概率统计(6)

1 第6章 参数估计

选择题

1．设nXXX,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，X的分布函数F(x;θ)中含未知参数，则

（A）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量相同

(B) 用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不同

（C）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不一定相同

(D) 用最大似然估计法求出的θ的估计量是唯一的

2．设nXXX,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，EX=μ，DX=σ2，其中μ，σ2均为未知参数，X1ˆ，12ˆX，下面结论哪个是错误的。

（A）X1ˆ是μ的无偏估计 (B) 12ˆX是μ的无偏估计

（C）X1ˆ 比12ˆX 有效 (D) niiXn12)(1是σ2的最大似然估计量

3．设nXXX,...,,21是来自正态分布总体N(μ,σ2)的简单随机样本，其中数学期望μ已知，则总体方差σ2 的最大似然估计量是

（A） niiXXn12)(11 (B) niiXXn12)(1

（C） niiXn12)(11 (D) niiXn12)(1

4．已知总体X在区间[0,θ]上均匀分布，其中θ是未知参数，设nXXX,...,,21是来自X的简单随机样本，X是样本均值，},...,max{1)(nnXXX 是最大观测值，则下列选项错误的是

（A）)(nX是θ的最大似然估计量 (B) )(nX 是θ的无偏估计量

（C）X2是θ的矩估计量 (D) X2是θ的无偏估计量

5． 设总体X~N(μ1,σ2)，总体Y~N(μ2,σ2)，mXXX,...,,21和nYYY,...,,21分别是来自总体X和Y的简单随机样本，样本方差分别为2XS与2YS，则σ2 的无偏估计量是

1

第6章 抽样分布理论

样本与统计量

抽样分布

样本均值和样本方差的分布

1

引 言

随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机

现象的统计性规律。

概率论的许多问题中，随机变量的概率分布通常

是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都

是在这已知是基础上得出来的。

但实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所

服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概

型，但是其中的某些参数是未知的。

2

2

例如：

某公路上行驶车辆的速度服从什么分布是未知的；

电视机的使用寿命服从什么分布是未知的；

产品是否合格服从两点分布，但参数——合格率p是

未知的；

数理统计的任务则是以概率论为基础，根据试验

所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合

理的推断。

3

从第6章开始，我们学习数理统计的基础知识。

数理统计的任务是以概率论为基础，根据试验所得到

的数据，对研究对象的客观统计规律性作出合理的推

断.数理统计所包含的内容十分丰富，本书介绍其中

的参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等内容.

第6章主要介绍数理统计的一些基本术语、基本概念、

重要的统计量及其分布，它们是后面各章的基础。 学习的基本内容

4

3

第1节

样本与统计量

5

样本与统计量

总体与样本

在数理统计中，把研究对象的全体称为总体

（population)或母体，而把组成总体的每个单元

称为个体。

抽样

要了解总体的分布规律，在统计分析工作中，往往

是从总体中抽取一部分个体进行观测，这个过程称为抽

样。

6

4

样本与统计量

子样

子样 是n个随机变量，抽取之后

的观测数据 称为样本值或子样观察值。

12,,,

nxxx12,,,

nXXX 在抽取过程中，每抽取一个个体，就是对总体X进

行一次随机试验，每次抽取的n个个体 ，

称为总体X的一个容量为n的样本（sample）或子

样；其中样本中所包含的个体数量称为样本容量。 12,,,

·82· 《概率论与数理统计》习题及答案

第 六 章

1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为的泊松分布，从产品中抽一个容量为n的样本12,,,nXXXL，求样本的分布.

解 样本12(,,,)nXXXL的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为

11221(,,,)()nnniiiPXkXkXkPXkL1!ikniiek

112!!!niinknekkkL 0,1,ikL，1,2,,,inL

2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n件零件构成一个容量为n的样本，求样本分布。

解 零件的加工时间为总体X，则~()XE，其概率密度为

,0,()0,0.xexfxx

于是样本12(,,,)nXXXL的密度为

1121,0(,,,)0,.niiixnnxiniexfxxxeK其它 1,2,,inL

3．一批产品中有成品L个，次品M个，总计NLM个。今从中取容量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当,/NMNp时样本分布为（6.1）式中2n的情况。

解 总体~(01)X，即(0),(1)LMPXPXNN

于是样本12(,)XX的分布如下

121(0,0)1LLPXXNN，12(0,1)1LMPXXNN

·83· 12(1,0)1MLPXXNN，121(1,1)1MMPXXNN

若N时MpN，则1LpN，所以

2002012(0,0)(1)(1)PXXppp

《概率论与数理统计》试题（1）

一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）

⑴ 对任意事件A和B，必有P(AB)=P(A)P(B) ( )

⑵ 设A、B是Ω中的随机事件,则(A∪B)-B=A ( )

⑶ 若X服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( )

⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ）

⑸ 样本方差2nS=n121)(XXnii是母体方差DX的无偏估计 （ ）

二 、（20分）设A、B、C是Ω中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来

（1）仅A发生，B、C都不发生；

（2）,,ABC中至少有两个发生；

（3）,,ABC中不多于两个发生；

（4）,,ABC中恰有两个发生；

（5）,,ABC中至多有一个发生。

三、（15分） 把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.

四、（10分） 已知离散型随机变量X的分布列为

210131111115651530XP

求2YX的分布列.

五、（10分）设随机变量X具有密度函数||1()2xfxe ，＜ x＜，

求X的数学期望和方差.

六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)PX.

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999