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[K12学习]2018版高考数学 专题1 集合与函数 1.1.1 第1课时 集合的概念学案 湘教版必

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K12学习教育资源 K12学习教育资源 第1课时 集合的概念 [学习目标] 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用.4.会判断集合是有限集还是无限集．

[知识链接] 1．在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合． 2．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合． 3．解不等式2x－1＞3得x＞2，即所有大于2的实数集在一起称为这个不等式的解集． 4．一元二次方程x2－3x＋2＝0的解是x＝1，x＝2. [预习导引] 1．集合的概念 在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些事物组成了一个集合，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素．我们约定，同一集合中的元素是互不相同的． 2．元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法

元素与集合的关系 属于 若S是一个集合，a是S的一个元素，就说a属于S a∈S a属于S

不属于 若a不是S的元素，就说a不属于S a∉S a不属于S

3.常用数集及符号表示 名称 非负整数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋ Z Q R 4.集合的分类

集合 有限集：元素个数有限的集合无限集：元素无限多的集合 空集：没有元素的集合，记作∅. K12学习教育资源 K12学习教育资源 要点一 集合的基本概念 例1 下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学； (2)不超过20的非负数； (3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4)3的近似值的全体． 解 (1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“3的近似值的全体”不能构成集合． 规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合． 跟踪演练1 下列所给的对象能构成集合的是________． (1)所有正三角形； (2)第一册课本上的所有难题； (3)比较接近1的正整数全体； (4)某校高一年级的16岁以下的学生． 答案 (1)(4) 解析 序号 能否构成集合 理由 (1) 能 其中的元素满足三条边相等

(2) 不能 “难题”的标准是模糊的、不确定的，所以所给的对象不确定，故不能构成集合

(3) 不能 “比较接近1”的标准不明确，所以所给的对象不确定，故不能构成集合 (4) 能 其中的元素是“16岁以下的学生”

要点二 元素与集合的关系 K12学习教育资源 K12学习教育资源 例2 所给下列关系正确的个数是( ) ①－12∈R；②2∉Q；③0∈N＋；④|－3|∉N＋. A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B

解析 －12是实数，2是无理数，∴①②正确．N＋表示正整数集，∴③和④不正确． 规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“a∉A”这两种情况中必有一种且只有一种成立． 2．符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系． 3．“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合． 跟踪演练2 设不等式3－2x＜0的解集为M，下列关系中正确的是( ) A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈M C．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M 答案 B 解析 本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是不是不等式3－2x＜0的解即可，当x＝0时，3－2x＝3＞0，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，所以2∈M. 要点三 集合中元素的特性及应用 例3 已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值． 解 ∵－3∈B，∴－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0. 此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1. 此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1. 规律方法 1.由于集合B含有两个元素，－3∈B，本题以－3是否等于a－3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验． 2．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准． 跟踪演练3 已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________． 答案 1 解析 ∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1. 当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意． 当a2－1＝0时，a＝±1.a＝－1(舍)，∴a＝1. 此时，A＝{2,0}，符合题意. K12学习教育资源 K12学习教育资源 1．下列能构成集合的是( ) A．中央电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车 C．上海市所有的中学生 D．香港的高楼 答案 C 解析 A、B、D中研究的对象不确定，因此不能构成集合． 2．集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是( ) A．0∈A B．a∉A C．a∈A D．a＝A 答案 C 解析 由题意知A中只有一个元素a，∴a∈A，元素a与集合A的关系不能用“＝”，也不能确定a是否等于0，故选C. 3．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A；广州________A(填∈或∉)． 答案 ∉ ∈ 解析 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．

4．已知①5∈R；②13∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3∉Z.正确的个数为________． 答案 3 解析 ①②③是正确的；④⑤是错误的． 5．已知1∈{a2，a}，则a＝________. 答案 －1 解析 当a2＝1时，a＝±1，但a＝1时，a2＝a，由元素的互异性知a＝－1.

1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定．若研究对象不确定，则不能构成集合． 2．集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一．这也是判断一组对象能否构成集合的依据． 3．集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性. K12学习教育资源 K12学习教育资源 一、基础达标 1．有下列各组对象： ①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体． 其中能构成集合的个数是( ) A．2B．3C．4D．5 答案 A 解析 ①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算“比较小”没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是不是此集合的元素有明确的标准可依． 2．已知集合A由x＜1的数构成，则有( ) A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A 答案 C 解析 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式． 3．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案 D 解析 根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形． 4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为( ) A．2 B．2或4 C．4 D．0 答案 B 解析 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.故选B.

5．已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为________． 答案 ±1 解析 由a2≠1，得a≠±1. 6．若x∈N，则满足2x－5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________． 答案 3

解析 由2x－5＜0，得x＜52，又x∈N， K12学习教育资源 K12学习教育资源 ∴x＝0,1,2，故所有元素之和为3. 7．判断下列说法是否正确？并说明理由． (1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合；

(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素； (4)我校的年轻教师构成一个集合． 解 (1)正确．因为参加2012年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的． (2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．

(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有三个元素． (4)不正确．因为年轻没有明确的标准． 二、能力提升 8．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( ) A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可 答案 B 解析 因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一验证可得m＝3，故选B. 9．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________. 答案 6 解析 ∵x∈N，且2＜x＜a，∴结合数轴知a＝6. 10．如果有一集合含有三个元素1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．

答案 x≠0,1,2，1±52.

解析 由集合元素互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，1±52. 11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a. 解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，

∴a＝－1或a＝－32. 则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去． 当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，∴a＝－32.

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【配套K12】[学习]2018年秋高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.3 集合的

【配套K12】[学习]2018年秋高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.3 集合的

课时分层作业(四) 并集、交集及其应用(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B ＝( )A ．{1,2,3,4}B ．{1,2,3}C ．{2,3,4}D ．{1,3,4} A [∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，∴A ∪B ＝{1,2,3,4}． 故选A.]2．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 B [∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，∴A ∩B ＝{2,4}． ∴A ∩B 中元素的个数为2.故选B.]3．已知集合A ＝{x |x ＋1<0}，B ＝{x |x －3<0}，那么集合A ∪B 等于( )A ．{x |－1≤x <3}B ．{x |x <3}C ．{x |x <－1}D ．{x |x >3} B [A ＝{x |x ＋1<0}＝{x |x <－1}，B ＝{x |x －3<0}＝{x |x <3}．∴A ∪B ＝{x |x <3}，选B.]4．设集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，且A ∩B ＝{(2,5)}，则( )A ．a ＝3，b ＝2B ．a ＝2，b ＝3C ．a ＝－3，b ＝－2D ．a ＝－2，b ＝－3 B [∵A ∩B ＝{(2,5)}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝2a ＋1，5＝2＋b ，解得a ＝2，b ＝3，故选B.] 5．若集合A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有( )【导学号：37102057】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ，解得x ＝0或2或－2或1.经检验，当x ＝2或－2时满足题意，故选B.]二、填空题6．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，则A ∩B ＝________.{1,3} [A ∩B ＝{1,2,3}∩{y |y ＝2x －1，x ∈A }＝{1,2,3}∩{1,3,5}＝{1,3}．]7．若集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________.【导学号：37102058】R {x |－1<x ≤1，或4≤x <5} [借助数轴可知：A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |－1<x ≤1，或4≤x <5}．]8．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．12 [设所求人数为x ，则x ＋10＝30－8⇒x ＝12.]三、解答题9．设A ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，B ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0}，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，求A ∪B . 【导学号：37102059】[解] 因为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，所以12∈A ，12∈B . 将x ＝12分别代入方程2x 2－px ＋q ＝0及6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0中，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 12－12p ＋q ＝0，32＋12p ＋1＋5＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝－7，q ＝－4.所以A ＝{x |2x 2＋7x －4＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，12，B ＝{x |6x 2－5x ＋1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13.所以A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，12，13. 10．已知集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x －m <0}．(1)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．(2)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．[解] (1)∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x <m }，又A ∩B ＝∅，∴m ≤－2.(2)∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x <m }，由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，∴m ≥4.[冲A 挑战练]1．已知集合M ＝{0,1}，则满足M ∪N ＝{0,1,2}的集合N 的个数是( )【导学号：37102060】A ．2B ．3C ．4D ．8C [依题意，可知满足M ∪N ＝{0,1,2}的集合N 有{2}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，共4个．故选C.]2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则符合条件的实数m 的值组成的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，0，12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－12 C [当m ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝B ；当m ≠0时，x ＝1m ，要使A ∩B ＝B ，则1m ＝1或1m ＝2，即m ＝1或m ＝12. 点评：当m ＝0时，B 为空集，此时也满足A ∩B ＝B ，解题时易漏掉此种情况．]3．A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的取值是________.【导学号：37102061】1 [∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B .又a 2＋4≠3，故a ＋2＝3，即a ＝1，此时B ＝{3,5}，符合题意．]4．已知M ＝{x |y ＝x 2－1}，N ＝{y |y ＝x 2－1}，那么M ∩N ＝________.{y |y ≥－1} [M ＝{x |y ＝x 2－1}＝R ，N ＝{y |y ＝x 2－1}＝{y |y ≥－1}，故M ∩N ＝{y |y ≥－1}．]5．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－4x ＋a ＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.【导学号：37102062】[解] A ＝{1,2}，因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .(1)B ＝∅时，方程x 2－4x ＋a ＝0无实数根．所以Δ＝16－4a <0，所以a >4.(2)B ≠∅时，当Δ＝0时，a ＝4，B ＝{2}⊆A 满足条件．当Δ＝16－4a >0时，1,2是方程x 2－4x ＋a ＝0的根，此时a 无解．所以a ＝4.综上可得，a 的取值范围是{a |a ≥4}．。

2018版高考数学专题1集合与函数1.2.5函数的定义域和值域学案湘教版必修120180426318

2018版高考数学专题1集合与函数1.2.5函数的定义域和值域学案湘教版必修120180426318

1．2.5函数的定义域和值域[学习目标] 1.理解函数的定义域和值域.2.会求一些常见函数的定义域和值域．[知识链接]1．已知函数解析式求定义域时应注意从哪些方面使表达式有意义？答案应注意以下几点：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数非负；(3)y＝x0要求x≠0.2．求出函数定义域后应写成什么形式？答案定义域应写成集合或区间的形式．[预习导引]1．函数的定义域(1)实际问题中的函数，它的自变量的值不但要使函数表达式有意义，还受到实际问题的限制，要符合实际情形．(2)函数的定义域就是使函数的表达式有意义的自变量的变化范围．2．函数的值域(1)函数的值域是指函数值的集合．k(2)常数函数y＝c的值域是{c}，一次函数y＝ax＋b的值域是R，反比例函数y＝的值域是x{y|y∈R，y≠0}.1要点一求函数的定义域例1求下列函数的定义域：1(1)y＝x＋1＋；2－xx－1(2)y＝.x＋1解(1)由Error!解得Error!1所以函数y＝x＋1＋的定义域是2－x{x|x≥－1，且x≠2}．(2)要使函数有意义，则Error!解得Error!即x≥1.x－1所以函数y＝的定义域为[1，＋∞)．x＋1规律方法求定义域的实质就是求使函数表达式有意义的自变量x的取值范围．常有以下几种情况：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．跟踪演练1求下列函数的定义域：1－x2(1)f(x)＝；1＋x(2)f(x)＝x－1·x＋1.解(1)依题意有1＋x≠0，∴x≠－1，即定义域为{x|x≠－1}．(2)依题意有Error!∴x≥1，即定义域为{x|x≥1}．要点二求函数的值域2例2求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x＋1；x(3)y＝；x＋11－x2(4)y＝；1＋x2(5)y＝5＋4x－x2.解(1)将x＝1,2,3,4,5分别代入y＝2x＋1中计算得：函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)∵x≥0，∴x＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．1 (3)∵≠0，x＋1x 1∴y＝＝1－≠1.x＋1 x＋1∴所求函数的值域是{y|y∈R，且y≠1}．1－x2 2(4)∵y＝＝－1＋，1＋x2 1＋x2∴函数的定义域为R，2∵x2＋1≥1.∴0＜≤2，∴y∈(－1,1]．1＋x2∴所求函数的值域为(－1,1]．(5)∵y＝5＋4x－x2＝－x－22＋9，且0≤－(x－2)2＋9≤9.∴所求函数的值域为[0,3]．规律方法求函数的值域问题首先必须明确两点：一是对于定义域A上的函数y＝f(x)，其值域就是集合C＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函数的定义域，对应法则是确定函数值域的依据．跟踪演练2求下列函数的值域：1 2x－5(1)y＝；(2)y＝；x2＋2 x＋11－x(3)y＝－x2＋2x＋1；(4)y＝.1＋x解(1)∵x2＋2≥2，1 1∴0＜≤，x2＋2 21 1∴函数y＝的值域是(0，]．x2＋2 232x－5 7(2)∵y＝＝－＋2，∴y≠2，x＋1 x＋12x－5∴y＝的值域是{y|y∈R，且y≠2}．x＋1(3)y＝－x2＋2x＋1＝2－x－12，∵0≤2－(x－1)2≤2，∴0≤2－x－12≤2，∴y＝－x2＋2x＋1的值域是[0，2]．1－x1－y(4)由y＝得，x＝，∴y≠－1.1＋x y＋11－x∴函数y＝的值域是{y|y∈R，且y≠－1}.1＋x1．函数y＝1－x＋x的定义域是()A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1，或x≤0}D．{x|0≤x≤1}答案 D解析Error!⇒0≤x≤1.12．函数y＝x－在[1,2]上的最大值为()x3A．0 B. C．2D．32答案 B1解析y＝x－在[1,2]上是递增函数，x1 3∴y max＝2－＝.2 233．函数y＝2－的值域是()xA．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．(－∞，2)∪(2，＋∞)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)答案 B3 3解析当x≠0时，≠0,2－≠2，故值域是(－∞，2)∪(2，＋∞)，选B.x x4．函数f(x)＝(2x－4)0的定义域是()A．R B．(2，＋∞)4C．{x|x≠2}D．{x|x≠4}答案 C解析依题意知2x－4≠0，x≠2，所以定义域是{x|x≠2}，选C.x＋15．函数y＝的定义域为________________．x答案{x|x≥－1，且x≠0}x＋1 解析要使函数y＝有意义须Error!x即Error!∴定义域为{x|x≥－1，且x≠0}．1.求函数值域，应理解两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数y＝f(x)，其值域是指集合B＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函数的定义域，对应法则及函数的性质是确定值域的依据．目前常用的方法有：图象法、配方法、分离常数法、换元法等．2．求函数的定义域一般有三类问题：(1)若已知函数解析式比较复杂，求定义域时通常根据各种条件列不等式组求解．(2)由y＝f(x)的定义域，求复合函数f[g(x)]的定义域问题，实际上是已知中间变量u＝g(x)的值域，求自变量x的取值范围问题．(3)若是实际问题除应考虑解析式本身有意义外，还应使实际问题有意义．一、基础达标1．函数f(x)＝1－x2＋x2－1的定义域为()A．{1}B．{－1}C．{(－1,1)} D．{－1,1}答案 D解析由Error!得x＝±1.2．函数y＝x＋1的值域为()A．[－1，＋∞)B．[0，＋∞)C．(－∞，0] D．(－∞，－1]答案 B解析∵x＋1≥0，∴y＝x＋1≥0.2x3．函数y＝的值域是()3x－44 4 2 2A．(－∞，)∪(，＋∞)B．(－∞，)∪(，＋∞)3 3 3 352 4C．R D．(－∞，)∪(，＋∞)3 3答案 B2 8 82x 3 2 333x－4＋解析∵y＝＝＝＋，3x－4 3x－4 3 3x－42∴y≠.34．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，此函数的定义域为()A．R B．{x|x＞0}5C．{x|0＜x＜5} D．{x| ＜x＜5}2答案 D解析△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x＞0，∴x＜5，又两边之和大于第三边，∴2x＞10－2x，5 5∴x＞，∴此函数的定义域为{x| ＜x＜5}．2 2x＋45．y＝的定义域为________________．x＋2答案{x|x≥－4，且x≠－2}解析依题意知Error!∴x≥－4且x≠－2.x＋56．若f(x)＝，则其值域为________．3x＋11答案{y|y∈R，且y≠}31 1433x＋1＋3 1 14 1解析f(x)＝＝＋≠.3x＋1 33 33x＋1k7．若函数y＝(k＞0)在[2,4]上的最小值为5，则k的值为________．x答案20k k解析因为k＞0，所以函数y＝在[2,4]上是递减函数，所以当x＝4时，y＝最小，由题意x 4 k知，＝5，k＝20.4二、能力提升18．函数y＝的值域是()2＋3x261 1A．(0，] B．(0，)2 21C．(0，＋∞)D．(－∞，]2答案 A1 1解析∵x2≥0，∴3x2≥0,2＋3x2≥2,0＜≤.2＋3x2 21 ∴值域为(0，]，选A.29．已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则y＝f(x＋a)的定义域为()A．[2a，a＋b] B．[0，b－a]C．[a，b] D．无法确定答案 B解析由a≤x＋a≤b得0≤x≤b－a，∴f(x＋a)的定义域为[0，b－a]．10．已知函数y＝mx2－6mx＋m＋8的定义域为R，则实数m的取值范围为________．答案[0,1]解析依题意，当x∈R时，mx2－6mx＋m＋8≥0恒成立．当m＝0时，x∈R；当m≠0时，Error!即Error!解之得0＜m≤1，故0≤m≤1.11．求下列函数的值域：(1)y＝2－－x2＋4x；x2＋2(2)y＝；x2－3(3)y＝x2－3x＋16＋x－x2(x∈{0,1,2,3})．解(1)∵y＝2－4－x－22，而0≤4－x－22≤2，∴0≤y≤2，故所求的值域为[0,2]．x2＋2 3y＋2 3y＋2(2)由y＝，得x2＝，而x2≥0，∴≥0，等价于(y－1)(3y＋2)≥0，且y－x2－3 y－1 y－12 21≠0，解得y＞1或y≤－.故所求的值域为(－∞，－]∪(1，＋∞)．3 3(3)∵x＝0时，y＝4；x＝1时，y＝2；x＝2时，y＝14－2；x＝3时，y＝10.故所求的值域为{4,2，14－2，10}．三、探究与创新12．用长为30的铁丝弯成下部为矩形，上部为等边三角形的框架．若等边三角形的边长为x，7求此框架面积y与x的函数解析式，并写出其定义域．3 1 3 解由于等边三角形的边长为x，由勾股定理可求得其高为x，于是其面积y1＝·x·x＝2 2 23x2.430－3x 3又下部矩形的一边长为x，另一边长为＝15－x，2 23 所以其面积y2＝(15－x)x.23 3 于是框架面积y＝y 1＋y2＝x2＋(15－x)x4 23－6＝x2＋15x.4依题意知Error!所以0＜x＜10.即该函数的定义域是(0,10)．x＋313．若f(x)＝2－的定义域为A，g(x)＝x－a－12a－x(a＜1)的定义域为B，当B⊆A x＋1时，求实数a的取值范围．x＋3 x－1解由2－≥0，得≥0，x＋1 x＋1∴Error!或Error!∴Error!或Error!∴f(x)的定义域A＝{x|x≥1，或x＜－1}∵a＜1，∴a＋1＞2a. 由(x－a－1)(2a－x)≥0，得[x－(a＋1)](x－2a)≤0，∴2a≤x≤a＋1.即g(x)的定义域为B＝{x|2a≤x≤a＋1}．又∵B⊆A，∴a＋1＜－1或2a≥1.1∴a＜－2或a≥.21 又∵a＜1.∴a＜－2或≤a＜1.281 即实数a的取值范围是(－∞，－2)∪[，1).29。

2018版高考数学专题1集合与函数章末复习提升学案湘教版必修1

2018版高考数学专题1集合与函数章末复习提升学案湘教版必修1

专题1 集合与函数1．本章主要内容有集合的初步知识；基于集合和对应观点的函数概念，函数的表示和基本性质；二次函数的图象和性质．2．集合是最基本的数学概念，元素和集合的关系(属于或不属于)，集合的关系及运算(包含、相等、交、并、补)，这些都是今后经常要使用的数学概念，要能熟练地运用集合语言描述数学事实．3．集合的表示方法有列举法、描述法和图象法，其中图象法又有维恩图表示和对特定数集(区间)在数轴上表示的方法．4．以x为自变量的函数y＝f(x)就是从它的定义域到值域的一个映射．设b＝f(a)，那么(a，b)就是函数图象上的一个点，所有这样的点组成的集合就是函数y＝f(x)的图象．显然，任作垂直于x轴的直线，它和任一函数的图象最多只能有一个公共点．5．函数的定义域有两种确定方式，即由解析式确定或由函数对应法则的实际含义所确定．一般说，如给出了一个解析式而未说明它的实际含义，那么这一函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．6．函数的单调递增和单调递减的概念、直观形象和基本判别方法；函数的最大(小)值和最大(小)值点的概念和直观形象；奇函数和偶函数的概念、直观形象和基本判别方法． 7．二次函数的图象特征、增减性、对称性、顶点和在一个区间的最大、最小值． 8．分段函数概念的引入是因为解决实际问题的需要，与分段函数有关的问题，必然要分段讨论，这里再次提醒，分段函数是一个函数而不是两个或更多个函数.题型一 集合的运算集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn 图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏． 例1 已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}． (1)若(∁R A )∪B ＝R ，求a 的取值范围． (2)是否存在a 使(∁R A )∪B ＝R 且A ∩B ＝∅？解 (1)A ＝{x |0≤x ≤2}， ∴∁R A ＝{x |x <0，或x >2}． ∵(∁R A )∪B ＝R .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋3≥2，∴－1≤a ≤0，即a 的取值范围是[－1,0]． (2)由(1)知(∁R A )∪B ＝R 时， －1≤a ≤0，而a ＋3∈[2,3]，∴A ⊆B ，这与A ∩B ＝∅矛盾．即这样的a 不存在．跟踪演练1 (1)已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝________. (2)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．[－2,2]D ．[－2,1]答案 (1){6,8} (2)D解析 (1)先计算∁U A ，再计算(∁U A )∩B . ∵U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，∴∁U A ＝{6,8}． ∴(∁U A )∩B ＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．(2)先化简集合A ，再借助数轴进行集合的交集运算．A ＝{x ∈R ||x |≤2}＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}∩{x ∈R |x ≤1}＝{x ∈R |－2≤x ≤1}． 题型二 函数的概念与性质研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合．例2 已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数m 和n 的值；(2)求函数f (x )在区间[－2，－1]上的最值． 解 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n. 比较得n ＝－n ，n ＝0. 又f (2)＝53，∴4m ＋26＝53，解得m ＝2. 因此，实数m 和n 的值分别是2和0. (2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x .任取x ∈[－2，－1]，且h ＜0，则f (x ＋h )－f (x )＝23(x ＋h ＋1x ＋h －x －1x )＝2h 3·x (x ＋h )－1x (x ＋h ). ∵h ＜0，x ∈[－2，－1]，∴x (x ＋h )＞1，即x (x ＋h )－1＞0， ∴f (x ＋h )－f (x )＜0，∴函数f (x )在[－2，－1]上为增函数， 因此f (x )max ＝f (－1)＝－43，f (x )min ＝f (－2)＝－53.跟踪演练2 (1)函数y ＝21－1－x 的定义域为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．[1，＋∞)(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. 答案 (1)B (2)－x (x ＋1)2解析 (1)要使函数有意义，则⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，即x ≤1且x ≠0.(2)设－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)． 又因为f (x ＋1)＝2f (x )， 所以f (x )＝f (x ＋1)2＝－x (x ＋1)2.题型三 函数图象及其应用函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点． 例3 对于函数f (x )＝x 2－2|x |.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； (2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．解 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－2|－x |＝x 2－2|x |. 则f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数． 图象关于y 轴对称．(2)f (x )＝x 2－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ≥0，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ＜0.画出图象如图所示，根据图象知，函数f (x )的最小值是－1. 单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)； 减区间是(－∞，－1]，[0,1]．跟踪演练3 对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者，则f (x )的最小值是________． 答案 2解析 首先应理解题意，“函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中最大的一个．如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A (0,3)，B (1,2)，C (5,8)．从图象观察可得函数f (x )的表达式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3， x ≤0，－x ＋3， 0<x ≤1，32x ＋12， 1<x ≤5，x 2－4x ＋3， x >5.f (x )的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B (1,2)，所以f (x )的最小值是2.题型四 分类讨论思想分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏．本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合运算中对∅的讨论，二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等． 例4 设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上所述f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.跟踪演练4 已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .(1)当B ≠∅时，由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或2.当x ＝1时，a ＝2；当x ＝2时，a ＝1. (2)当B ＝∅时，即当a ＝0时，B ＝∅，符合题意． 故实数a 组成的集合C ＝{0,1,2}．1.函数单调性的判定方法 (1)定义法．(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f (x )，g (x )的单调性判断－f (x )，1f (x )，f (x )＋g (x )的单调性等． (3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性． 2.二次函数在闭区间上的最值对于二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[m ，n ]上的最值问题，有以下结论： (1)若h ∈[m ，n ]，则y min ＝f (h )＝k ，y max ＝max{f (m )，f (n )}； (2)若h ∉[m ，n ]，则y min ＝min{f (m )，f (n )}，y max ＝max{f (m )，f (n )}(a <0时可仿此讨论)．3. 函数奇偶性与单调性的差异函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x 值，都有f (－x )＝－f (x )或[f (－x )＝f (x )]，才能说f (x )是奇函数(或偶函数)．。

[配套K12]2018版高考数学 专题1 集合与函数 1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值学案 湘教版必修1

[配套K12]2018版高考数学 专题1 集合与函数 1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值学案 湘教版必修1

1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值[学习目标] 1.了解二次函数的定义.2.掌握二次函数的图象及增减性和最值．[知识链接]1．函数y＝x2－2x－3的对称轴为x＝1，该函数的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(－∞，1)．2．函数y＝x2的最小值为0.[预习导引]二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，当a＞0(a＜0)时，在区间(－∞，－b2a]上递减(递增)，在[－b2a，＋∞)上递增(递减)，图象曲线开口向上(下)，在x＝－b2a处取到最小(大)值f(－b2a )＝－Δ4a，这里Δ＝b2－4ac.点(－b2a，－Δ4a)叫作二次函数图象的顶点.要点一求二次函数的解析式例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数解析式．解 方法一 利用二次函数一般式． 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 则⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，①a －b ＋c ＝－1，②4ac －b 24a ＝8.③由①②得b ＝－a ，则2a ＋c ＝－1，即c ＝－2a －1. 代入③整理得a 2＝－4a ， 解得a ＝－4，或a ＝0(舍去)． ∴b ＝4，c ＝7.因此所求二次函数解析式为y ＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二 利用二次函数顶点式． 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，即m ＝12.又根据题意函数有最大值为n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a (x －12)2＋8，∵f (2)＝－1，∴a (2－12)2＋8＝－1.解之得a ＝－4.∴f (x )＝－4(x －12)2＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三 利用两根式．由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1. 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8， ∴4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解之得a ＝－4.∴所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.规律方法 用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即f (x )＝ax 2＋bx ＋c (一般式)、f (x )＝a (x －x 1)·(x －x 2)(两根式)、f (x )＝a (x －m )2＋n (顶点式)． 跟踪演练1 已知f (x )为二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2＋4x .求f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ，f (x －1)＝a (x －1)2＋b (x －1)＋c ，又f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2＋4x ， ∴2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2＋4x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，2b ＝4，2a ＋2c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝－1，∴f (x )＝x 2＋2x －1. 要点二 二次函数的增减性例2 f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是递增函数，求m 的取值范围． 解 函数的顶点横坐标为x ＝m8，又函数在区间[－2，＋∞)上是递增函数， ∴m8≤－2，即m ≤－16， 故m 的取值范围是{m |m ≤－16}．规律方法 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在(－∞，－b 2a ]上是递减函数，在[－b2a ，＋∞)上是递增函数．跟踪演练2 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， x ∈[－5,5]，1∈[－5,5]．∴当x ＝1时，f (x )min ＝1； 当x ＝－5时，f (x )max ＝37. (2)f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2， 其顶点横坐标为x ＝－a .∵f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5.故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5. 要点三 求二次函数的值域或最值例3 求函数y ＝x 2－2ax －1在[0,2]上的值域．解 ①当a ＜0时，y min ＝f (0)＝－1，y max ＝f (2)＝4－4a －1＝3－4a ，所以函数的值域为[－1,3－4a ]．②当0≤a ≤1时，y min ＝f (a )＝－(a 2＋1)，y max ＝f (2)＝3－4a ，所以函数的值域为[－(a 2＋1)，3－4a ]． ③当1＜a ≤2时，y min ＝f (a )＝－(a 2＋1)，y max ＝f (0)＝－1，所以函数的值域为[－(a 2＋1)，－1]．④当a ＞2时，y min ＝f (2)＝3－4a ，y max ＝f (0)＝－1， 所以函数的值域为[3－4a ，－1]．规律方法 在求二次函数的最值时，要注意定义域是R 还是区间[m ，n ]，若是区间[m ，n ]，最大(小)值不一定在顶点取得，而应该看顶点横坐标是在区间[m ，n ]内还是在区间的左边或右边．在区间的某一边时应该利用函数的增减性求解，最值不在顶点上取得，而在区间的端点上取得．跟踪演练3 已知二次函数f (x )＝x 2－2x ＋2. (1)当x ∈[0,4]时，求f (x )的最值； (2)当x ∈[2,3]时，求f (x )的最值；(3)当x ∈[t ，t ＋1]时，求f (x )的最小值g (t )． 解 (1)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， 其图象顶点横坐标为x ＝1，开口向上， ∴当x ∈[0,4]时，∴f (x )max ＝f (4)＝42－2×4＋2＝10，f (x )min ＝f (1)＝1.(2)∵f (x )的顶点横坐标为x ＝1，开口向上， ∴f (x )在[2,3]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝22－2×2＋2＝2，f (x )max ＝f (3)＝32－2×3＋2＝5. (3)g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ＋2，t ＞11，0≤t ≤1t 2＋1，t ＜0.1．若f (x )＝(m －1)x 2＋(m ＋1)x －1是二次函数，则( ) A ．m 为任意实数 B ．m ≠1C ．m ≠－1D ．m ≠1且m ≠－1答案 B解析 由m －1≠0，得m ≠1，故选B.2．函数f (x )＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为( ) A ．42,12B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值为－14答案 D解析 ∵f (x )＝(x ＋32)2－14，x ∈(－5,5)，∴当x ＝－32时，f (x )有最小值－14，f (x )无最大值．3．函数f (x )＝2x 2－3|x |的单调递减区间是________． 答案 (－∞，－34]和[0，34]4．已知函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈(－∞，－1]时是递减函数，则m 的取值范围是________． 答案 [－4，＋∞)解析 f (x )＝2(x －m4)2＋3－m 28，－1≤m4，即m ≥－4.二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要掌握熟练，特别是含参数的两类“定轴动区间、定区间动轴”，解法是：抓住“三点一轴”数形结合，三点指定的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．具体做法是：首先要采用配方法，化为y ＝a (x －m )2＋n 的形式，得顶点(m ，n )． 其次对区间进行讨论，可分成三个类型： (1)顶点固定，区间也固定．(2)顶点含参数(即顶点为动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外．(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数.一、基础达标1．二次函数y ＝2x 2－x ＋2014的开口方向是( ) A ．向上 B ．向下 C ．可能向上也可能向下 D ．向左答案 A解析 因为二次项系数2＞0，所以二次函数开口向上．2．函数f (x )＝－x 2＋2x －3在闭区间[0,3]上的最大值、最小值分别为( ) A ．0，－2 B ．－2，－6C ．－2，－3D ．－3，－6答案 B解析 ∵f (x )＝－(x －1)2－2，∴当x ＝1时，有最大值－2；当x ＝3时，有最小值－6. 3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是递增函数的是( ) A ．y ＝x 2－2x ＋1 B ．y ＝2xC ．y ＝－2x ＋1D ．y ＝－x 2＋2x答案 C解析 y ＝x 2－2x ＋1在[1，＋∞)上递增，而在(0,1]上递减；y ＝2x在(0，＋∞)上是递减函数；y ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1在[0,1]上递增，[1,2]上递减．只有y ＝－2x ＋1在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递增，从而在(0，＋∞)上递增．4．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象的最高点为(－1，－3)，则b ＋c ＝________. 答案 －6解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝－1，－4c －b2－4＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－4.∴b ＋c ＝－6.5．二次函数y ＝－x 2－4x ＋3的值域是________． 答案 (－∞，7]解析 因为y ＝－x 2－4x ＋3＝－(x 2＋4x ＋4)＋7 ＝－(x ＋2)2＋7.所以这个函数的值域是(－∞，7]．6．用长度为24m 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________m. 答案 3解析 设隔墙长为x ，则y ＝x ·24－4x 2＝－2x 2＋12x ，当x ＝3时，y 最大．7．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值．(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是递增函数． (1)解 由f (1)＝0，f (3)＝0得⎩⎪⎨⎪⎧12＋b ＋c ＝0，32＋3b ＋c ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝－1，3b ＋c ＝－9，解得b ＝－4，c ＝3.(2)证明 设任意x ∈(2，＋∞)，且h ＞0， ∴f (x ＋h )－f (x )＝[(x ＋h )2－4(x ＋h )＋3]－(x 2－4x ＋3) ＝(x ＋h )2－x 2－4(x ＋h )＋4x ＝2xh ＋h 2－4h ＝h (2x ＋h －4)， ∵x ∈(2，＋∞)，∴2x ＋h －4＞0， ∴f (x ＋h )－f (h )＞0，即f (x ＋h )＞f (h )， 因此函数f (x )在区间(2，＋∞)上是递增函数． 二、能力提升8．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 由A ，C ，D 的图象知f (0)＝c ＜0.又abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴对称轴x ＝－b2a ＜0，∴B 错误． 9．函数y ＝1x 2＋2x ＋3的值域为( )A ．[0，12]B ．(－∞，12]C ．(0，12]D ．(0，12)答案 C解析 ∵x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2， ∴0＜1x 2＋2x ＋3≤12，∴函数y ＝1x 2＋2x ＋3的值域是(0，12]．10．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋1解析 由f (0)＝1可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)， 故f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1， 可得f (x ＋1)－f (x )＝2ax ＋a ＋b ＝2x ， 所以2a ＝2，a ＋b ＝0，故a ＝1，b ＝－1， 所以f (x )＝x 2－x ＋1.11．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标分别是－2,6，图象与y 轴相交，交点和原点的距离为3，求此函数解析式． 解 设二次函数解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．∵与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝－2，x 2＝6.代入得y ＝a (x ＋2)(x －6)，y ＝a (x 2－4x －12)＝ax 2－4ax －12a .又∵图象与y 轴相交，交点和原点的距离为3， ∴|－12a |＝3.∴－12a ＝3或－12a ＝－3，即a ＝－14或a ＝14.∴所求函数解析式为y ＝－14(x 2－4x －12)＝－14x 2＋x ＋3或y ＝14(x 2－4x －12)＝14x 2－x －3. 三、探究与创新12．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2.对于满足1＜x ＜4的一切x 的值都有f (x )＞0，求实数a 的取值范围．解 方法一 当a ＞0时，f (x )＝a (x －1a )2＋2－1a.∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜1a≤1，f (1)＝a －2＋2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧1＜1a ＜4，f (1a )＝2－1a＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥4，f (4)＝16a －8＋2≥0.∴a ≥1或12＜a ＜1或∅，即a ＞12；当a ＜0时⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －2＋2≥0，f (4)＝16a －8＋2≥0，解得∅；当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，f (1)＝0，f (4)＝－6， ∴不合题意．由上可得，实数a 的取值范围是a ＞12.方法二 ∵x ∈(1,4)时，f (x )＞0即ax 2－2x ＋2＞0， ∴a ＞－2(1x 2－1x)，又－2(1x 2－1x )＝－2(1x －12)2＋12，由1＜x ＜4，知1x ∈(14，1)，∴0＜－2(1x －12)2＋12≤12，∴a ＞12.13．已知函数f (x )＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1,1]上有最小值，记作g (a )． (1)求g (a )的函数表达式； (2)求g (a )的最大值．解 (1)由f (x )＝2x 2－2ax ＋3＝2(x －a2)2＋3－a 22，知图象顶点横坐标为x ＝a2，根据二次函数图象的顶点横坐标与题设区间的相对位置分类讨论． ①当a2≤－1，即a ≤－2时，g (a )＝f (－1)＝2a ＋5；②当－1＜a2＜1，即－2＜a ＜2时，g (a )＝f (a 2)＝3－a 22；③当a2≥1，即a ≥2时，g (a )＝f (1)＝5－2a .综合①②③，得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋5， a ≤－2，3－a22，－2＜a ＜2，5－2a ，a ≥2.(2)当a ≤－2时，g (a )≤1；当－2＜a ＜2时，g (a )≤3；当a ≥2时，g (a )≤1. ∴当a ＝0时，g (a )的最大值为3.。