高中数学 第三章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义实用课件 北师大版选修1-1.pptx

(2)切线过点P(1,0) 斜率k 1 ln 1 1
切线方程是：y=x-1
3.日常生活中的饮用水通常是经过净化 的．随着水纯净度的提高．所需净化 费用不断增加。已知将1吨水净化到纯 净度为x%时所需费用(单位：元)为 c(x)=5284/(100-x) (80<x<100)．
求净化到下列纯净度时，所需净化费 用的瞬时变化率： （１）９０％; （２）９８％。
sin x cos x sin x 1 y' ( )' 2 2 cos x cos x cos x
2
(2) y ( x 2) (3x 1)
3
应用: 1.求下列函数的导数: 2x (1)y=2xtanx y ' 2 tan x 2 cos x
2
x 2 x(2 x 1) ( x 1) y' (4) y 6 3 (2 x 1) (2 x 1)
5284 c90 52 . 84 2 100 98
解：净化费用的瞬时变化率就是 净化费用函数的导数． 5284 5284 c( x) 2 100 x 100 x
所以，纯净度90%时,费用的瞬时 变化率就是52.84元/吨；(2)略
5 6
法则3:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) 2 g ( x)

3:求下列函数的导数 (1)y=tanx
2
2 x3 x 6 x 3 ( 2) y 2 y ' 2 2 x 3 ( x 3)
法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x); 1: 求下列函数的导数 3 (1)y=x +sinx

(2)∵f(x)＝ x，
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋Δx－1，
∴ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1＋Δx－1 1＋Δx＋1 Δx 1＋Δx＋1
＝
1 1＋Δx＋1.
∴Δlxi→m 0 ΔΔxy＝Δlxi→m 0 1＋1Δx＋1＝12，
∴f′(1)＝12.
根据定义求导数是求函数的导数的基本方法，
1 C.2 解析：
1 D.4 ΔΔyx＝2＋1ΔΔxx－12＝－4＋12Δx，
当Δx→0时，ΔΔxy→－14，故在x＝2处的导数为－14. 答案： A
3．设函数y＝f(x)为可导函数，且满足 Δlxi→m 0
f1－f1－x x
＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的倾斜角为______．
＝Δlxi→m 0
Δx＋x0＋1 Δx－x10 Δx
＝Δlxi→m 0
Δx＋x0－x0＋ΔxΔx Δx
＝Δlxi→m 0 1＋x0x－0＋1Δx＝1－x120，
又∵g′(x0)＝34，∴1－x102＝34， ∴x20＝4，∴x0＝2或－2.
利用导数求切线方程
已知曲线y＝
1 3
通常分三步：
(1)计算函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)计算函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值ΔΔyx；
(3)计算上述增量的比值在Δx→0时的极限，就是该函数在
x0点的导数，即f′(x0)＝Δlxi→m 0
ΔΔyx＝Δlxi→m 0源自fx0＋Δx－fx0 Δx
.这
三步简称为：一差，二比，三极限．
1．已知函数f(x)在x＝a处可导，则 hl→ima
fh－fa h－a
等于

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3.4。

1 导数的加法与减法法则3。

4。

2 导数的乘法与除法法则（建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f（x)＝x3＋错误!＋cos x，则f′(x）等于( ) A．3x2＋x错误!－sin x B．x2＋错误!x错误!－sin x C．3x2＋错误!x错误!＋sin x D．3x2＋错误!x错误!－sin x【解析】f′（x）＝3x2＋13x错误!－sin x。

【答案】D2．函数y＝错误!的导数是（)A.错误!B．错误!C.错误!D．错误!【解析】y′＝错误!错误!＝错误!＝错误!＝错误!.【答案】A3．已知f(x）＝ax3＋3x2＋2，若f′（－1)＝4，则a等于（）A。

错误!B．错误!C。

错误!D．错误!【解析】f′（x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1）＝3a－6＝4，∴a＝错误!.【答案】D4．已知f(x）＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于（）A．0 B．－4C．－2 D．2【解析】f′(x）＝2x＋2f′（1)．∴f′（1)＝2＋2f′(1）．即f′（1）＝－2。

=
������(������0
+
������)-������(������0) ������
,曲线割线的斜率就是函数的平均
(2)切线的斜率.
当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的最终位置为
直线AD,这条直线AD叫作此曲线在点A的切线.则当Δx→0时,割线
AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率,即 切线AD的斜率.
1.导数的概念
定义:设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f(x0)变到
f(x1),函数值y关于x的平均变化率为
������ ������
=
������(������1)-������(������0) ������1-������0
=
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0),
当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那
么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变
化率为函数y=f(x)在x0点的导数.
计算公式:f'(x)= lim
������ 1 →������ 0
f(xx11)--fx(0x0)=������������x������→������0
§2.2 导数的概念及其几何意义
学习目标
思维脉络
1.通过实例分析,体会由平 均变化率过渡到瞬时变化
率的过程,了解导数概念建 立的背景. 2.理解瞬时变化率的含义, 并知道瞬时变化率就是导
数. 3.会求函数 f(x)在某一点 x0 处的导数. 4.理解导数的几何意义,并 能利用几何意义解决相关
问题. 5.会求与导数相关的切线 问题.