03-11年及13年GCT数学真题+答案

2013年十月在职联考GCT 数学考试试题实数的性质及其运算1.两个正整数的最大公约数是6，最小公倍数是90，满足条件的两个正整数组成的大数在前的数对共有（） （A ）0对（B ）1对（C ）2对（D ）3对2. 三个质数之积恰好等于它们和的5倍，则这三个质数之和为（） （A ）11（B ）12（C ）13（D ）143.三个2002倍数的运算99…9×88…8÷66…6的结果中有（） （A ）相邻的2001个3 （B ）相邻的2002个3 （C ）相邻的2001个2（D ）相邻的2002个24.已知（x -2）2+｜y -1｜=0，那么2211y x -的值是（） （A ）41 （B ）43-（C ）4（D ）35.使得2|2|2--x 不存在的x 是（）（A ）4（B ）0（C ）4或0 （D ）16.若x 2-3x +1=0，那么441x x +等于（ ） （A ）30 （B ）40（C ）45（D ）477.今年王先生的年龄是他父亲年龄的一半，他父亲的年龄又是王先生儿子的15倍，两年后他们三人的年龄之和恰好是100岁，那么王先生今年的年龄是（） （A ）40（B ）50（C ）20（D ）308.班上52的女生和21的男生参加了保险，且班级120人中男生是女生的57倍，那么班级中参加保险的人数约占全班人数的（ ） （A ）40%（B ）42%（C ）44%（D ）46%9.原价a 元可购5件衬衫，现价a 元可购8件衬衫，则该衬衫降价的百分比是（ ）（A ）25%（B ）37.5%（C ）40%（D ）60%10.某厂生产的产品中31为一级品，51为二级品，不合格产品是二级品的41，则该种产品中不合格品是一级品的（）（A ）101 （B ）203 （C ）51 （D ）201111. a 、b 、x 、y 是10（包括10）以内的无重复的正整数，那么yx b a +-的最大值是（）（A ）521 （B ）541（C ）2 （D ）31212.设通往某国的长途电话的计费，3分钟内为1美元，3分钟后每分钟0.25美元. 某人通话后付了3美元，他实际通话时间是（）（A ）8分钟 （B ）10分钟（ C ）11分钟 （D ）12分钟13.已知A 股票上涨0.16元相当于该股票原价的16%，B 股票上涨1.68元也相当于其原价的16%，则这两种股票原价相差（）（A ）8元 （B ）9.5元（C ）10元（D ）10.5元14.一个分数的分子减少25%，而分母增加25%，则新分数比原来分数减少的百分率是（ ） （A ）40%（B ）45%（C ）50%（D ）60%15.若｜x -3｜=3-x ，则x 的取值范围是（ ）（A ）x ＞0 （B ）x =3（C ）x ＜3（D ）x ≤3 16.满足关系式021|1|=---x x 的x 是（）（A ）0（B ）2（C ）0或2 （D ）0或-217.不等式｜x -2｜≥2的解集是（ ） （A ）x ≤0 （B ）x ≥1（C ）0≤x ≤1（D ）x ≤0或x ≥418.若｜a ｜=21，｜b ｜=1，则｜a +b ｜等于（ ）（A ）23或0 （B ）21或0 （C ）-21（D ）21或2319.已知()()012122=++-y x ，则x +y 的值为（ ）（A ）21或-23 （B ）23 （C ）21（D ）-120.甲与乙的比是3：2，丙与乙的比是2：3，则甲与丙的比是（ ） （A ）1：1 （B ）3：2（C ）2：3（D ）9：421.某班学生中，43的女生和53的男生是共青团员，若女生团员人数是男生团员人数的65，则该班女生人数与男生人数的比为（ ） （A ）5:6（B ）2:3（C ）3:2（D ）4:522.李先生投资2年期、3年期和5年期三种国债的投资额的比为5：3：2，后又以与前次相同的投资总额全部购买3年期国债，则李先生两次对3年期国债的投资额占两次总投资额的（ ） （A ）53（B ）107 （C ）2013 （D ）43 23.某商品在第一次降价10%的基础上，第二次又降低5%，若第二次降价后恢复到原来的价格，则价格上涨的百分率约为（ ） （A ）15%（B ）16%（C ）17%（D ）14%24.某工厂有工人1000人，2005年人均年产值为12万元，计划2006年年产值比2005年增长10%，而2006年1月份和2月份因节假日放假，所以人均月产值与2005年相同，要完成2006年的任务，从3月份起，人均月产值需比2005年增长（ ） （A ）12%（B ）13%（C ）14%（D ）11%25.已知2||=-+y x y x ，则yx 等于（ ） （A ）21（B ）3（C ）31或3（D ）21或3126.若y 与x-1成正比，比例系数为1k ，y 又与x +1成反比，比例系数为2k ，且1k ：2k =2：3，若两函数图像交点为（x 0，y 0），则x 0值为（ ）（A ）315±（B ）315 （C ）-315（D ）210±27. i 是虚数单位，6(1)i +的模等于（）.（A ）64（B ）（C ）8（D ）28. 复数234567z i i i i i i i =++++++，则z i +=（）.（A ） 2（B（C（D ）129. 复数2(1)z i =-的模z =（）.（A ） 4（B ）（C ）2（D30. 已知3()x i +x =（）.（A ）±（B ）3±（C ）（D ）2±31. 设复数z 满足11zi z-=+，则1z +=（）.（A ）0（B ）1（C （D ） 2此文由环球卓越整理，转载请注明出处！。

2013年在职联考GCT语文A卷考试真题及答案（word版)一、选择题1.下面各组词语，没有错别字的是A。

蹒跚呕气言简意赅矫揉造作B。

肆业暮霭不落窠臼自顾不暇C.杀戮作祟美轮美奂耳濡目染D。

辍学真缔出其不意怨天尤人2。

下面加点的词，意义相同的一组是A。

①他们清醒地认识到存在的问题和不足②经全力抢救,他才从昏迷中清醒过来B.①小李思想敏锐，工作深入，作风扎实②他们以扎实有效的措施强化质量管理C.①光这一家公司就购买了十几套这种设备②人员精简后,这个部门就剩下十几个人D.①虽经风吹雨打，墙上的字迹依然十分清楚②企业的领导者对产品存在的问题十分清楚3.下面句子没有歧义的是A。

他站在山坡上，远远地看见有个人向自己走过来B.已经过去一个多月了,小王借同学的书还没有还C。

足球赛正如火如荼地进行，这里的人们却看不上D.刚上映了一部电影，李华和张明的朋友都想去看4.下面句子没有语病的是A。

从全国范围来看，虽然体育系统高度重视,全运会却乏人喝彩，其原因之一是全民参与度较低，公众缺乏关注和认同B。

中国政府任何时候都不会放弃对钓鱼岛的领土和主权的归属，对于日本政府的蓄意挑衅行为和煽动性言论将坚决回击C。

智能手机集成了传统手机的通讯功能和掌上电脑的信息处理功能于一体的特点，在世界主要国家和地区越来越受欢迎D.在物质基础不断完善的今天，自我修养的提高对于人们精神生活的丰富，提升人生品质，保障身心健康,都有极大作用2013GCT（语言）试卷A 第1页共13页5。

下面各句中,加点的成语使用恰当的是A.张艺谋和张伟平的《英雄》成为国内电影市场的救世者，：国产电影第一次拿到了2.5 亿元票房，中国电影人为此都弹冠相庆B。

个别新闻媒体到网上收集一些所谓“热点"不加鉴别直接转载，使人们对谣言信以为真，这就可能带来三人成虎的恶劣后果C。

2013年国际田联钻石联赛苏黎世站的男子110米栏比赛中,美国短跑名将奥利弗最终以13秒12的成绩首当其冲夺得冠军D.有些人讲《论语》时，常常曲解了原文的意思，这是因为古人文不加点，因此难免使今人在断句时产生理解上的偏差6.下面诗句中，“嵯峨”一词的意思与其他三句差别较大的一句是A.李白坟三尺,嵯峨万古名B.江上孤峰蔽绿萝，悬楼终日对嵯峨C。

2013 年 GCT真题文字版（A 卷）第一部分语言表达能力测试(50 题，每小题 2 分，满分 100 分)：一、选择题1.下面各组词语，没有错别字的是A.蹒跚呕气言简意赅矫揉造作B.肆业暮霭不落窠臼自顾不暇C.杀戮作祟美轮美奂耳濡目染D.辍学真缔出其不意怨天尤人2.下面加点的词，意义相同的一组是A.①他们清醒．．地认识到存在的问题和不足②经全力抢救，他才从昏迷中清醒．．过来B.①小李思想敏锐，工作深入，作风扎实．．②他们以扎实．．有效的措施强化质量管理C.①光这一家公司就．购买了十几套这种设备②人员精简后，这个部门就．剩下十几个人D.①虽经风吹雨打，墙上的字迹依然十分清楚．．②企业的领导者对产品存在的问题十分清楚．．3.下面句子没有歧义的是A.他站在山坡上，远远地看见有个人向自己走过来B.已经过去一个多月了，小王借同学的书还没有还C.足球赛正如火如荼地进行，这里的人们却看不上D.刚上映了一部电影，李华和张明的朋友都想去看4.下面句子没有语病的是A.从全国范围来看，虽然体育系统高度重视，全运会却乏人喝彩，其原因之一是全民参与度较低，公众缺乏关注和认同B.中国政府任何时候都不会放弃对钓鱼岛的领土和主权的归属，对于日本政府的蓄意挑衅行为和煽动性言论将坚决回击C.智能手机集成了传统手机的通讯功能和掌上电脑的信息处理功能于一体的特点，在世界主要国家和地区越来越受欢迎D.在物质基础不断完善的今天，自我修养的提高对于人们精神生活的丰富，提升人生品质，保障身心健康，都有极大作用5.下面各句中，加点的成语使用恰当的是A.张艺谋和张伟平的《英雄》成为国内电影市场的救世者，：国产电影第一次拿到了 2.5亿元票房，中国电影人为此都弹冠相庆．．．．B.个别新闻媒体到网上收集一些所谓“热点”不加鉴别直接转载，使人们对谣言信以为真，这就可能带来三人成虎．．．．的恶劣后果C. 2013 年国际田联钻石联赛苏黎世站的男子 110 米栏比赛中，美国短跑名将奥利弗最终以 13秒 12 的成绩首当其冲．．．．夺得冠军D.有些人讲《论语》时，常常曲解了原文的意思，这是因为古人文不加点．．．．，因此难免使今人在断句时产生理解上的偏差6.下面诗句中，“嵯峨”一词的意思与其他三句差别较大的一句是A.李白坟三尺，嵯峨万古名B.江上孤峰蔽绿萝，悬楼终日对嵯峨C.将军楼船发浩歌，云樯高插天嵯峨D.长风万里举，庆云郁嵯峨7.姜夔《白石道人诗说》云：“诗有四种高妙；一曰理高妙，二曰意高妙，三曰想高妙，四曰自然高妙.”下面意思最接近“自然高妙”的是A.碍而实通B.出事意外C.写出幽微，如清潭见底D.非奇非怪，剥落文采，知其妙而不知其所以妙8.“人的发现”是五四新文学的重要思想特征，下面不属于这一内容的是A.自然的发现B.个性的发现C.儿童的发现D.女性的发现9.中医学非常重视“气、经络；阴阳、季”四个方面，这与现代企业管理中的如下方面相吻合：①企业的组织结构，②企业的任务、目标、策动力，③企业的优势、弱点、机遇、威胁之间的平衡，④企业与多变的环境相适应.以下排序与“气、经络、阴阳、季”一一对应的一组是A. ①②③④B.②①③④C. ④①③②D.③④②①10.基尼系数表示在全部居民收入中，用于进行不平均分配的那部分收入占总收入的百分比.它是描述收入分配差异程度，反映贫富差距的一个重要指标.根据基尼系数的大小，下面贫富差距最大的国家是A.甲国 0.1B.乙国 0.3C.丙国 0.5D.丁国 0.711.王羲之《兰亭集序》有“虽无丝竹管弦之盛，一觞一咏，亦足以畅叙幽情”一句，下面对“畅”一词释义最贴切的是A.通达B.旺盛C.尽情D.舒畅12.《中华人民共和国商标法》第 8 条规定：“任何能够将自然人、法人或者其他组织的商品与他人的商品区别开的标志，包括文字、图形、字母、数字、三维标志、颜色组合和声音等，以及上述要素的组合，均可以作为商标申请注册.”根据此条规定，下面标志肯定不能作为商标注册的是A.鸟儿的鸣叫声B.黄色的色块C.瓶子的形状D.字母的臆造组合13.法律规定，婚后由一方父母出资为子女购买的不动产，产权登记在出资人子女名下的，视为只对自己子女一方的赠与，该不动产应认定为夫妻一方的个人财产.符合上述规定的推断是A.甲乙是夫妻.在婚礼现场，甲的父母宣布并当众送给甲 100 万元.该 100 万元是夫妻共同财产B.甲乙两人准备结婚.甲的父母出资 100 万元以甲的名义购买了住房.后甲乙结婚.该住房属于夫妻共同财产C.甲乙是夫妻.甲的父母出资 100 万元用于甲乙婚后购房，房屋登记在甲乙两人名下.该房产中有一部分属于甲父母的财产D.甲乙是夫妻.后因购房，甲的父母赠送 100 万元.该房屋登记在乙的名下.该房产属于夫妻共同财产14.2013 年元月中旬，中国北方大部分城市出现灰霾天气.霾是由悬浮在大气中的大量微小尘粒、烟粒或盐粒等颗粒物(Particulate Matter，简称 PM)形成的，对人体健康有不良影响.晨练爱好者灰霾天外出最好佩戴口罩.下面口罩可以有效过滤 PM2.5 的是A.普通 16 层纱布口罩，过滤孔径在 100 微米左右B.医用 3 层无纺布口罩，过滤孔径在 4 微米左右C.单层无纺布口罩，过滤孔径在 10 微米左右D.N95 口罩，过滤孔径在 0.1 微米左右15.地球同步气象卫星发送回地面的红外卫星云图，是由卫星上安装的具有接收云层辐射功能的红外线传感器感知而生成的，卫星云图上的黑点密集度由云层温度决定，这里利用的红外线特征是A.穿透性B.热红外效应C.可见性D.光化学效应二、填空题16.在下面横线处，依次填入最恰当的语段.杜甫说：“不薄今人爱古人，清词丽句必为邻.”——.——.——；——.①只要是美丽的诗句，我都愿意模仿它，跟它接近②对于今人写的这种工整的律诗，我也并不菲薄③杜甫之所以伟大，就因为他以集大成的胸襟生在一个可以集大成的时代④对于古人写的那种没有严格格律限制的古诗，我很喜爱A.③①④②B.①②③④C.④①②③D.②①④③17. _______ 都使用了“拟人”这一修辞手法.A.①一盏离愁，孤单伫立在窗口.②花开一次的成熟我却错过.B.①你走之后，酒暖回忆思念瘦.②水总向东流，时间怎么偷.C.①一壶漂泊，浪迹天涯难入喉.②你像一只蝴蝶飞进我窗口.D.①夜半清醒的烛火不忍苛责我.②杨柳低垂首，圆月更寂寞.18.在下面横线处，依次填入最恰当的关联词语.中国人喜欢接受这样的想法：_______能活着就是好的，活成什么样子无所谓.从一些电影的名字_______可以看出来：《活着》、《找乐》……我对这种想法是断然地不赞成，_______抱有这种想法的人就可能活成任何一种糟糕的样子，_______使生活本身失去意义.A. 只要又因为反而B.既然又所以从而C. 只要就因为从而D.既然就所以反而19.在下面横线处，依次填入最恰当的标点符号.伟大的文学艺术天才，被社会漠视_______误解_______甚至轻贱______古今中外此类可叹之事甚多_______黄钟毁弃_______瓦釜雷鸣，也同样并不鲜见.A. 、，，；，B. ，；。

2013年考研数三真题与答案解析（完整版）2013 年考研数三真题及答案解析一、选择题1 —8 小题．每小题4 分，共 32 分．、１．当 x0 时，用 o(x) 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（ A ） x o ( x 2 ) o(x 3 )（ B ） o( x) o(x 2 ) o( x 3 )（ C ） o( x 2 ) o( x 2 )o( x 2 )（ D ） o(x) o( x 2 ) o( x 2 )【详解】由高阶无穷小的定义可知（ A ）（ B ）（ C ）都是正确的，对于（ D ）可找出反例，例如当 x 0时 f (x)x 2x 3 o( x), g( x)x 3o(x 2 ) ，但 f (x)g(x)o( x) 而不是o( x 2 ) 故应该选（ D ）．xx2．函数 f ( x)1的可去间断点的个数为（）x( x1) ln x（A ）0（ B ）1（ C ）2（D ）3【详解】当 x ln xx1e xln x1 ~ x ln x ，0 时， xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1 ，所以 x 0是函数 f ( x) 的可去间断点．x 0x 0x( x 1) ln xx 0x ln xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1，所以 x1 是函数 f ( x) 的可去间断点．x 1x 1x( x 1) ln xx 02 x ln x2xxxln xlim f ( x)lim1lim，所以所以 x1不是函数 f (x) 的(x 1) ln xx1x1x(x 1) ln xx 1可去间断点．故应该选（ C ）．３．设 D k 是圆域 D( x, y) | x 2y 2 1 的第 k 象限的部分，记 I k ( y x)dxdy ，则（）（ A ） I 1B I 2 0C 3 0D I 4 0（）（） I（）【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k 2121I k( yx)dxdy( k 1) d(sincos )rdrD k321kcos |k 2sin13所以 I 1I 30,I 22 , I 4 2 ，应该选（ B ）．3 3４．设 a n 为正项数列，则下列选择项正确的是（）（A ）若 a na n 1 ，则( 1) n 1 a n 收敛；n 1k2 (sinsin ) dk 1 2（B ）若( 1)n 1 a n 收敛，则 a n a n 1 ；n 1（C ）若a n 收敛．则存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在；n 1n（D ）若存在常数 P 1，使 lim n p a n 存在，则a n 收敛．nn 1【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（ A ）（ B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（ A ），但少一条件 lim a n0 ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，n选项（ B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（ A ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价．（ B ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．（ C ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．（ D ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价．【详解】把矩阵 A ，C 列分块如下： A 1, 2,, n , C 1 , 2 , , n ，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知i b i1 1 b i 2 2b in n (i 1,2, , n) ，得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即 A CB 1 ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B ）．1 a 12 06．矩阵 a b a与矩阵0 b 0 相似的充分必要条件是1 a 10 0（） a0,b2（） a 0， b 为任意常数AB（ C ） a 2,b 0（D ） a 2 ， b 为任意常数2 01 a 12 0 0 【详解】注意矩阵 0 b0 是对角矩阵，所以矩阵 A= a ba 与矩阵0 b 0 相 0 01 a 10 0似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a 1 E Aa b a ( 2(b 2)2b 2a 2 )1a1从而可知 2b 2a 2 2b ，即 a 0 ， b 为任意常数，故选择（ B ）．7 ．设 X 1,X 2,X 3是随机变量，且X 1~ N (0,1), X 2 ~ N(0,22), X 3 ~ N(5,32) ，P iP 2 X i2 ，则（A ） P 1 P 2 P 3 （B ） P 2 P 1 P 3 （C ） P 3P 2 P 1（D ） P 1P 3P 2【详解】若 X ~ N( , 2)，则 X~ N(0,1)P 1 2 (2) 1， P 2 P2X 22PX 2 12 (1) 1，12P 3 P2X 32 P2 5 X3 52 5 7 73331)33，P 3P 217 3 (1) 0．3(1)23故选择（ A ）．8．设随机变量 X 和 Y 相互独立，且X 和 Y 的概率分布分别为X0 1 2P1/21/41/8Y -1 0 P1/31/3则PXY2 （）（A ）1（B ）1（C ）1（D ） 123P 1/8 1 1/312【详解】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX1111 3,Y12424612，故选择（ C）．二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4分，满分 24分 .把答案填在题中横线上）9．设曲线y f (x) 和 y x 2x 在点1,0处有切线，则lim nf n．n n2【详解】由条件可知 f 10, f ' (1)1．所以f12 n n f (1)lim nf lim2 2 f '(1)2n22n 2n nn22n10．设函数z z x, y 是由方程z y x xy 确定，则z|(1,2 )．x【详解】设 F x, y, z F x x, y, z( z y) x l z y)当 x 1, y 2 时，z0 ，所以11．ln x2 d x．(1x)1z y x xy，则)y, F z (x,ny, z) x(z y) x 1，(z|(1, 2 )2 2 ln 2 ．x【详解】1ln x2 dx1ln xd1ln x |111dx ln x|1 ln 2 (1 x) 1 x1x x(1 x)x112．微分方程y y 1 y0 的通解为．411【详解】方程的特征方程为r0，两个特征根分别为412，所以方程通2x解为 y (C1 C 2 x) e2，其中 C1 ,C2为任意常数．13．设A aij是三阶非零矩阵，A 为其行列式，A ij为元素a ij的代数余子式，且满足Aij aij0(i , j1,2,3) ，则A=．【详解】由条件 Aaij0(i, j 1,2,3) 可知 AA* T 0 ，其中 A * 为 A 的伴随矩阵，从而可知A* A *T3 1A ，所以 A 可能为1或 0．An,r (A)n但由结论 r ( A * )1, r ( A) n 1 可知， A A * T 0 可知 r ( A)r ( A*) , 伴随矩阵的秩只0, r ( A) n1能为 3，所以 A 1.14．设随机变量 X 服从标准正分布 X ~ N ( 0,1) ，则 E Xe 2X ．【详解】E Xe 2 X1 x 2x(x 2)2e 2(x 2) 2xee 2dxe2dx( x 22)e 2dx222 2e 2t 2t 2te 2 dt 2e 2 dte 2 E( X ) 2e 2 2e 2 ．2所以为 2e 2 ．三、解答题15．（本题满分 10 分）当 x0时，1 cosx cos2x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，求常数a, n ．【分析】主要是考查 x 0 时常见函数的马克劳林展开式．【详解】当 x 0时，22 )，c x o 1 s xo( x1(2x) 22cos2 x1 o(x2 ) 1 2 x 2 o(x 2 )，2cos3x11(3x)2o( x 2 ) 1 9 x 2 o( x 2 ) ，2 2所以1 cosx cos2xcos3x1 (1 1 x2 o( x 2 ))(12x 2 o(x 2 ))(1 9 x 2o( x 2 )) 7x 2o( x 2 )22由于 1cosx cos2 x cos3x 与 ax n 是等价无穷小，所以 a 7, n 2 ．16．（本题满分10 分）设 D 是由曲线 y3x ，直线 x a (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形，V x ,V y 分别是 D 绕 x轴和 y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若10V x V y ，求 a 的值．【详解】由微元法可知a252 dxa3a 3V xy x 3 dx；5aa 47x 3dx6V y2 xf ( x) dx 2；0 7由条件 10V x V y ，知 a 7 7 ．17．（本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 x3 y, y3x, x y 8 所围成，求x 2 dxdy ．D【详解】x 2dxdyx 2dxdyx 2dxdy2x 2dx x dyx 2dx x dy416 ．3 x6 8 xDD 1D 20 3318．（本题满分 10 分）设生产某产品的固定成本为6000 元，可变成本为20 元 / 件，价格函数为 P60Q,（P1000是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（ 1）该的边际利润．（ 2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义．（ 3）使得利润最大的定价 P ．【详解】（1）设利润为Q 2 y ，则 y PQ (6000 20Q ) 40Q6000 ，1000边际利润为 y'40Q .500（ 2）当 P=50 时， Q=10000，边际利润为 20．经济意义为：当 P=50 时，销量每增加一个，利润增加20．（3）令 y'0，得Q20000 , P20000 40.6019．（本题满分 10 分）设函数 f x 在 [0,) 上可导， f0 0 ，且 lim f (x)2 ，证明x（1）存在 a 0 ，使得 f a1;（2）对（ 1）中的 a，存在(0, a) ，使得 f ' ( 1 ．)a【详解】证明（ 1）由于lim()2，所以存在X0，当 x X 时，有3，f x5x f (x)22又由于 f x在 [0,) 上连续，且 f 00 ，由介值定理，存在a0 ，使得f a 1;（2）函数f x 在 [0,a] 上可导，由拉格朗日中值定理，存在(0, a) ，使得 f ' ()f (a) f (0)1．a a20．（本题满分 11 分）1a，问当 a, b 为何值时，存在矩阵C，使得AC CA B ，并求出设 A01b1所有矩阵 C．【详解】显然由 AC CA B 可知，如果C存在，则必须是x1x22 阶的方阵．设C，x3x4则 AC CA B 变形为x2ax3ax1x2ax40 1，x1x3x4x2ax3 1 bx2ax30即得到线性方程组ax1x2ax41，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方x1x3x41x2ax3b程组的增广矩阵进行初等行变换如下01a0010111a10a101a00 A |b011100001，1a01a0b0000b所以，当a1, b0 时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得AC CA B ．10111此时， A | b011000000，x1111所以方程组的通解为x x20C11C2，也就是满足 AC CA B 的矩阵x3010x4001C为C1C1C2C1，其中 C1 , C2为任意常数．C1C221．（本题满分 11 分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2 a3 x3 ) 2(b1 x1 b2 x2 b3 x3 )2．记a1b1a2,b2．a3b3（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T ；（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2 y12y22．【详解】证明：（1）f ( x1, x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2a3 x3 ) 2(b1 x1b2 x2b3 x3 ) 2a1x1b12 x1, x2 , x3 a2a1 ,a2 , a3 x2x1 , x2 , x3 b2 b1, b2 ,b3a3x3b3x1x1x1, x2 , x3 2T x2x1, x2 , x3T x2x1x1, x2 , x3 2T T x2x3所以二次型 f 对应的矩阵为2T T ．证明（ 2）设A2T T ，由于1, T0则 A2T T22T2，所以为矩阵对应特征值向量；A2T T2T2，所以为矩阵对应特征值量；x1x2x31 2 的特征21的特征向而矩阵 A 的秩r ( A) r ( 2T T )r (2T ) r (T) 2，所以30 也是矩阵的一个特征值．故 f 在正交变换下的标准形为 2 y12y22．22．（本题满分11 分）设 X,Y是二维随机变量， X 的边缘概率密度为f X( x)3x2 ,0x 1 ，在给定0,其他X x(0x1) 的条件下，Y的条件概率密度为f Y( y / x)3y 2,0y x,x 3．X0,其他（1）求X ,Y的联合概率密度 f x, y ；（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ．【详解】（ 1）X , Y的联合概率密度 f x, y：f x, y f Y ( y / x) f X ( x)9 y 2,0 x1,0y x xX0,其他（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ：f Y ( y) f (x, y)dx 1 9 y29 y2ln y,0 y 1dxy x23．（本题满分11 分）2设总体X 的概率密度为 f (x; )x 3e x , x 00,，其中为为未知参数且大于零，其他X1X 2,X n为来自总体 X 的简单随机样本．（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计量．【详解】（ 1）先求出总体的数学期望E（ X）2E(X)xf (x)dx2e x dx，x令 E(X)1nX X i，得的矩估计量n n 1（2）当x i0(i1,2, n) 时，似然函数为1 nX i．Xn i1n22nn 1xx iL ( )3 ei3ei 1n，i1x ix ii 1取对数， ln L() 2nlnn1 3nln x i ，x ii 1i 1令 d ln L( )0 ，得2nn10 ，di 1 xi解得的极大似然估计量为．。