则x≤0或y≤0”时，应假设（ ）A. x ＞0或y ＞0B. x ＞0且y ＞0C. xy ＞0D. x+y ＜017、(0分)《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A. 类比推理B. 归纳推理C. 演绎推理D. 以上都不对18、(0分)下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的表述有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个19、(0分)用反证法证明命题：“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，正确的假设是（）A. 三角形中有两个内角是钝角B. 三角形中至少有两个内角是钝角C. 三角形中有三个内角是钝角D. 三角形中没有一个内角是钝角20、(0分)已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是-2＋i，3＋2i，则向量所表示的复数的模为（）A. B.C. D.21、(0分)当a=3时,右面的程序框图输出的结果是（）A. 9B. 3C. 10D. 622、(0分)如图所示的结构图中“综合办公室”的“下位”要素是（）A. 总经理B. 职能管理部门、技术研发部门C. 市场营销部门D. 职能管理部门、市场营销部门、工程部门、技术研发部门23、(0分)“①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形”，根据“三段论”推理形式，则作为大前提、小前提、结论的分别为（）A. ①②③B. ③①②C. ②③①D. ②①③24、(0分)若由一个2×2列联表中的数据计算得Χ2=6.825，那么确认两个变量有关系的把握性有（）A. 90%B. 95%C. 99%D. 99.5%25、(0分)执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. 712B. 56C. 12D. 76二、填空题(共10题；共0分) 26、(0分)如果复数z=1+ai 1+i（i 为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=_____________ ．27、(0分)三维柱形图与独立性检验判断两个分类变量是否有关系，哪一个能更精确地判断可能程度： _____________ ．28、(0分)已知复数 ，其中为虚数单位，则_________.29、(0分)在△ABC 中，若D 为BC 的中点，则有 AD →=12(AB →+AC →)，将此结论类比到四面体中，在四面体 A-BCD 中，若G 为△BCD 的重心，则可得一个类比结论： ． 30、(0分)下面的图示中，是流程图的是 _____________.31、(0分)宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子（每层三角形边茭草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，…，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数），则本问题中三角垛底层茭草总束数为 _____________32、(0分)某程序框图如图所示，则输出的结果是33、(0分)在等差数列{a n}中，我们有a1+a2+a3+a4+a5+a66=a3+a42，则在正项等比数列{b n}中，我们可以得到类似的结论是________．34、(0分)用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60∘”时，结论的否定是．.35、(0分)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．（）(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．（）(3)由个别到一般的推理为归纳推理．（）三、解答题(共5题；共0分)36、(0分)已知：30°+sin 290°+sin 2150°=32,sin 25°+sin 265°+sin 2125°=32;通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.37、(0分)画出计算1＋ ＋ ＋…＋ 的值的程序框图．38、(0分)数学问题是不胜枚举的,解题方法也是千差万别,但是解决数学问题的过程是类似的,请设计一个流程图,表示解决数学问题的过程.39、(0分)执行如图的程序框图：（1）如果在判断框内填入“ a ≤0.05”，请写出输出的所有数值； （2）如果在判断框内填入“ n ≥100”，试求出所有输出数字的和.40、(0分)设复数z 满足 4z +2z −=3√3+i ， ω=sinθ−icosθ,(θ∈R)．求z 的值和|z －ω|的取值范围．四、计算题(共5题；共0分) 41、(0分)计算2+2i i+1+i1−i ．42、(0分)求适合等式：（2x ﹣1）+i=y+（y ﹣3）i 的x ，y值，其中x∈R，y 是纯虚数．43、(0分)（Ⅰ）计算：(√2+√2i)2(4+5i)(5−4i)(1−i)； （Ⅱ）在复平面上，平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 对应的复数分别为i ，1，4+2i ．求第四个顶点D 的坐标及此平行四边形对角线的长．44、(0分)某车间为了制定工时定额，需要确定加，得到的数据如下：(1).在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2).求出y 关于x 的线性回归方程 y ∧= b ∧x+ a ∧，并在坐标系中画出回归直线； (3).试预测加工10个零件需要多少小时？ （注： b ∧=∑i=1n x i y i −nx ¯y ¯∑i=1n x i2−nx¯2， a ∧ = y ¯﹣ b ∧x ¯） 45、(0分)已知z 1=5+10i ，z 2=3﹣4i ， 1z=1z 1+1z 2，求z ．五、作图题(共5题；共0分)46、(0分)（1）某工厂加工某种零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工．每道工序完成时，都要对产品进行检验．粗加工的合格品进入精加工，不合格进入返修加工；返修加工的合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工的合格品为成品，不合格品为废品．用流程图表示这个零件的加工过程． （2）设计一个结构图，表示《数学选修1﹣2》第二章“推理与证明”的知识结构．47、(0分)某公司做人事调整：设总经理一个，配有经理助理一名；设副经理两人，直接对总经理负责，设有6个部门，其中副经理A 管理生产部、安全部和质量部，经理B 管理销售部、财务部和保卫部；生产车间由生产部和安全部共同管理，公司配有质检中心和门岗．请根据以上信息设计并画出该公司的人事结构图．48、(0分)某保险公司业务流程如下：（1）保户投保：填单交费、公司承保、出具保单；（2）保户提赔：公司勘查、同意，则赔偿，不同意，则拒赔．画出该公司业务流程图．49、(0分)目前我省高考科目为文科考：语文，数学（文科），英语，文科综合（政治、历史、地理）；理科考：语文，数学（理科），英语，理科综合（物理、化学、生物）．请画出我省高考科目结构图．50、(0分)某市环境保护局信访工作流程如下：（1）法制科受理来访，一般信访填单转办，重大信访报局长批示；（2）及时转送有关部门办理，督办，如特殊情况不能按期办毕，批准后可延办，办毕反馈；（3）信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．据上给出该局信访工作流程图．试卷答案1.【答案】B 【解析】∵−2+3i 3−4i=(−2+3i )(3+4i )(3−4i )(3+4i )=−18+i 25=−1825+125i ，∴复数 −1825+125i 所对应的点为(−1825,125)，在第二象限，故选B. 2.【答案】A【解析】因为 (3−4i )z =5,所以 z =53−4i =5(3+4i )(3−4i )(3+4i )=5(3+4i )9+16=35+45i ,故选A.3.【答案】D 【解析】因为 ， 所以 ， 选D.4.【答案】C【解析】 z =2−1+i =2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=2×(−1−i)(−1)2−i 2=−1−i所以， |z |=|−1−i |=√2;，z 的实部为1，z 的虚部为﹣1，z 的共轭复数为-1+i. 故选C.5.【答案】A【解析】由题意可得 {x 2−1=0x −1=0，解得 x =−1.6.【答案】B【解析】由对数恒等式得100(12lg9−lg2)=100(lg3−lg2)=102lg32=94,由换底公式得log 98·log 4√33=lg8lg9·lg √33lg4=3lg22lg3·13lg32lg2=14,由题意得:100(12lg9−lg2)∗(log 98•log 4√33)的值为94∗14=94(94−14)=92,故选B.点睛:本题考查的是指对的运算和程序框图的综合应用,属于中档题目.判断程序框图的输出结果,是算法初步的热点问题,此类问题以循环结构的程序框图居多,要求仔细阅读程序框图,推演程序的功能,找到运算规律.本题在计算时结合了对数恒等式与换底公式进行化解.7.【答案】B【解析】由程序框图，得，，，则输出，故选B．考点：二分法，程序框图．8.【答案】B【解析】由题意可知乙与丁的说法同时正确或者同时错误，若乙丁同时正确，根据乙的说法“2班没有获奖，3班获奖了”中奖情况有两种：1班和3班获奖或者4班和3班获奖，两种情况都说明丙同学的说法正确，这样就有丙乙丁三位同学的说法正确，所以不合题意，故只能乙丁两位同学说法同时错误，从而知甲丙两位同学说法正确，故选B.【方法点睛】本题通过几个同学的判断主要考查逻辑推理能力，属于难题. 逻辑推理题型的特点是：通过几组命题来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到逻辑推理问题，应耐心读题，分析各个命题的特点，找准突破点，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.9.【答案】C【解析】试题分析：①．相关指数越大，则相关性越强，模型的拟合效果越好．错误；②．可导函数在处取得极值，则，正确；③归纳推理是由特殊到一般的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；正确．④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”．正确考点：回归分析，导数及推理与证明的概念．10.【答案】A【解析】重新整理，篮球：小林，小马；网球：小林，小张；羽毛球：小林，小李；足球：小方，小张；排球：小方，小李；跆拳道：小方，小周；棒球：小马，小李；击剑：小周，小张乒乓球：小马；自行车：小周由于小周的自行车与小马的乒乓球没有共同兴趣爱好者，所以小周两边一事实上是跆拳道与击剑的，小马两边只能是棒球与篮球的。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a ，b ∈R ，则1a 3>1b 3成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab >0 B ．b >a C ．a <b <0D ．ab (a －b )<0【解析】 由a <b <0⇒a 3<b 3<0⇒1a 3>1b 3，但1a 3>1b 3不能推出a <b <0. ∴a <b <0是1a 3>1b 3的一个充分不必要条件． 【答案】 C2．求证：7－1>11－ 5. 证明：要证7－1>11－5， 只需证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1，即证35>11， ∵35>11， ∴原不等式成立． 以上证明应用了( ) A ．分析法 B ．综合法C ．分析法与综合法配合使用D ．间接证法【解析】 该证明方法符合分析法的定义，故选A. 【答案】 A3．(2016·汕头高二检测)要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a＋b)22－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0【解析】要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.【答案】 D4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件()A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2【解析】由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc<0，∴b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2.【答案】 C5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac <3a”，索的因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0【解析】由题意知b2－ac<3a⇐b2－ac<3a2⇐b2＋a(a＋b)<3a2⇐b2＋a2＋ab<3a2⇐b2＋ab<2a2⇐2a2－ab－b2>0⇐a2－ab＋a2－b2>0⇐a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0⇐a(a－b)－c(a－b)>0⇐(a－b)(a－c)>0，故选C.【答案】 C二、填空题6．(2016·烟台高二检测)设A＝12a＋12b，B＝2a＋b(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________．【解析】∵A－B＝a＋b2ab－2a＋b＝(a＋b)2－4ab2ab(a＋b)＝(a－b)22ab(a＋b)≥0，∴A≥B.【答案】A≥B7．(2016·西安高二检测)如果a a>b b，则实数a，b应满足的条件是________.【导学号：19220024】【解析】要使a a>b b成立，只需(a a)2>(b b)2，只需a3>b3>0，即a，b应满足a>b>0.【答案】a>b>08．如图2-2-5，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．图2-2-5【解析】要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.【答案】AC⊥BD(或底面为菱形)三、解答题9．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.【证明】法一：分析法要证a3＋b3>a2b＋ab2成立．只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，又因a＋b>0，只需证a2－ab＋b2>ab成立，只需证a2－2ab＋b2>0成立，即需证(a－b)2>0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，由此命题得证．法二：综合法a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．∴a3＋b3>a2b＋ab2.10．(2016·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥43 S.【证明】要证a2＋b2＋c2≥43S，只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2ab cos C)≥23ab sin C，即证a2＋b2≥2ab sin(C＋30°)，因为2ab sin(C＋30°)≤2ab，只需证a2＋b2≥2ab，显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥43S.[能力提升]1．已知a，b，c，d为正实数，且ab<cd，则()A.ab<a＋cb＋d<cdB.a＋cb＋d<ab<cdC.ab<cd<a＋cb＋dD．以上均可能【解析】 先取特殊值检验，∵a b <cd ， 可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2， 则a ＋cb ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <cd . ∴B ，C 不正确．要证a b <a ＋c b ＋d ，∵a ，b ，c ，d 为正实数，∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc . 只需证a b <c d .而a b <cd 成立，∴a b <a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <c d .故A 正确，D 不正确．【答案】 A2．(2016·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca B.a ＋b >a ＋b (a >0，b >0) C.a －a －1<a －2－a －3(a ≥3) D.2＋10>2 6【解析】 对于A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ； 对于B ，∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴a ＋b >a ＋b ；对于C ，要证a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)成立，只需证明a ＋a －3<a －2＋a －1，两边平方得2a －3＋2a (a －3)<2a －3＋2(a －2)(a －1)，即a (a －3)<(a －2)(a －1)，两边平方得a 2－3a <a 2－3a ＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立；对于D ，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0，∴2＋10<26，故D 错误． 【答案】 D3．使不等式3＋22>1＋p 成立的正整数p 的最大值是________.【导学号：19220025】【解析】 由3＋22>1＋p ，得p <3＋22－1， 即p <(3＋22－1)2， 所以p <12＋46－42－23，由于12＋46－42－23≈12.7，因此使不等式成立的正整数p 的最大值是12. 【答案】 124．(2016·唐山高二检测)已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1，求证：log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .【证明】 要证明log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )，而已知0<x <1，故只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc . ∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立．∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立.。

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．已知，为非零实数，则使不等式：＋≤－成立的一个充分而不必要条件是( )．·<．·>．>，>．>，<【解析】∵＋≤－，∴≤－.∵＋>，∴<，则，异号，故选.【答案】．平面内有四边形和点，＋＝＋，则四边形为( )．梯形．菱形．平行四边形．矩形【解析】∵＋＝＋，∴－＝－，∴＝，∴四边形为平行四边形．【答案】．若实数，满足<<，且＋＝，则下列四个数中最大的是( )【导学号：】．＋．．【解析】∵＋＝，＋>，∴<.而＋>＝，又∵<<，且＋＝，∴<，∴＋最大，故选.【答案】．，为△的内角，>是 > 的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件【解析】若>，则>，又)＝)，∴> ；若> ，则由正弦定理得>，∴>.【答案】．若，是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )．若⊂β，α⊥β，则⊥α．若α∩γ＝，β∩γ＝，∥，则α∥β．若⊥β，∥α，则α⊥β．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【解析】对于，与α不一定垂直，所以不正确；对于，α与β可以为相交平面；对于，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于，β与γ不一定垂直．【答案】二、填空题．设，是两个不共线的向量，＝＋，＝＋，若，，三点共线，则＝.【解析】若，，三点共线，则＝λ，即＋＝λ(＋)＝λ＋λ，∴(\\(λ＝，＝，))∴(\\(λ＝，＝.))【答案】．设＝，＝－，＝－，则，，的大小关系为．【解析】∵－＝－(－)＝－>，∴>，又∵＝＝>，∴>，∴>>.【答案】>>。

高中数学人教a 版高二选修1-2_第二章_推理与证明_学业分层测评5有答案(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋b a≤－2成立的一个充分而不必要条件是( )A ．a ·b >0B ．a ·b <0C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0【解析】 ∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2ab≤－2. ∵a 2＋b 2>0，∴ab <0，则a ，b 异号，故选C.【答案】 C2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA→＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形【解析】 ∵OA→＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA→－OB →＝OD →－OC →， ∴BA→＝CD →， ∴四边形ABCD 为平行四边形．【答案】 D3．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A.12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a【解析】∵a＋b＝1，a＋b>2ab，∴2ab<1 2.而a2＋b2>(a＋b)22＝12，又∵0<a<b，且a＋b＝1，∴a<12，∴a2＋b2最大，故选B.【答案】 B4．A，B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若A>B，则a>b，又asin A＝bsin B，∴sin A>sin B；若sin A>sin B，则由正弦定理得a>b，∴A>B.【答案】 C5．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【解析】对于A，m与α不一定垂直，所以A不正确；对于B，α与β可以为相交平面；对于C，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D，β与γ不一定垂直．【答案】 C二、填空题6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝________.【解析】 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2， ∴{ λ＝2，λ＝k ， ∴{ λ＝2，k ＝6.【答案】 67．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________．【解析】 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c ，又∵c b ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b . 【答案】 a >c >b8．已知三个不等式：①ab >0；②c a >d b；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．【解析】 对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －ad ab >0，故①③⇒②.若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －ad ab >0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．【答案】 3三、解答题9．如图2-2-3，四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求证：AF ∥平面PEC .图2-2-3【证明】∵四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，∴AB綊CD.又∵E，F分别为AB，CD的中点，∴CF綊AE.∴四边形AECF为平行四边形．∴AF∥EC.又AF⊄平面PEC，EC⊂平面PEC，∴AF∥平面PEC.10．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列．求证：△ABC为等边三角形．【证明】由A，B，C成等差数列知，B＝π3，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac，又a，b，c也成等差数列，∴b＝a＋c 2，代入上式得(a＋c)24＝a2＋c2－ac，整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C，而B＝π3，则A＝B＝C＝π3，从而△ABC为等边三角形．[能力提升]1．设x，y∈R，a>1，b>1，若a x＝b y＝3，a＋b＝23，则1x＋1y的最大值为()A．2 B.32C．1 D.1 2【解析】∵a x＝b y＝3，x＝log a3，y＝log b3，∴1x＋1y＝log3(ab)≤log3⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝1.故选C.【答案】 C2．在△ABC中，tan A·tan B>1，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】因为tan A·tan B>1，所以角A，角B只能都是锐角，所以tan A>0，tan B>0,1－tan A·tan B<0，所以tan(A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A·tan B<0.所以A＋B是钝角，即角C为锐角．【答案】 A3．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2ab，a2＋b2,2ab中最大的是________.【解析】由0<a<1,0<b<1，且a≠b，得a＋b>2ab，a2＋b2>2ab.又a>a2，b>b2，知a＋b>a2＋b2，从而a＋b最大．【答案】a＋b4．如图2-2-4所示，M是抛物线y2＝x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA＝MB.若M为定点，求证：直线EF的斜率为定值．图2-2-4【证明】设M(y20，y0)，直线ME的斜率为k(k>0)，∵MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，∴直线MF的斜率为－k，∴直线ME的方程为y－y0＝k(x－y20)．由{y－y0＝k(x－y20)，y2＝x，消去x得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0.解得y E＝1－ky0k，∴x E＝(1－ky0)2k2.同理可得y F＝1＋ky0－k，∴x F＝(1＋ky0)2k2.∴k EF＝y E－y Fx E－x F＝1－ky0k－1＋ky0－k(1－ky0)2k2－(1＋ky0)2k2＝2k－4ky0k2＝－12y0(定值)．∴直线EF的斜率为定值．。