下载文档原格式
江南大学力学竞赛模拟试题一、大家在日常生活中通常遇到这样的情景，如果没有打开瓶盖的起子，当然可用牙齿咬开，也可以把瓶盖挨着桌子，猛击瓶盖而打开它．但这两种方法都不太好：前者不太卫生，易损坏牙齿；后者易损坏桌子，有时甚至会击碎瓶口，使手受伤．下面的方法则较文雅也方便．如图左手拇指紧压住瓶盖，其余四指紧握住瓶颈且靠近瓶盖．右手抓住筷子的一头，另一头夹在瓶盖与手指之间，然后右手向下用力，一般很容易就打开了瓶盖。
（20分）(1)本问题与力学中的什么内容有关系?(2)若筷子弯曲太大如何处理?(3)右手上用的力与瓶盖上所受力的关系? 若右手向下用力过猛，筷子何处最易折断？图1 图2解：（1）实际上，这个方法中应用了杠杆原理．筷子在这里充当了杠杆。
（2）若筷子弯曲太大，可把两支叠在一起用。
这样可提高抗弯截面系数。
（3）左手手指充当了支点．（这个方法中，大拇指压住艇羹的主要目的，是防止其余四指(支点)向下打滑，图1可简化成图2所示的力学模型，设杠杆两端一边是右手施加的力F ，一边是瓶盖施加的力Q ，1l AO =，2l BO =。
即F l l Q 12=，由于12l l >>，所以F Q >>。
即右手只要稍加力，就可能打开瓶盖。
把筷子作为一受力杆件，最大弯矩在O 处（图3示），即左手手指与筷子接触处最容易折断。
图3二、某工地为使工人高处作业方便，在木桩上搁置一些木板。
图示为一手握推车的工人站在板上。
若设板长5m ，厚58mm ，抗弯刚度EI =200 kN·m 2，假设板的宽度远小于长度，工人沿板的宽度中线行走，不计板重；木桩截面为80⨯80mm 的正方形；木材的弹性模量E =10Gpa ，许用应力[σ]=12Mpa 。
工人的体重为800N ；手推车的连同车内物料的重量共1200N ，其质心距工人1m ，距小车的轮轴0.5m 。
（35分）（1）画出板的结构分析模型的简图。
（2）并问工人站在何处，板的最大弯曲正应力最大？（3）该结构是否安全可靠？解：（1）可将板视作梁分析，并设人离板的左端A 得距离为x ，其结构分析模型如图（b ）所示。
全国周培源力学竞赛试题周培源力学竞赛是以力学为主题的全国性竞赛，旨在考察学生对力学基础知识的掌握和应用能力。
以下为相关参考内容，包括力学的基本概念、公式和解题思路等。
一、力学基本概念：1. 物体：具有一定质量和形状的实体。
2. 运动：物体在空间中的位置随时间的变化。
3. 弹力：弹性物体受到扭曲或拉伸后，恢复原状的能力。
4. 动力学：研究物体运动的动力学定律和力的作用规律等。
5. 静力学：研究物体在静止状态下的平衡条件与力的作用规律等。
6. 力：使物体发生变化或改变状态的推动或阻碍作用。
7. 质点：假设物体无限小且质量集中，只具有位置和质量两个性质。
8. 牛顿第一定律：质点在无外力作用下保持匀速直线运动或静止。
9. 牛顿第二定律：力是质点受到的推动或阻碍作用，与质点的加速度成正比。
10. 牛顿第三定律：相互作用的两个物体所受的力大小相等、方向相反。
二、力学公式：1. 速度公式：速度 = 位移 / 时间，单位为米每秒（m/s）。
2. 加速度公式：加速度 = （终速度 - 初始速度）/ 时间，单位为米每秒平方（m/s²）。
3. 牛顿第二定律公式：力 = 质量 ×加速度，单位为牛顿（N）。
4. 力矩公式：力矩 = 力 ×距离，单位为牛顿米（Nm）。
5. 动能公式：动能 = 1/2 ×质量 ×速度²，单位为焦耳（J）。
6. 力的合成公式：合成力大小= √（力₁² + 力₂² + ... + 力ₙ²）。
三、力学解题思路：1. 建立坐标系和力图。
对于空间力学问题，可以建立一个适当的坐标系，并根据问题所给的力的方向和大小，绘制力图。
2. 利用牛顿第二定律解题。
根据题目所要求的问题，建立合适的坐标系，并根据牛顿第二定律公式进行计算，求出所需的未知量。
3. 引入力矩和转动定律解题。
对于转动问题，除了考虑物体的质量和加速度外，还要考虑到力对物体的转动作用。
第十四届全国周培源大学生力学竞赛（个人赛）试题出题学校：西南交通大学（本试卷分为基础题和提高题两部分，满分120 分，时间3 小时30 分）说明：个人赛奖项分为全国特、一、二、三等奖和优秀奖。
全国特、一、二等奖评选标准是：提高题得分进入全国前5%，并且总得分排在全国前列，根据总得分名次最终确定获奖人。
全国三等奖和优秀奖直接按赛区内总得分排名确定获奖人。
注意：试题请全部在答题纸上作答，否则作答无效。
各题所得结果用分数或小数表示均可。
第一部分 基础题（共60分）第1题（15分）图1所示组合梁的自重及变形不计，A 为固定端，B 为铰链，ABD 水平。
均质物块C 放在倾角为 的斜面上，用绳绕过定滑轮，与梁BD 连接，图示位置绳的ME 段水平。
已知图中尺寸a ，物块重P ，高h ， 30º，系统处于平衡状态。
（1）不计各处摩擦，求物块宽度b 的最小值min b （3分）；（2）不计各处摩擦，当min b b ，求铅垂三角形分布最大荷载集度q 的大小及固定端的约束力（4分）；（3）设物块与斜面之间的静摩擦因数s 0.3f , /3b h ，其余各处摩擦不计。
分别求荷载集度q 的范围、固定端约束力的范围（5分）；（4）由（3）的荷载集度最大值max q 求组合梁最大弯矩值及所在的横截面位置（3分）。
图1第2题（15分）在铅垂面内的齿轮系统如图2所示，齿轮1与齿轮2在D 点啮合，曲柄上作用有一个力偶，其力偶矩M 为常值。
齿轮1半径为r ，质量为m ；齿轮2半径为2R r ，质量为4m ；曲柄质量为m ；齿轮1和齿轮2视为均质圆盘，圆心分别在1C 和2C 点；另有一集中质量/2m 焊接在齿轮2的0C 处，20/4C C e r ；曲柄视为均质直杆，其质心为C 点。
齿轮2的转角用φ表示，曲柄的转角用θ表示。
（1）给出该系统的自由度（2分）；（2）建立系统的运动微分方程（8分)；（3）求系统的平衡位置，并判定其稳定性（5分）。
十四届周培源力学竞赛题解
摘要：
I.引言
- 介绍周培源力学竞赛的背景和目的
II.第十四届周培源力学竞赛的题目概述
- 介绍本届竞赛的题目类型和难度
III.题目解答
- 详细解答本届竞赛的各个题目
IV.结论
- 总结本届竞赛的亮点和意义
正文：
I.引言
周培源力学竞赛是我国一项重要的大学生力学竞赛活动，旨在培养人才、服务教学、促进高等学校力学基础课程的改革与建设，为青年学子提供一个展示基础知识和思维能力的舞台。
第十四届周培源力学竞赛于2023年5月21日举行，共有来自全国各地的数千名学生参加。
II.第十四届周培源力学竞赛的题目概述
本届竞赛共有三类题目，分别是理论力学、材料力学和综合题。
题目难度较高，考察了学生对力学基础知识的掌握和运用能力。
其中，理论力学和材料力学题目侧重于考核学生对基本概念、原理和公式的理解和应用，而综合题则更注重学生的综合分析和解决问题的能力。
III.题目解答
以下为本届竞赛部分题目的解答：
1.理论力学题目
(1) 题目一：求解静力学平衡问题
(2) 题目二：求解动力学问题
2.材料力学题目
(1) 题目一：求解应力、应变问题
(2) 题目二：求解强度理论问题
3.综合题目
(1) 题目一：求解流体力学问题
(2) 题目二：求解振动和波动问题
IV.结论
第十四届周培源力学竞赛的成功举办，不仅为广大学生提供了一个展示自己力学知识和能力的平台，还激发了学生对力学学科的兴趣和热爱。
周培源力学竞赛2023试题周培源力学竞赛2023试题一、力学基础1. 利用牛顿第二定律，推导物体加速度与作用力、质量的关系，并给出一个具体的计算例子。
2. 如何解答几何体的重心问题？请结合一个具体的例子进行说明。
3. 汽车在行驶过程中，为什么需要通过制动器来减速？请阐述其原理，并简述与摩擦力的关系。
4. 简要描述质点与刚体之间的区别，并说明在力学问题中何时可以近似将一个物体视为质点来处理。
5. 举例说明质点系与刚体平衡的条件，并解释基于这些条件如何判断一个物体是否处于平衡状态。
二、动力学1. 简述匀速直线运动和匀加速直线运动的特点，并通过一个实际问题进行说明。
2. 电梯运动中的垂直运动和水平运动有何不同？请结合物体的重力、加速度和支持力等因素进行分析。
3. 弹性碰撞和完全非弹性碰撞的区别是什么？请列举一个实例并解释其物理背景。
4. 简述胡克定律，并通过一个具体的弹簧问题进行说明。
5. 飞行员进行高速转弯时，为什么需要倾斜飞机？请结合离心力和倾斜角度进行分析。
三、静力学1. 如何解答平衡力的问题？请结合一个具体的平衡木问题进行说明。
2. 用冰块平衡一个玻璃杯，需要考虑哪些因素？请从静力学的角度进行分析，并给出具体的计算或推导过程。
3. 如何判断一个物体受到的摩擦力是否足够防止其滑动？请说明判断依据，并列举一个滑动问题进行计算。
4. 介绍杠杆原理，并给出一个具体的杠杆平衡问题进行解答。
5. 解释悬挂桥的原理，并通过一个现实案例进行说明。
四、万有引力和浮力1. 描述万有引力定律，并给出一个距离和质量相应的计算例子。
2. 为什么人站在地球上不会从中心被吸向地面？请解释其原理，并说明物体受到重力的条件。
3. 为什么气球可以漂浮在空中？请从浮力和重力的角度进行解释。
4. 在理想气体状态方程中，推导出波义尔定律并给出两个相关的公式。
5. 如何判断一个物体在液体中浮、沉还是部分浮沉？请结合物体的密度、液体的密度和浮力进行分析。
第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛（样题） 时间 3 小时，满分 120分 一、奇怪的独木桥（25分） 一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。他觉得很奇怪，为什么 2 个人可以过桥 而 1 个人却不能。等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。
根据事后他的调查，小河宽 4 米，独木桥长 6米，如图 1所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为[M]=600N.m 。为方便假设每人的体重均为 800N，而独木桥的重量不计。请你分析一下： （1）本问题与力学中的什么内容有关系？ （2）如果一个人想过桥，最多能走多远？ （3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？
图 1 奇怪的独木桥 二、模特儿与新型舞台（35 分） 有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。该舞台类似长方形桌子，长为 ，宽为 ，有 6 条等长的桌腿（图 2）。每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。
如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则 （1）本问题与力学中的什么内容有关系？ （2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？ （3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的 边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、3、2、1）。
图 2 模特儿的新舞台 三、魔术师的表演（25分） 魔术师要表演一个节目。其中一个道具是边长为a的不透明立方体箱子，质量为M1 ；另一个道具是长为L的均质刚性板 AB，质量为 M2 ，可绕光滑的 A铰转动；最后一个道具是半径为R的刚性球，质量为 M3 ，放在刚性的水平面上。魔术师首先把刚性板 AB水平放q置在圆球上，板和圆球都可以保持平衡，且圆心O和接触点B的连线与垂线夹角为? 。然后魔术师又把箱子固定在 AB板的中间位置，系统仍可以保持平衡，如图 3 所示。 魔术师用魔棒轻轻向右推了一下圆球，竟然轻易地就把圆球推开了。更令人惊讶的是，当圆球离开 AB板后， AB板及其箱子仍能在水平位置保持平衡。 图 3 魔术师的箱子 （1）为什么在 AB板上加很重的箱子不会把圆球挤压出去，而魔术师用很小的力却可以推开圆球？这其中涉及了什么力学内容？ （2）根据上述介绍，你能否求出 AB板与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系？ （3） AB板只在 A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查，证明这时平板有且只有 A点与地面接触，排除了看不见的支撑或悬挂等情况。你认为这可能吗？
请指出其中可能涉及的奥秘，并分析其中可能涉及的参数。 四、出人意料的交线（35 分） 设Oxy 是固定坐标系。系统由三根不计半径的细杆构成，初始时刻CD杆沿 轴；OB杆长为 ，沿 x轴正方向；AB杆长为l，开始时先与 轴平行，绕 x轴负方向转动β 角后，把这三根杆件焊成一个整体，如图 4 所示。
假设在 平面内有一张纸存在，为了能让系统持续地绕 轴以匀角速度 yz z ω转动，需要在纸上挖出某种形状的空隙让 AB杆通过（这里只考虑 AB杆）。 （1）如果 a=0，求空隙的函数表达式 Γ0 ，并画出示意图。 （2）如果 a >0，求空隙的函数表达式 Γa ，并画出示意图。 Γ0 与 Γa有何关系？ （3）当a >0 时，设 P 点是AB杆与 yz平面的交点，当 P点位于 AB杆中点且时，如果要求 点的速度和加速度，你如何考虑？取
速度和加速度是多少？ 图 4 初始时刻的系统位置 第6 届周培源全国大学生力学竞赛初赛样题解答 一、奇怪的独木桥 （1）本问题与力学中的什么内容有关系？ 关键词：梁的弯曲、弯矩。 （2）如果一个人想过桥，最多能走多远？ 该问题简化为下图，设人从 B 向 A走去，载荷 P与 B 点距离为x，AB 间的距离为L。
易求出支座 B 点的约束力为 RB=P(L-x)/L 则 AB 间最大弯矩为 M(x)=P(L-x)/ L 根据允许最大弯矩为[M] 600N m ，有 P(L-x)x/L≤ M 代入数据，解出 x ≤1， x ≥3 即一个人最远可以向前走 1 米（另一解略去）。 （3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？ 若两人同时上桥，一人在右侧外伸段距右端支座为x1处，另一个人在桥上，行至离左端支座x2处，其弯矩如图所示。这时支座的反力为 RA=P(L-x1-x2)/L, RB=P(L+x1+x2)/L
弯矩极大值为 M1=Px1,M2=P(L-x1-x1)x1/L
欲要安全通过，要求 ， M1≤ [M] M2 ≤[M] ，代如数据得 欲使上式恒成立，则需 解得 0.536 ≤x1 ≤ 7.46 考虑到 M1≤ [M] ，得 x1≤ 7.5m
所以当一个人立于右侧外伸段离右支座的距离为(0.536-0.75)m 之间时，另一人可安全通过独木桥。通过独木桥的人再立于左外伸段离左支座距离为( 0.536-0.75)m 之间，另一个人亦可安全通过。 （本题改写自：周道祥，《力学与实践》小问题第 120 题，1986，No.3）
二、模特儿与新型舞台 （1）本问题与力学中的什么内容有关系？ 关键词：受力平衡，变形的协调条件。
（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？ 利用对称性及反证法。设坐标系及各灯的标号如下。由于结构与载荷对称，如果 1 灯不亮，则根据左右（y轴）对称，3 灯也不会亮。又根据上下（x轴）对称，4灯和 6 灯不亮。所以 1、3、4、6 灯的状态总是相同的，而 2 与5灯的状态也相同。 灯亮表示对应的桌腿受压，长度变短，而灯不亮表示对应的桌腿不受压，长度不变。如果假设有部分灯亮，另一部分灯不亮，就会引起矛盾。因此六盏灯全亮。
（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、3、2、1）。
设模特儿重量为 P，所在 A点的坐标为( x,y) 。由于灯亮等同于对应的桌腿是否受压， 下面就分析桌腿的受力。 （a）设六条腿的受力分别是 Ni(i=1,……,6)，有平衡方程 由刚性桌面变形协调条件，可得三个方程，比如可以列出 解上述六个方程，由于桌腿不能提供拉力，令 Ni>0(i=1,……,6)，得到不等式 |3x±4y|<2a
得到解的区域为菱形 BCHI（不含边界），其中 B点坐标为 下面设模特儿位于桌面第一象，限讨论其他几种情形。
（b）五腿受力，设腿 1 不受力，令 N1=0 ，舍去方程(5)，求得均自然满足，根据 均自然满足，根据 得
这两个不等式，加上 BC，即得五腿受力区为三角形 BCD（包含 BC，但不包含边界 BD 和CD），其中D点坐标为 （c）四腿受力有两种情况，第一种情况是 2、3、5、6 腿受力。舍去方程(5)、(6)，并令N1=N4=0 ，再令N2>0，得 -x-y+a>0 即知三角形 BDF为四腿(2，3，5，6)受力区（包含 BD，但不包含边界 DF） ，其中 F 点的坐标为(a,0)。 四腿受力的第二种情况是 3、4、5、6 受力。舍去方程(4)、(5)，且令N1=N2=0 ，令N4>0，得 -6x-2y+5a> 0
即知三角形 CDE 为四腿(3,4,5,6)受力区（包含 CD，但不包含边界 DE） ，其中 E 点的坐
标为. （d）剩下的四边形 DEGF 为三腿(3,5,6)受力区。另外对于桌子的边界，CE 表示亮三盏灯的区域（不含 E 点）。 （e）如果要两盏灯亮，则是不稳定平衡。在第一象限内，两盏灯亮对应的区域是 EG和 GF 边表示亮两盏灯的区域（不含 G点）。
（f）一盏灯亮对应的区域是 G点。 最后根据 x轴和 y轴的对称性，即可作出整个桌面的亮灯数目区域图。 （本题改写自：陈嘉，《力学与实践》小问题第 29 题，1982，No.3；秦寿珪，《力学与实践》小问题第 100 题，1985，No.4）
三、魔术师的表演 （1）为什么在 AB板上加很重的箱子圆球不会被挤压出去，而魔术师用很小的力却可以推开圆球？这其中涉及了什么力学内容？ 关键词：摩擦，自锁。 当 AB板压在圆球上时，圆球在自重，地面反力和B处反力作用下平衡。这时圆球处于摩擦自锁，再增加箱子不破坏圆球的平衡条件。但是魔术师用水平力推圆球时，这时圆球从受三个力变为受四个力。如果摩擦力已达最大值，水平力虽然很小，仍可破坏圆球的平衡。
（2）根据上述介绍，你能否求出 AB杆与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系？ 利用三力平衡条件，圆球受力如图。 利用几何法，有 ，由于 B R 要在摩擦角θ内，有
由于魔术师用很小的水平力就可以破坏圆球的平衡，所以 B R 要在摩擦角的边缘，因此
（3） AB板只在 A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查，证明时平板有且只有 A点与地面接触，排除了看不见的支撑或悬挂等情况。你认为这可能吗？指出其中可能涉及的奥秘，并分析其中可能涉及的参数。
系统只有 A铰而平衡，这从静力学角度是难以想象的，但是从动力学角度就可以实现。中一种可能是：箱子中有一个转子，圆球离开时接通开关使圆轮加速转动。
设飞轮转动惯量为J ，可在箱内电机驱动下以角加速度 ε 顺时针转动。为说明问题，暂时设B处是铰链。
用动静法，飞轮上作用有力矩 系统对 点取矩，有 A 可以看出，如果
