七年级探索规律培优讲义资料
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规律探索问题讲义
【知识精要】:
1．知识结构和知识要点
用字母表数，可以有很多优点，具有抽象性，同时可以揭示许多具有规律性的问题，这是算术知识不可比拟的。在寻找规律的过程中，学生的经历了从特殊到一般以及归纳、猜想的思维过程，体现了数学思想的运用。
2．中考预测
由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用，因此近几年的中考更多地体现了这种问题的考查，是近来的热门考点。同学们应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证。
【规律总结】:
常见数列的一般公式
（1）1，2，3，4，…， n
(2) 1，4，9，16，…， n2
（3）1，3，5，7，9，…， 2n-1.
(4) 2,4,6,8,10,…, 2n.
(5) 1,3,6,10,15,…, n(n+1)/2.
（6） 1，1/2，1/3，1/4，…， 1/n.
(7) 1,1/4,1/9,1/16,…, 1/n2.
(8) 1/2,1/6,1/12,1/20,…, 1/n(n+1).
【典例评析】:
例1、探索规律： 观察以下图形，并填写下表 教师寄语：
. 世界上有一种鸟没有脚，生下来就不停的飞，飞得累了就睡在风里，一辈子只能着陆一次，那就是死亡的时候。——荆棘鸟
(4)(3)(2)(1)
直线条数 1 2 3 4 5 6 ……
n
最多交点个数 0 1 3 6 ……
例2，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图，在一个边长为1的正方形纸版上，依次贴上面积为21，41，81，…，n21的矩形彩色纸片（n为大于1的整数）。请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算n21814121= 。
例3，观察下面一列有规律的数,486,355,244,153,82,31， 根据这个规律可知第n个数是 （n是正整数）
例4．据测算，树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表（树苗原高100厘米）：
年数a 高度h（单位：厘米）
1
115
2 130
3 145
4
… ……
①填出第4年树苗可能达到的高度；
②请用含a的代数式表示: a年后树的高度h=____________；
③根据这种长势，10年后这棵树可能达到的高度是 厘米。
例5.一列小球按如下图规律排列，第20个白球前面的黑球数目是 个。
【题型分类训练】:
知识点一、数与式规律:
1. 观察下列等式：
计算：231011112222____________.
2.根据规律填代数式，
1+2=221;2331123;244112342;……
1+2+3+…+n=______________.
3.根据规律填代数式，
13+23=(1+2)2
13+23+33=(1+2+3)2
13+23+33+43=(1+2+3+4)2
……
13+23+33+…+n3= .
4、（2007内蒙古赤峰）观察下列各式：
22151(11)1005225
22252(21)1005625
22353(31)10051225
……
依此规律，第n个等式（n为正整数）为-----------------。
知识点二、图形的规律:
1、（2007湖北武汉）下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为_______________。
2、（2007哈尔滨）柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：
第一层有23听罐头，
第二层有34听罐头，
第三层有45听罐头，……
根据这堆罐头排列的规律，第n（n为正整数）层有 听罐头（用含n的式子表示）．
3、（2007湖南湘潭）为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）
A．26n B．86n C．44n D．8n
【课堂训练】:
一、选择题
1．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二。若这种细菌由1个分裂到64个，那么这个过程要经过( )
A．1.5小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时
2．用不用的方法将长方体截去一个角，在剩下的各种几何体中，顶点最多的个数以及棱数最少的条数分别为（ ）
A．9个，12条； B．9个，13条 ；
C．10个，12条 ； D．10个，13条 s=12n=4s=8n=3s=4n=23．观察下列算式：
，， ， ， ， ， ， ， 2562128264232216282422287654321
根据上述算式中的规律，你认为222的末位数字是（ ）．
A 2 B 4 C 6 D 8
二、填空题
1．（观察等式猜想规律）给出下列算式：
，＝＝－，＝＝－，＝＝－，＝＝－48327938245728163518813222222220用公式表示这个规律为：
2．观察，－＝＝＋＋＋，－＝＝＋＋，－＝＝＋1215222112722112321432322，按此规律，写出下列算式的结果：nn22222211432＋＋＋＋＋＋=
3．有数组：（1，1，1）（2，4，8）（3，9，27）……求第100组的三个数之和。
根据规律填上合适的数：（1） －9，－6，－3， , 3 ；（2） 1，8，27，64， ,216；
（3） 2，5，10，17， ，37。
4．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅有一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸……反复几次就把这根很精的面条拉成了许多细的面条，如下图所示，这样捏合到第 次后可拉出64根面条。
三、解答题
．观察右面的图案，每条边上有n（n≥2）个方点，每个图案中方点的总数是S.
（1）请写出n=5时， S= ；
（2）请写出n=18时，S= ；
（3）按上述规律，写出S与n的关系式
S= ．
【数学故事】: …
第一次捏合 第二次捏合 第三次捏合 2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。
这个人就是古希腊的埃拉托色尼(约公元前275—前194)。埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。
细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。
这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著。书中描述了地球的形状、大小和海陆分布。埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。
【当堂检测】:
1.(2009年咸宁市)如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2009次输出的结果为___________．
2.(2009年牡丹江市)有一列数1234251017，，，，…，那么第7个数是
．
3.（2009年龙岩）观察下列一组数：21，43，65，87，…… ，它们是按一定规律排列的． 那么这一组数的第k个数是 ．
4.（2009年青海）观察下面的一列单项式：x，22x，34x，48x，…根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第n个单项式为
5. （2009年山西省）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为 ． （第23题） 输入x 12x
x+3 输出 x为偶数
x为奇数
6.(2009年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1
的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）
A．13 = 3+10 B．25 = 9+16
C．36 = 15+21 D．49 = 18+31
7. （2009年重庆）观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（ ）
A．22n B．44n C．44n D．4n
8. (2009武汉)14．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆．
9.(2009年梅州市)如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n幅图中共有
个．
10.（2009年广西梧州）图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s，则s＝ ． （用n的代数式表示s） 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形 … ……
第1个 第2个 第3个 4=1+3 9=3+6 16=6+10
图7 … （1） （2） （3） ……
……
… …
第1幅 第2幅 第3幅 第n幅
图5
