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平面向量的数量积强化训练

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平面向量的数量积强化训练

1．已知平面向量a，b满足b·(a＋b)＝3，且|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝( )

A.3 B.5

C.7 D．22

2．已知△ABC是边长为1的等边三角形，则(AB―→－2BC―→)·(3BC―→＋4CA―→)＝( )

A．－132 B.－112

C．－6－32 D．－6＋32

3．已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为π4，则|b|＝( )

A．6 B.32

C．22 D．3

4．已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝( )

A.12

B.1

C.2 D．2

5．已知向量a＝(3,1)，b＝－2，12，则下列向量与a＋2b垂直的是( )

A．c＝(－1,2) B.c＝(2，－1)

C．c＝(4,2) D．c＝(－4,2)

6．已知向量a＝(－2，m)，b＝(1,2)，若向量a在向量b方向上的投影为2，则实数m＝( )

A．－4 B.－6

C．4 D．5＋1

7．已知a＝(2sin 13°，2sin 77°)，|a－b|＝1，a与a－b的夹角为π3，则a·b＝( )

A．2 B.3

C．4 D．5

8．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．6 B.5

C．1 D．－6

9．已知向量a，b是互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝－1，则(3a－b＋5c)·b＝( )

A．－1 B.1

C．6 D．－6

10.已知AB―→＝(cos 23°，cos 67°)，BC―→＝(2cos 68°，2cos 22°)，则△ABC的面积为( )

A．2 B.2

C．1 D．22

11．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D在边BC上，且BD＝2DC，则AB―→·AD―→的值为( )

A．1－33 B.23

C.43 D．1＋33

12．已知非零向量AB―→与AC―→满足AB―→|AB―→|＋AC―→|AC―→|·BC―→＝0，且AB―→|AB―→|·AC―→|AC―→|＝12，则△ABC为( )

A．三边均不相等的三角形 B.直角三角形

C．等腰非等边三角形 D．等边三角形

13．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则|a＋2b|＝________.

14．已知两个单位向量a，b满足|a＋2b|＝3，则a，b的夹角为________．

15．在边长为23的等边三角形ABC中，点O为△ABC外接圆的圆心，则OA―→·(OB―→＋OC―→)＝________.

16．已知向量AB―→＝(m,1)，BC―→＝(2－m，－4)，若AB―→·AC―→>11，则m的取值范围为________．

平面向量的数量积强化训练答案

1．已知平面向量a，b满足b·(a＋b)＝3，且|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝( )

A.3 B.5

C.7 D．22

解析：选A 因为|a|＝1，|b|＝2，b·(a＋b)＝3，所以a·b＝3－b2＝－1，所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1－2＋4＝3，所以|a＋b|＝3，故选A.

2．已知△ABC是边长为1的等边三角形，则(AB―→－2BC―→)·(3BC―→＋4CA―→)＝( )

A．－132 B.－112

C．－6－32 D．－6＋32

解析：选B (AB―→－2BC―→)·(3BC―→＋4CA―→)＝3AB―→·BC―→－6BC―→2＋4AB―→·CA―→－8BC―→·CA―→＝3|AB―→|·|BC―→|·cos 120°－6|BC―→|2＋4|AB―→|·|CA―→|cos 120°－8|BC―→|·|CA―→|·cos 120°＝3×1×1×－12－6×12＋4×1×1×－12－8×1×1×－12＝－32－6－2＋4＝－112，故选B.

3．已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为π4，则|b|＝( )

A．6 B.32

C．22 D．3

解析：选D 因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a||a＋b|·cos π4，所以|a＋b|＝32，将|a＋b|＝32两边平方可得，a2＋2a·b＋b2＝18，解得|b|＝3，故选D.

4．已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝( )

A.12

B.1

C.2 D．2

解析：选A ∵非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，∴a·b＝|a|×1×12＝|a|2.∵|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝12或|a|＝0(舍)，故选A.

5．已知向量a＝(3,1)，b＝－2，12，则下列向量与a＋2b垂直的是( )

A．c＝(－1,2) B.c＝(2，－1) C．c＝(4,2) D．c＝(－4,2)

解析：选C ∵向量a＝(3,1)，b＝－2，12，∴a＋2b＝(3,1)＋(－4,1)＝(－1,2)，

∵(－1,2)·(－1,2)＝1＋4＝5，(－1,2)·(2，－1)＝－2－2＝－4，(－1,2)·(4,2)＝－4＋4＝0，(－1,2)·(－4,2)＝4＋4＝8，∴向量c＝(4,2)与a＋2b垂直，故选C.

6．已知向量a＝(－2，m)，b＝(1,2)，若向量a在向量b方向上的投影为2，则实数m＝( )

A．－4 B.－6

C．4 D．5＋1

解析：选D 由题意可得a·b＝－2＋2m，且|b|＝12＋22＝5，则向量a在向量b方向上的投影为a·b|b|＝－2＋2m5＝2，解得m＝5＋1.故选D.

7．已知a＝(2sin 13°，2sin 77°)，|a－b|＝1，a与a－b的夹角为π3，则a·b＝( )

A．2 B.3

C．4 D．5

解析：选B ∵a＝(2sin 13°，2sin 77°)＝(2sin 13°，2cos 13°)，∴|a|＝2.又∵|a－b|＝1，a与a－b的夹角为π3，∴a·(a－b)＝|a||a－b|·cos π3，∴a2－a·b＝2×1×12＝1，∴a·b＝3.故选B.

8．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )

A．6 B.5

C．1 D．－6

解析：选A ∵向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(3,0)，则(2a＋b)·a＝6.故选A.

9．已知向量a，b是互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝－1，则(3a－b＋5c)·b＝( )

A．－1 B.1

C．6 D．－6

解析：选D 因为向量a，b是互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝－1，所以(3a－b＋5c)·b＝0－b2＋5c·b＝－1＋5×(－1)＝－6.故选D.

10.已知AB―→＝(cos 23°，cos 67°)，BC―→＝(2cos 68°，2cos 22°)，则△ABC的面积为( )

A．2 B.2

C．1 D．22

解析：选D 根据题意，AB―→＝(cos 23°，cos 67°)，∴BA―→＝－(cos 23°，sin 23°)，

则|BA―→|＝1.又∵BC―→＝(2cos 68°，2cos 22°)＝2(cos 68°，sin 68°)，∴|BC―→|＝2. ∴BA―→·BC―→＝－2(cos 23°cos 68°＋sin 23°sin 68°)＝－2×cos 45°＝－2，∴cos B＝BA―→·BC―→|BA―→||BC―→|＝－22，则B＝135°，则S△ABC＝12|BA―→||BC―→|sin B＝12×1×2×22＝22，故选D.

11．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D在边BC上，且BD＝2DC，则AB―→·AD―→的值为( )

A．1－33 B.23

C.43 D．1＋33

解析：选B ∵△ABC是边长为1的等边三角形，且BD＝2DC，∴BD―→＝23BC―→，∴AB―→·AD―→＝AB―→·(AB―→＋BD―→)＝AB―→2＋23AB―→·BC―→＝1＋23×1×1×－12＝23，故选B.

12．已知非零向量AB―→与AC―→满足AB―→|AB―→|＋AC―→|AC―→|·BC―→＝0，且AB―→|AB―→|·AC―→|AC―→|＝12，则△ABC为( )

A．三边均不相等的三角形 B.直角三角形

C．等腰非等边三角形 D．等边三角形

解析：选D 由AB―→|AB―→|＋AC―→|AC―→|·BC―→＝0，得BC垂直于角A的平分线，则△ABC为等腰三角形，AB，AC为腰．由AB―→|AB―→|·AC―→|AC―→|＝12，得A＝60°.所以△ABC为等边三角形，故选D.

13．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则|a＋2b|＝________.

解析：∵|a＋2b|2＝(－1)2＋72＝50，∴|a＋2b|＝52.

答案：52

14．已知两个单位向量a，b满足|a＋2b|＝3，则a，b的夹角为________．

解析：因为|a＋2b|＝3，所以|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝(3)2.又a，b是两个单位向量，所以|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＝－12.因为a·b＝|a|·|b|ca，b，所以ca，b＝－12，则a，b的夹角为2π3.

答案：2π3

15．在边长为23的等边三角形ABC中，点O为△ABC外接圆的圆心，则OA―→·(OB―→＋OC―→)＝________.

解析：如图，O是正三角形ABC外接圆的圆心(半径为2)，则O也是正三角形ABC的重心．设AO的延长线交BC于点D，则OB―→＋OC―→＝2OD―→＝－OA―→，∴OA―→·(OB―→＋OC―→)＝－OA―→2＝－4.

答案：－4

16．已知向量AB―→＝(m,1)，BC―→＝(2－m，－4)，若AB―→·AC―→>11，则m的取值范围为________．

解析：由向量AB―→＝(m,1)，BC―→＝(2－m，－4)，得AC―→＝AB―→＋BC―→＝(2，－3)．又因为AB―→·AC―→>11，所以2m－3>11，解得m>7.

答案：(7，＋∞)

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版高中数学第二章平面向量24第2课时平面向量数量积的坐标运算学案苏教版

版高中数学第二章平面向量24第2课时平面向量数量积的坐标运算学案苏教版

第2课时 平面向量数量积的坐标运算

学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量

数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．

知识点一 平面向量数量积的坐标表示

ijxy轴的正半轴同向的单位向量．设 ，轴、是两个互相垂直且分别与iijjij分别是多少？ ·思考1 ··，，

ijaxybxyabij，(，取思考2 ，，，试将为坐标平面内的一组基底，设)＝(，用)，＝2112ab. 表示，并计算·

abab坐标间有何关系？若 ⊥，，则思考3

axybxy).

＝＝((，)，，梳理 若向量2112

ab＝·数量积____________

________________

向量垂直

平面向量的模知识点二

ayxa |(1 思考若＝，)，试将向量的模|用坐标表示．

1

→ABBxyxAy (，如何计算向量，，思考2 若(的模？，))2211

梳理 向量的模及两点间的距离

向量 模长

axy )(，＝ 22yax |＝|＋

，

→AB＝||→AxyBxyAB 为端点的向量(以，()，，)211222yyxx ＋－－1122

向量的夹角知识点三a·bbaxybybaax＝θ的夹角，则)，都是非零向量，θ＝(，是)，cos ＝(，与设， 2121|a||b|xxyy＋2112. ＝2222yyxx＋·＋1221

类型一 平面向量数量积的坐标运算

abba·b＝10. 已知(1,2)与，同向，＝例1

a的坐标；求(1)

cab·ca·bc. )，求(及)(1)(2(2)若＝，－

2

此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一反思与感悟

般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况cbbcaa )··≠，即向量运算结合律一般不成立．(下·(·)ababa________. )·1,2)，则(2向量＋＝(1，－1)，＝＝(－1 跟踪训练 向量的模、夹角问题类型二

高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式学案

高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式学案

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

基础知识 基本能力

1．掌握数量积的坐标表达式．(重点)

2．熟记与数量积有关的一些常用度量公式．(重点、易混点) 1．能熟练地求解具有坐标的两个向量的数量积．(重点)

2．能运用数量积来表示两个向量的夹角，并会用数量积来判断两个平面向量的垂直关系．(重点、难点)

3．能够运用坐标表达式解决与长度、夹角、垂直、正投影等有关的实际问题．(难点)

1．向量内积的坐标运算

已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.

知识拓展非零向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是：

(1)θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2＞0；

(2)θ为直角⇔x1x2＋y1y2＝0；

(3)θ为钝角或平角⇔x1x2＋y1y2＜0.

【自主测试1】若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且a·b＝43，则x等于( )

A．3 B．13 C．－13 D．－3

解析：由题意，得2x－6x＝43，解得x＝－13.

答案：C

2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件

已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b ⇔a1b1＋a2b2＝0.

名师点拨解决两向量垂直的问题时，在表达方式上有一定的技巧，如a＝(m，n)与b＝k(n，－m)总是垂直的，当两向量的长度相等时，k取±1.

【自主测试2】已知a＝(2,5)，b＝(λ，－3)，且a⊥b，则λ＝__________. 解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即2λ－15＝0，∴λ＝152.

答案：152 3．向量的长度、距离和夹角公式 (1)向量的长度：已知a＝(a1，a2)，则|a|＝a21＋a22，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．

(2)两点之间的距离公式：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.

大招6投影法速解向量的数量积问题(含答案解析)

大招6投影法速解向量的数量积问题(含答案解析)

试卷第1页，共6

页大招

6投影法速解向量的数量积问题

向量的数量积公式为cosabab





，若将公式中的cosb

看作一个整体，则向量的数量

积可表示为aba

向量

b

在向量a

上的投影向量的模（或模的相反数），如图所示．这种

方法就是投影法，利用投影法可以快速求解高考中一些数量积问题，尤其是两个向量中一个

向量固定不变时，可以使用该法．运用该法解题的思路模型为：

识别题型

向量的数量积问题

选择方法

投影法（有一个固定向量，用投影法；夹角不易求，用投影法）

计算谁不动，往谁身上投；或者选择投影向量的模好计算的向量进行求解

【典例1】

在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，

则

AEEC

=（）试卷第2页，共6页A．12

25B．2425C．125D．4

5

【大招指引】利用投影解决向量积的方法进行求解．

【解析】2444

=2

555AEECAEEAACAEAEABAD

【题后反思】

本题也可以利用极化恒等式进行化简：

2224

=

5AEECAOEOAE

【温馨提醒】

如图，

PAPBPAPH

对于cosPAPBPAPB



，其中cosPB

是PB

在PA

上的投影，

在Rt△PBH中cosPBPH

，故PAPBPAPH

，

考虑到cos

可能为钝角，故写成PAPBPAPH

．

【举一反三】

1．已知圆O

的方程为229xy

，直线l

过点1,2P

且与圆O

交于,MN

两点，当弦长MN最

短时，

OMMN

（）

A．

4B．8

C．4D．8

平面向量数量积的坐标运算含答案

平面向量数量积的坐标运算含答案

试卷第1页，共7页 平面向量数量积的坐标运算答案

一、单选题

1．已知(2,1),(1,1)ab，则(2)(3)abab等于（）

A．10 B．－10 C．3 D．－3

【答案】B

【分析】根据向量坐标表示的线性运算求出2,3abab，再根据向量数量积的坐标运算即可得解.

【详解】因为(2,1),(1,1)ab，

所以2(4,3),3(1,2)abab，

所以(2)(3)4(1)(3)210abab.

故选：B.

2．已知1,1,2,5,3,abcx，若830abc，则x等于（）

A．6 B．5

C．4 D．3

【答案】C

【分析】根据向量数量积运算列方程，化简求得x的值.

【详解】由于86,3,830ababc，

所以63330,4xx.

故选：C

3．已知向量2,1a，10ab，52ab，则b等于（）

A．5 B．10 C．5 D．25

【答案】C

【分析】对52ab两边同时平方，化简可得22250aabb，再将25a，10ab代入化简即可得出答案.

【详解】∵2,1a，∵25a，

又52ab，

所以225250ab，

即22250aabb，

∵5＋2×10＋2b＝50，

所以2b＝25，即b＝5.

故选：C. 试卷第2页，共7页 4．已知点1,1A，2,1B，向量2,1a，1,1b，则AB与ab的夹角的余弦值为（）

A．55 B．255 C．55 D．255

【答案】A

【分析】由平面向量的坐标运算求得AB，ab，结合平面向量的夹角公式即可求得答案．

【详解】由题意，得1,2AB，3,0ab，

则AB与ab的夹角的余弦值为222132055123ABabABab．