数学卷·2018届湖南省浏阳一中高一上学期第一次月考(2015.10)

浏阳一中2018年下学期期中测试高一数学命题人：陈正华 审题人：孙晓清 时量：120分钟 总分：100分一、选择题（共30分）1、已知N M ⊆，则下列结论不正确的是（ ） A 、M 一定是N 的真子集 B 、M 可能是空集 C 、M 可能等于ND 、M ∪N=N ，M ∩N=M2、设全集U=Z ，集合M={1，2}，P={x|-2≤x ≤2，x ∈Z}，则P ∩C U M 等于（ ） A 、{0}B 、{1}C 、{-2，-1，0}D 、Ø3、著名的Dirichlet 函数D （x ）=⎩⎨⎧，x ，x 取无理数时取有理数时,0,1则D （D （2））的值是（ ）A 、2B 、-2C 、0D 、14．图中阴影部分表示的集合是( )A. A ∩（C U B ） B （C U A ）∩B C.C U (A ∩B) D. C U (A ∪B)5、方程x 2-px+6=0的解集为M ，方程x 2+6x-q=0的解集为N ，且M ∩N={2}，那么p+q 等于（ ） A 、21B 、8C 、6D 、76、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A 、y=1,y=xxB 、y=1-x ×1+x ,y=12-xC 、y=x,y=55xD 、y=|x|,y=(x )27、设M={x|-2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，对于下列四个图象，可作为函数f （x ）的图象的是（ ）x y 0 2 -22A x y 0 2 -2 2B x y 0 2 -2 2C xy 0 2 -2 3DUAB8.已知集合A ={y |y =log 2x ,x ＞1},B ={y |y =(21)x,x ＞1},则A ∩B 等于 A.{y |0＜y ＜21} B.{y |0＜y ＜1} C.{y |21＜y ＜1} D. ∅9、设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧=+),0(,0),0(,)0(,1x ＜x x ＞x π则f{f [f(-1)]}等于（ ）A 、π+1B 、0C 、πD 、-110、函数y=x 2+bx+c,x ∈（-∞，-1）是单调函数，则b 的取值范围是（ ） A 、b ≥2B 、b ≤-2C 、b ＞-2D 、b ＜-2二、填空题（共20分） 11、函数y=2-3x -212x x-的定义域为______________________________。

浏阳一中2013年下期高一第一次月考试题数 学时量：120分钟 分值：150分一、选择题(共8个小题，每小题5分，满分40分)1．设U ＝Z ，A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部 分表示的集合是( )A ．{1,3,5}B ．{1,2,3,4,5}C ．{7,9}D ．{2,4}2．函数()f x 的定义域为(,)a b ，且对其内任意实数12,x x 均有：12120()()0x x f x f x -<-<时,都有，则()f x 在(,)a b 上是：（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数3．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M 值域为N ，则f (x )的图象可以是图中的( )4．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[2，＋∞)上的最小值为－2，则实数m 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1 5. 下列各组函数表示同一函数的是 （ ）A．2(),()f x g x ==B ．0()1,()f x g x x ==C．2(),()f x g x == D ．21()1,()1x f x x g x x -=+=-6．354aa (a >0)的值是（ ）.A. 1B. aC. 15aD. 1710a7.图中所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|，(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|，(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|，(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|，(0≤x ≤2)8、某班共有27人参加数学、物理、化学兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有21人，参加化学兴趣小组的有10人，参加物理兴趣小组的有17人，同时参加数学、物理兴趣小组的有12人，参加数学、化学兴趣小组的有6人，三个兴趣小组都参加的有2人。

2017-2018学年下期浏阳一中高二第一次阶段性测试文科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 数列3，5，9，17，33，…的通项公式n a 等于（ ）（A ）n2 （B ）12+n（C ）12-n（D ）12+n2.数列{a n }满足a n =4a n-1+3,a 2=3，则此数列的第5项是（ ）（A ）15 （B ）255 （C ）20 （D ）8 3.等比数列{a n }中，如果a 6=6,a 9=9,那么a 3为（ ）（A ）4 （B ）23 （C ）916 （D ）2 4. 与a>b 等价的不等式是（ ）（A ）ba 11< （B ）b a > （C ）1>b a（D ）ba22>5. 已知,231,231-=+=b a 则b a ,的等差中项为( )（A ）3（B ）2（C ）31 （D ）216. 已知00<<<<d c b a ，，那么下列判断中正确的是（ ）(A)(B)(C)(D)7. 等差数列{a n }中，已知a 1=－6，a n =0，公差d ∈N *，则n （n ≥3）的最大值为（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 8. 设A n 和B n 是等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，若175=b a ，则=139B A（ ） （A ）139 （B ）75 （C ）2517（D ）19. 数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为（ ）（A ）2212n n n ++（B ）12212+++-nn n（C ）2212nn n ++-（D ）22121nn n -+-+10. 等差数列{n a }的前n 项和记为n S ,若1062a a a ++为一个确定的常数,则下列各数中可以用这个常数表示的是（ ）(A ) 6S (B ) 11S (C )12S (D ) 13S 11.若a>b>0，则下列不等式一定成立的是（ ） （A ）a b b a 11+>+（B ）11++>a b a b （C ）a b b a 11->- （D ）ba b a b a >++22 12.在△ABC 中，a=2,A=30°,C=45°,则△ABC 的面积是（ ）（A ）2 （B ）13+ （C ））（1321+ （D ）22二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上） 13. 首项为-24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 . 14. 设等比数列{}n a 的前n 项之和为n S ，30,102010==S S ,则 =30S ______. 15. 等比数列{a n }满足a n >0,n=1,2,…，且a 2·a n-1=２(n ≥2),则当n ≥2时，log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+…+log 2a n-1+log 2a n = . 16. 已知三个不等式：①ab<0；②bda c -<-；③ad bc <，以其中两个为条件，余下的一个作为结论，则可以组成______个正确的.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. (10分) 已知4个数成等差数列，它们的和为20，中间两项之积为24，求这个4个数．18.（12分）设锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a=2bsinA. （1）求B 的大小； （2）若a=33,c=5,求b.19.（12分）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C与D ．现测得75,60BCD BDC CD s ∠=∠==，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，求塔高AB ．20.（12分）已知{}n a 是等比数列，21=a ，544=a ；{}n b 是等差数列，21=b ，3214321a a a b b b b ++=+++．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设.,,2,1,1023741的值求其中U n b b b b U n n =++++=-21.（12分）已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列. （1）求q 的值；（2）设{n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n与b n 的大小，并说明理由.22.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为()nn n 1S ,S 312=-(*n N ∈),等差数列{b n }中，b n >0(*n N ∈),且b 1+b 2+b 3=15,又a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列. （1）求数列{a n },{b n }的通项公式； （2）求数列{a n b n }的前n 项和T n .2016年下期浏阳一中高二第一次阶段性测试文科数学参考答案一、选择题 ＢＢＡＤＡ ＢC ＡＢＤ ＡＢ二、填空题 13.83＜d ≤3； 14.70； 15.n/2； 16.3 三、解答题： 1７. 这四数为2，4，6，8或8，6，4，2。

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2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。

2014-2015学年某某省某某市浏阳一中高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．若点P在的终边上，且OP=2，则点P的坐标（）A．（1，）B．（，﹣1）C．（﹣1，﹣）D．（﹣1，）3．下列函数中，最小正周期为的是（）A．B．C． D．4．已知sinα﹣cosα=﹣，则sinαcosα=（）A．B．C．D．5．已知（）A．B．C．D．6．将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．7．函数y=sin（2x+）图象的对称轴方程可能是（）A． x=﹣B． x=﹣C． x=D． x=8．设，，，则（）A． a＜b＜c B． a＜c＜b C． b＜c＜a D． b＜a＜c9．函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为（）A．﹣3，1 B．﹣2，2 C．﹣3，D．﹣2，10．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A． 1 B．C．D． 2二、填空题：（把答案填在答题卡相应题号后的横线上，本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．sin15°+cos15°=．12．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．13．已知，则sin（2α+β）=．14．函数的最小正周期为．15．下列命题中真命题的序号是．①y=sin|x|与y=sinx的象关于y轴对称．②y=cos（﹣x）与y=cos|x|的图象相同．③y=|sinx|与y=sin（﹣x）的图象关于x轴对称．④y=cosx与y=cos（﹣x）的图象关于y轴对称．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．已知tanα=3，计算：（1）；（2）sinαcosα；（3）（sinα+cosα）2．17．已知函数y=a﹣bcos3x（b＞0）的最大值为，最小值为﹣，求函数y=﹣4asin3bx的单调区间、最大值和最小正周期．18．已知cosα=，cos（α+β）=，且，，求tan及β的值．19．函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求α的值．20．已知函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R，A，ω＞0，﹣＜φ＜）图象上一个最高点为P（2，2），由这个最高点到相邻最低点间的曲线与X轴相交于点Q（6，0）．（1）求这个函数的解析式；（2）写出这个函数的单调区间．21．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．2014-2015学年某某省某某市浏阳一中高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角考点：三角函数值的符号．分析：由正弦和正切的符号确定角的象限，当正弦值小于零时，角在第三四象限，当正切值大于零，角在第一三象限，要同时满足这两个条件，角的位置是第三象限，实际上我们解的是不等式组．解答：解：sinα＜0，α在三、四象限；tanα＞0，α在一、三象限．故选：C．点评：记住角在各象限的三角函数符号是解题的关键，可用口诀帮助记忆：一全部，二正弦，三切值，四余弦，它们在上面所述的象限为正2．若点P在的终边上，且OP=2，则点P的坐标（）A．（1，）B．（，﹣1）C．（﹣1，﹣）D．（﹣1，）考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：利用任意角的三角函数的定义可求得点P的坐标．解答：解：∵点P（x0，y0）在的终边上，且OP=2，∴x0=2cos=﹣1，y0=2sin=，∴P点的坐标为P（﹣1，）．故选D．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．下列函数中，最小正周期为的是（）A．B．C． D．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：根据三角函数的周期性可知正弦、余弦型最小正周期为T=，正切型最小正周期为T=，进而分别求得四个选项中的函数的最小正周期即可．解答：解：正弦、余弦型最小正周期为T=，正切型最小正周期为T=故A，C中的函数的最小正周期为π，B项中最小正周期为，D中函数的最小正周期为，故选B点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．考查了学生对三角函数周期公式的灵活掌握．要求对周期公式能够顺向和逆向使用．4．已知sinα﹣cosα=﹣，则sinαcosα=（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：将已知表达式平方，即可求出sinαcosα的值．解答：解：sinα﹣cosα=﹣，所以（sinα﹣cosα）2=（﹣）2，1﹣2sinαcosα=所以sinαcosα=．故选C点评：本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，常考题型．5．已知（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：根据诱导公式cos（π+θ）=﹣cosθ和二倍角的余弦公式cos2θ=cos2θ﹣sin2θ化简，将cosθ=代入即可求出值．解答：解：因为sin2θ+cos2θ=1，cosθ=cos（π+2θ）=﹣cos2θ=﹣（cos2θ﹣sin2θ）=﹣（2cos2θ﹣1）=故选D点评：考查学生运用诱导公式化简求值的能力，利用二倍角的余弦公式化简的能力，以及灵活运用同角三角函数间基本关系的能力．6．将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：利用函数图象的平移，求出函数的解析式，与已知解析式比较，即可得到φ的值．解答：解：函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到的图象，就是y=sin（4x+φ）的图象，故故选C点评：本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，注意平移的方向，基本知识的考查题目．7．函数y=sin（2x+）图象的对称轴方程可能是（）A． x=﹣B． x=﹣C． x=D． x=考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．分析：令2x+=求出x的值，然后根据k的不同取值对选项进行验证即可．解答：解：令2x+=，∴x=（k∈Z）当k=0时为D选项，故选D．点评：本题主要考查正弦函数对称轴的求法．属基础题．8．设，，，则（）A． a＜b＜c B． a＜c＜b C． b＜c＜a D． b＜a＜c考点：正弦函数的单调性；不等式比较大小；余弦函数的单调性；正切函数的单调性．专题：压轴题．分析：把a，b转化为同一类型的函数，再运用函数的单调性比较大小．解答：解：∵，b=．而＜，sinx在（0，）是递增的，所以，故选D．点评：此题考查了三角函数的单调性以及相互转换．9．函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为（）A．﹣3，1 B．﹣2，2 C．﹣3，D．﹣2，考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：压轴题．分析：用二倍角公式把二倍角变为一倍角，得到关于sinx的二次函数，配方整理，求解二次函数的最值，解题时注意正弦的取值X围．解答：解：∵，∴当时，，当sinx=﹣1时，f min（x）=﹣3．故选C．点评：三角函数值域及二次函数值域，容易忽视正弦函数的X围而出错．高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可10．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A． 1 B．C．D． 2考点：正弦函数的图象；余弦函数的图象．分析：可令F（x）=|sinx﹣cosx|求其最大值即可．解答：解：由题意知：f（x）=sinx、g（x）=cosx令F（x）=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|当x﹣=+kπ，x=+kπ，即当a=+kπ时，函数F（x）取到最大值故选B．点评：本题主要考查三角函数的图象和函数解析式的关系．属基础题．二、填空题：（把答案填在答题卡相应题号后的横线上，本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．sin15°+cos15°=．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：原式提取，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化简，即可得到结果．解答：解：sin15°+cos15°=（sin15°+cos15°）=sin（15°+45°）=sin60°=．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．12．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．考点：二倍角的正切；任意角的三角函数的定义．分析：根据角α的终边经过点P（1，﹣2），可先求出tanα的值，进而由二倍角公式可得答案．解答：解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），∴故答案为：．点评：本题主要考查正切函数的定义及二倍角公式．13．已知，则sin（2α+β）=．考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：c os（α+β）=﹣1⇒α+β=2kπ+π（k∈Z），又sinα=，利用诱导公式即可求得sin（2α+β）的值．解答：解：∵cos（α+β）=﹣1，∴α+β=2kπ+π（k∈Z），又sinα=，∴sin（2α+β）=sin[（α+β）+α]=sin（2kπ+π+α）=﹣sinα=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查同角三角函数间的基本关系及诱导公式，求得sin（2α+β）=﹣sinα是关键，考查观察与推理、运算能力，属于中档题．14．函数的最小正周期为π．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用两角差的余弦将cos（﹣2x）展开，再利用辅助角公式化简及可求得答案．解答：解：∵y=cos（﹣2x）﹣cos2x=cos2x+sin2x﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴其最小正周期T==π．故答案为：π．点评：本题考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角函数的周期性及其求法，属于中档题．15．下列命题中真命题的序号是②④．①y=sin|x|与y=sinx的象关于y轴对称．②y=cos（﹣x）与y=cos|x|的图象相同．③y=|sinx|与y=sin（﹣x）的图象关于x轴对称．④y=cosx与y=cos（﹣x）的图象关于y轴对称．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用正弦曲线和余弦曲线，借助对称变换，逐个判断，即可得出结论．解答：解：利用正弦曲线和余弦曲线，借助对称变换，可知①y=sin|x|是偶函数，故y=sin|x|与y=sinx的图象不关于y轴对称；②y=cos（﹣x）=cos|x|，故y=cos（﹣x）与y=cos|x|的图象相同；③y=|sin x|是保留y=sinx在x轴上方的图象，下方翻折到x轴的上方，y=sin（﹣x）与y=sinx的图象关于y轴对称，故y=|sinx|与y=sin（﹣x）的图象不关于x轴对称．④y=cos（﹣x）=cosx，故y=cosx与y=cos（﹣x）的图象关于y轴对称．综上可知②④正确．故答案为：②④点评：本题考查三角函数的图象，考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．已知tanα=3，计算：（1）；（2）sinαcosα；（3）（sinα+cosα）2．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用弦化切，代入已知条件求出结果即可．（2）（3）分母利用“1”的代换，然后化为正切函数的形式，即可求解．解答：解：tanα=3，（1）===；（2）sinαcosα===；（3）（sinα+cosα）2====．点评：本题考查三角函数的化简求值，弦切互化，基本知识的考查．17．已知函数y=a﹣bcos3x（b＞0）的最大值为，最小值为﹣，求函数y=﹣4asin3bx的单调区间、最大值和最小正周期．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数的值域，列出方程组，求出a，b，再由正弦函数的值域和周期性，即可得到；运用正弦函数的单调区间，解答：解：（ I）由已知条件得，解得∴y=﹣2sin3x的最小正周期为T=，其最大值为2，在区间[﹣+，+]（k∈z）上是减函数，在区间[+，+]（k∈z）上是增函数．点评：本题考查正弦函数和余弦函数的值域的运用，考查三角函数的周期和单调性，考查运算能力，属于中档题．18．已知cosα=，cos（α+β）=，且，，求tan及β的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：求出tan，tanα=，求出2+t=0，方程的解即可．求出tan（α+β）=，变换角tanβ=tan（（α+β）﹣α）===，即可求出β的值．解答：解：（1）∵cosα=，且∴sinα=，∴tan，∵tanα=，令t=tan，则2+t=0，t=，∵，∴t=．tan=；（2）∵cos（α+β）=，，∴sin（α+β）=，∴tan（α+β）=，∵tanβ=tan（（α+β）﹣α）===，∵，，∴tan，即．点评：本题考查了三角函数的性质，计算公式，角的变换，属于中档题．19．函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求α的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出ω，得到函数的解析式．（2）通过，求出，通过α的X围，求出α的值．解答：解：（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，=，T=π，所以ω=2．故函数的解析式为y=2sin（2x﹣）+1．（2）∵，所以，∴，∵∴，∴，∴．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，考查计算能力．20．已知函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R，A，ω＞0，﹣＜φ＜）图象上一个最高点为P（2，2），由这个最高点到相邻最低点间的曲线与X轴相交于点Q（6，0）．（1）求这个函数的解析式；（2）写出这个函数的单调区间．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用最大值求出A、周期求出T，再求出φ的值即可；（2）根据正弦函数的单调性，求出该函数的单调递增与单调递减区间即可．解答：解：（1）根据题意，得；A=2，=6﹣2，∴T=16，=16，∴ω=；∴sin（×6+φ）=0，又﹣＜φ＜，∴φ=；∴函数y=2sin（x+），x∈R；（2）令﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z；∴﹣6+16k≤x≤2+16k，k∈Z；∴该函数的单调递增区间是：[16k﹣6，16k+2]，k∈Z；同理，它的单调递减区间是：[16k+2，16k+10]，k∈Z．点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了分析问题与解决问题的能力，是基础题目．21．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）展开再整理，可将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，根据T=可求出最小正周期，令，求出x的值即可得到对称轴方程．（2）先根据x的X围求出2x﹣的X围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间上的值域．解答：解：（1）∵=sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）===∴周期T=由∴函数图象的对称轴方程为（2）∵，∴，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，f（x）取最大值1，又∵，当时，f（x）取最小值，所以函数f（x）在区间上的值域为．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函数的基本性质﹣﹣最小正周期、对称性、和单调性．考查对基础知识的掌握情况．。

2018届高三年级第一次质量检测试卷文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数3ii +（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．110 B ．110i C ．310i D ．3102.已知{}(){}2|13,|ln M x x N x y x x=-<<==-，则M N ⋂=（ ）A ．φB ．{}|01x x <<C ．{}|11x x -<<D ．{}|13x x -<< 3.若函数()f x 为奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则14f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．-2 B ．0 C ．-1 D ． 14.已知实数,x y 满足约束条件202201x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是（ ）A ．-6B ．-3 C. 3 D ．6 5.下列双曲线中，渐近线方程不是34y x =±的是（ ） A ．22114481x y -= B ．2211832y x -= C. 221916y x -= D ．22143x y -= 6.利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（ ）A ．0B ．1 C. 2 D ．37.三个数0.30.60.36,3,log 0.6a b c ===的大小顺序是（ ）A ．b a c <<B ．b c a << C. c b a << D ．c a b << 8.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．14B ．323C.16 D ．8 9.将函数()()sin 22f x x πφφ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后的图形关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A 3．12 C. 12- D ．310.已知0a b >>，则412a a b a b+++-的最小值为（ ） A ． 6 B ． 4 C. 23．3211.已知函数()210,2,x x af x x x x a +<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的实数b ，总存在实数0x ，使得()0f x b =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]11,5-B ．[]11,5- C. []11,4- D ．(]11,4-12.三个数,,a b c 成等比数列，若有1a b c ++=成立，则b 的取值范围是（ ） A ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ． 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. [)11,00,3⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦ D ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，()1c ta t b =+-，若2b c =，则t = ． 14. ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2cos cos cos a A a B b C =+.则A = ．15.已知m R ∈，命题:p 对任意实数0x ≥，不等式233x e x m m +-≥-恒成立，若p ⌝为真命题，则m 的取值范围是 ．16.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，12a ，且长为a 2的棱异面，则a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，12314a a a ++=，34=64a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为,,,,A B C D E 五个等级，某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人.（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（2）若等级,,,,A B C D E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（3）已知参加本考查测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A ，在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率.19. 已知四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，02,60AD DAB =∠=，E 为AB 的中点.（1）证明：平面PAB ⊥平面PED ；（2）若3PD AD =，求E 到平面PBC 的距离.20. 过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，当点A 的纵坐标为1时，2AF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 的斜率为2，问抛物线C 上是否存在一点M ，使得MA MB ⊥，并说明理由. 21.已知函数()()1,xf x ax e a R =-∈.（1）讨论()f x 的单调区间；（2）当0m n >>时，证明：n m me n ne m +<+.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12232x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），又以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 极坐标方程为：24sin 4ρρθ-=，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的平面直角坐标方程； （2）求线段AB 的长. 23.已知函数()f x x a =-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若()()5f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DBCAD 6-10: BDCDA 11、12：BC二、填空题13. -2 14.3π15. ()(),12,-∞+∞ 16. (2三、解答题17.解：（1）设等比数列的公比为q ，且0q >， ∵243648a a a =⇒=,∴218a q =，又12314a a a ++=，∴()2344002q q q q --=>⇒=，∴2nn a =；（2）由（1）知()21n n b n a =-，得()212nn b n =-，故()()121121232232212n n n n T b b b n n -=+++=+++-+- ①∴()()23121232232212n n n T n n +=+++-+- ②①-②得：()()123122222212n n n T n +-=++++--，∴()12326n n T n +=-+18.（1）3 （2）2.9 （3）1619.（1）证明：∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD AB ⊥，连接DB ，在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，∴DAB ∆为等边三角形， 又∵E 为AB 的中点，∴AB DE ⊥， ∴AB ⊥底面PDE ；（2）∵2AD =，∴23PD =在Rt PDC ∆中，4PC =，同理4PB =， 利用平面几何知识可得15PBC S ∆=3EBC S ∆=， 设E 到平面PBC 的距离为h ， 由P EBC E PBC V V --=得，1133EBC PBC S PD S h ∆∆=， ∴15h =20.暑假作业原题21.解：（1）()f x 的定义域为R ，且()()1xf x ax a e '=+-，①当0a =时，()0xf x e '=-<，此时()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞.②当0a >时，由()0f x '>，得1a x a->-； 由()0f x '<，得1a x a -<-. 此时()f x 的单调减区间为1,a a -⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，单调增区间为1,a a -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. ③当0a <时，由()0f x '>，得1a x a-<-； 由()0f x '<，得1a x a->-. 此时()f x 的单调减区间为1,a a -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,a a -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. （2）当0m n >>时，要证：n m me n ne m +<+，只要证：()()11nmm e n e -<-，即证：11m n e e m n-->，（*） 设()1,0x e g x x x-=>，则()()211,0x x e g x x x -+'=>， 设()()11xh x x e =-+，由（1）知()h x 在[)0,+∞上单调递增，所以当0x >时，()()00h x h >=，于是()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 所以当0m n >>时，（*）式成立，故当0m n >> 时，n m me n ne n +<+.22.解：（1）由12232x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)消去t ，得：直线l 32320x y -+=，又将222,sin x y y ρρθ=+=代入24sin 4ρρθ-=得 曲线C 的平面直角坐标方程为()2228x y +-=；（2）将122322x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()2228x y +-=得：2240t t --=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12122,4t t t t +==-， 所以()2121212425AB t t t t t t =-=+-=23.【解析】（1）由()3f x ≤得3x a -≤，解得33a x x -≤≤+，又已知不等式()3f x ≤的 解集为{}|15x x -≤≤，所以3135a a -=-⎧⎨+=⎩，解得2a =.（2）当2a =时，()2f x x =-，设()()()5g x f x f x =++，于是()21,3235,3221,2x x g x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，所以当3x <-时，()5g x >；当32x -≤≤时，()5g x =；当2x >时，()5g x >.综上可得，()g x 的最小值为5，从而若()()5f x f x m ++≥，即()g x m ≥对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(],5-∞.。

湖南师大附中2018届高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩∁U B表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1≤x＜2} 3．（5分）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图，根据如图，可得这100名学生中体重在[56.5，64.5）的学生人数是（）A．15 B．20 C．30 D．404．（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增5．（5分）下列结论中，正确的是（）①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③命题p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数，q：y=sin x是周期函数，则p∧q是真命题；④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0．A．①②B．①④C．①②④D．①③④6．（5分）我国南宋时期的《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行下列算法的程序框图时，若输入的n=4，x=2，则输出V的值为（）A．15 B．31 C．63 D．1277．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．40 D．808．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0．则（）A．B．f（0.76）＜f（60.5）＜f（log0.76）C．D．9．（5分）设f（x）=则不等式f（x）＞2的解集为（）A．（1，2）∪（3，+∞）B．（，+∞）C．（1，2）∪（，+∞）D．（1，2）10．（5分）若函数f（x）=a e x﹣x﹣2a有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）11．（5分）过点P（﹣1，1）作圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2=1（t∈R）的切线，切点分别为A，B，则•的最小值为（）A．B．C．D．2﹣3 12．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当﹣1≤x ＜1时，f（x）=sin x，若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A．（0，]∪（5，+∞）B．（0，）∪[5，+∞）C．（，]∪（5，7）D．（，）∪[5，7）二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）点A（3，1）和B（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是．14．（5分）已知两点A（﹣1，1），B（3，0）则与同向的单位向量是．15．（5分）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为．16．（5分）已知集合M={1，2，3，4，5}，N={（a，b）|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y=x2+1有交点的概率是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＜c，D为线段BC的中点．已知•=，cos B=﹣，b=4．求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）求△ACD的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=3，P A=BC=4，N，T分别为线段PC，PB的中点．（Ⅰ）若PC与面ABCD所成角的余弦值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）试探究：线段AD上是否存在点M，使得AT∥平面CMN？若存在，请确定点M的位置，若不存在，请说明理由．19．（12分）设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．20．（12分）已知椭圆C：+=1 （a＞b＞0）的短轴长为2，过上顶点E和右焦点F的直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l过点（1，0），且与椭圆C交于点A，B，则在x轴上是否存在一点T（t，0）（t≠0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB（其中O为坐标原点），若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣m e x（m∈R，e为自然对数的底数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≤e2x对∀x∈R恒成立，求实数m的取值范围；（3）设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）的两个零点，求证x1+x2＞2．请考生在第22，23.两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．23．已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a的最大值为k，且m+n=2k（m＞0，n＞0），求证：+≥3．【参考答案】一、选择题1．A【解析】∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．2．D【解析】全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，∴∁U B={x|x≥1}，∴A∩∁U B={x|1≤x＜2}．故选：D．3．C【解析】由频率直方图得，体重在〔56.5，64.5〕的频率为0.03×2+0.05×2+0.05×2+0.07×2=0.4，∴所求人数为100×0.4=40．故选：C．4．B【解析】把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．【解析】①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”故①正确；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，由，可得或与垂直，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件，故②正确；③命题p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数为假命题，q：y=sin x是周期函数为真命题，则p∧q是假命题，故③错误；④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0，故④正确．∴正确的命题是①②④．故选：C．6．B【解析】∵输入的x=2，n=4，故v=1，i=3，v=1×2+1=3i=2，v=3×2+1=7i=1，v=7×2+1=15i=0，v=15×2+1=31i=﹣1，跳出循环，输出v的值为31，故选：B．7．A【解析】由三视图知：几何体为其中一个侧面在下面的四棱锥，如图：其中SA⊥平面ABCD，SA=4，底面ABCD为直角梯形，且AD=4，BC=1，AB=4，∴几何体的体积V=××4×4=．故选：A．【解析】∵任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，又∵0.76＜60.5＜|log0.76|∴，故选：D9．C【解析】令2e x﹣1＞2（x＜2），解得1＜x＜2．令log3（x2﹣1）＞2（x≥2）解得x为（，+∞）选C10．D【解析】函数f（x）=a e x﹣x﹣2a的导函数f′（x）=a e x﹣1，当a≤0时，f′（x）≤0恒成立，函数f（x）在R上单调，不可能有两个零点；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=ln，函数在（﹣∞，ln）递减，在（ln，+∞）递增，所以f（x）的最小值为f（ln）=1﹣ln﹣2a=1+ln a﹣2a，令g（a）=1+ln a﹣2a，（a＞0），g′（a）=，a，g（a）递增，a递减，∴∴f（x）的最小值为f（ln）＜0，函数f（x）=a e x﹣x﹣2a有两个零点；综上实数a的取值范围是：（0，+∞），故选：D．11．C【解析】圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2=1的圆心坐标为（t，t﹣2），半径为1，∴|PC|2=（t+1）2+（t﹣3）2=2t2﹣4t+10，∴|P A|2=|PB|2=|PC|2﹣1=（t+1）2+（t﹣3）2﹣1=2t2﹣4t+9，cos∠APC==，∴cos∠P AB=2cos2∠APC﹣1=2×（）﹣1==∴•=||•||cos∠P AB=（2t2﹣4t+9）•=[（t2﹣2t+5）+（t2﹣2t+4）]•，设t2﹣2t+4=x，则x≥3，则•=f（x）=（x+x+1）•=，∴f′（x）=＞0恒成立，∴f（x）在[3，+∞）单调递增，∴f（x）min=f（3）=，∴•的最小值为故选：C12．A【解析】当a＞1时，作函数f（x）与函数y=log a|x|的图象如下，结合图象可知，，故a＞5；当0＜a＜1时，作函数f（x）与函数y=log a|x|的图象如下，结合图象可知，，故0＜a≤．故选A．二、填空题13．（﹣7，24）【解析】由题意点A（3，1）和B（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧∴（3×3﹣2×1+a）（3×（﹣4）﹣2×6+a）＜0即（7+a）（﹣24+a）＜0解得﹣7＜a＜24故答案为（﹣7，24）14．（，﹣）【解析】两点A（﹣1，1），B（3，0），即：，，则：=（4，﹣1），则：，所以与同向的单位向量=（）=（，﹣）．故答案为：（，﹣）．15．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2【解析】观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）216．【解析】∵集合M={1，2，3，4，5}，N={（a，b）|a∈M，b∈M}，∴点A有可能是（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（1，5），（5，1），（2，2），（2，3），（3，2），（2，4），（4，2），（2，5），（5，2），（3，3），（3，4），（4，3），（3，5），（5，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），共25种可能，当A（1，2）时，直线OA：y=2x，与y=x2+1有交点（1，2）；当A（1，3）时，直线OA：y=3x，与y=x2+1有交点；当A（1，4）时，直线OA：y=4x，与y=x2+1有交点；当A（1，5）时，直线OA：y=5x，与y=x2+1有交点；当A（2，4）时，直线OA：y=2x，与y=x2+1有交点（1，2）；当A（2，5）时，直线OA：y=x，与y=x2+1有交点．∴直线OA与y=x2+1有交点的概率p=．故答案为：．三、解答题17．解：（Ⅰ）由•=得ac cos（π﹣B）=，又cos B=﹣，所以ac=6.由余弦定理，得a2+c2=b2+2ac cos B．又b=4，所以a2+c2=16﹣3=13.解得a=2，c=3或a=3，c=2．因为a＜c，所以a=2，c=3.（Ⅱ）在△ABC中，sin B==由正弦定理，得sin C=sin B=所以，S△ACD=AC•CD sin C=×4×1×=18．解：（Ⅰ）连AC，由P A⊥底面ABCD可知∠PCA为PC与面ABCD所成的角，∴cos∠PCA=，又∴P A=4，∴AC=3取线段BC的中点E，由AB=AC=3得AE⊥BC，AE==．∴S ABCD=（3+4）×=，∴V P﹣ABCD=××4=（Ⅱ）取线段AD的三等分点M，使得AM=AD=2．连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN=BC=2.又AD∥BC，故TN∥AM且TN=AM．四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT．因为AT⊄面CMN，MN⊂面CMN，所以AT∥平面CMN.19．解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣a1﹣（2a n﹣1﹣a1），化为：a n=2a n﹣1．∵a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1+4a1，解得a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，故a n=2n．（Ⅱ）设b n=|a n﹣n﹣2|=|2n﹣n﹣2|．n∈N*，则b1=1，b2=0，当n≥3时，∵2n＞n+2，∴b n=2n﹣n﹣2，设数列{b n}的前n项和为T n，则T1=1，T2=1，当n≥3时，T n=1+﹣=2n+1﹣．n=1，2时符合上式．T n=2n+1﹣．20．解：（Ⅰ）由已知中椭圆C的短轴长为2，可得：b=1，则过上顶点E（0，1）和右焦点F（c，0）的直线方程为：+y=1即x+cy﹣c=0，由直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．故圆心M（2，1）到直线的距离d等于半径1，即，解得：c2=3，则a2=4，故椭圆C的标准方程为：+y2=1；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不为0时，设直线l方程为：x=my+1，代入+y2=1，得：（m2+4）y2+2my﹣3=0，则，设直线TA，TB的斜率分别为k1，k2，若∠OTA=∠OTB，则：==，即．解得：t=4，当直线AB的斜率为0时，t=4也满足条件，综上，在x轴上存在一点T（4，0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB．21．（1）解：f′（x）=1﹣m e x．当m≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数；当m＞0时，由f′（x）＞0，得x＜﹣ln m，∴f（x）在（﹣∞，﹣ln m）上为增函数；由f′（x）＜0，得x＞﹣ln m，∴f（x）在（﹣ln m，+∞）上为减函数；（2）解：f（x）≤e2x⇔m≥，设g（x）=，则g′（x）=，当x＜0时，1﹣e2x＞0，g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，0）上单调递增；当x＞0时，1﹣e2x＜0，g′（x）＜0，则g（x）在（0，﹣∞）上单调递减．∴g（x）max=g（0）=﹣1，则m≥﹣1；（3）证明：f（x）有两个不同零点x1，x2，则，因此，即m=．要证x1+x2＞2，只要证明＞2，即证＞2．不妨设x1＞x2，记t=x1﹣x2，则t＞0，e t＞1，因此只要证明＞2，即（t﹣2）e t+t+2＞0．记h（t）=（t﹣2）e t+t+2（t＞0），h′（t）=（t﹣1）e t+1，h″（t）=t e t．当t＞0时，h″（t）=t e t＞0，∴h′（t）＞h′（0）=0，则h（t）在（0，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（0）=0，即（t﹣2）e t+t+2＞0成立．∴x1+x2＞2．22．解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+t cosα）2+（1+t sinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）23．解：（Ⅰ）∵|2x﹣1|+|x+1|﹣a≥0，∴a≤|2x﹣1|+|x+1|，根据绝对值的几何意义可得|2x﹣1|+|x+1|的最小值为，∴a≤，证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a的最大值为k=，∴m+n=3，∴（+）=（+）（m+n）=（1+4++）≥（5+2）=3，问题得以证明．。

湖南省长沙一中2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合M={1，2}，N={1，2，3}，P={x|x=ab，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为（）A．3B．4C．5D．62．（5分）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设p 是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）3．（5分）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则=（）A．B．C．D．4．（5分）复数m（3+i）﹣（2+i）（m∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入某个正整数n后，输出的S∈（31，72），则n的值为（）A．5B．6C．7D．86．（5分）已知x0是的一个零点，x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 C． f（x1）＞0，f （x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞07．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．8．（5分）已知x，y∈R，且p：x＞y，q：x﹣y+sin（x﹣y）＞0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知A（1，0），点B在曲线G：y=ln（x+1）上，若线段AB与曲线M：y=相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a，则（）A．a=0 B．a=1 C．a=2 D．a＞2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则sin（+α）=．12．（5分）已知4a=，lgx=a，则x=．13．（5分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．14．（5分）已知，，均为单位向量，且满足•=0，则（++）•（+）的最大值是．15．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n}为“斐波那契数列”．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2014项的值是；数列{b n}中，第2014个值为1的项的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x+a，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．17．（12分）已知圆内接四边形ABCD的边AB=1，BC=3，CD=DA=2．（Ⅰ）求角C的大小和BD的长；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积及外接圆半径．18．（12分）某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量n （件）（n∈N+，且1≤n≤98）的关系表如下：n 1 2 3 4 (98)p (1)又知每生产一件正品盈利a元，每生产一件次品损失元（a＞0）．（1）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量n（件）的一种函数关系式；（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？（≈1.73）．19．（13分）数列{a n}满足：a1=1，a2=2，a n+2=（1+）a n+sin2，n∈N+．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，S n=b1+b2+…+b n，证明：S n＜2（n∈N+）．20．（13分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）与一等轴双曲线相交，M是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点F1，F2，双曲线的焦点是椭圆的顶点A1，A2，△MF1F2的周长为4（+1）．设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1•k2=1；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（13分）已知x=a、x=b是函数f（x）=lnx+﹣（m+2）x（m∈R）的两个极值点，若≥4．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）求f（b）﹣f（a）的最大值．湖南省长沙一中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合M={1，2}，N={1，2，3}，P={x|x=ab，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为（）A．3B．4C．5D．6考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：首先，根据a∈M，b∈N，逐一对a，b的取值情形进行讨论，然后，求解x=ab的取值情形．解答：解：当a=1，b=1时，x=1；当a=1，b=2时，x=2；当a=1，b=3时，x=3；当a=2，b=1时，x=2；当a=2，b=2时，x=4；当a=2，b=3时，x=6；根据集合的元素满足互异性，得P={1，2，3，4，6}共5个元素．故选C．点评：本题重点考查集合中的元素性质，集合的列举法表示等，属于容易题．2．（5分）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设p 是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）考点：复合．专题：简易逻辑．分析：“至少有一位队员落地没有站稳”表示“甲落地没有站稳”与“乙落地没有站稳至少一个发生”．解答：解：设p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则“至少有一位队员落地没有站稳”表示￢p与￢q至少一个发生，即￢p与￢q至少一个发生，表示为（￢）p∨（￢q）．故选：D点评：本题考查用简单表示复合的非，属于基础题3．（5分）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则=（）A．B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用平行四边形法则做出向量，再进行平移，利用向量相等的条件，可得．解答：解：设，以OP、OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP、OQ之间的对角线对应的向量即为向量，由和长度相等，方向相同，∴，故选C．点评：本题考查向量的加法及其几何意义，向量相等的条件，利用向量相等的条件是解题的关键．4．（5分）复数m（3+i）﹣（2+i）（m∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义，即可得到结论．解答：解：m（3+i）﹣（2+i）=3m﹣2+（m﹣1）i，对应的坐标为（3m﹣2，m﹣1），当时，即，此时不等式无解，即复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选：B．点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算即可得到结论，比较基础．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入某个正整数n后，输出的S∈（31，72），则n的值为（）A．5B．6C．7D．8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出的S∈（31，72），确定跳出循环的k值，从而确定判断框的条件，可得答案．解答：解：由程序框图知：第一次循环S=1+0=1，k=2；第二次循环S=1+2×1=3，k=3；第三次循环S=1+2×3=7，k=4；第四次循环S=1+2×7=15，k=5；第五次循环S=1+2×15=31．k=6；第六次循环S=1+2×31=63，k=7；第七次循环S=1+2×63=127，k=8．∵输出的S∈（31，72），∴跳出循环的k值为7，∴判断框的条件为k＞6．故选：B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．6．（5分）已知x0是的一个零点，x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 C． f（x1）＞0，f （x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞0考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：已知x0是的一个零点，可令h（x）=，g（x）=﹣，画出h（x）与g（x）的图象，判断h（x）与g（x）的大小，从而进行求解；解答：解：∵已知x0是的一个零点，x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），可令h（x）=，g（x）=﹣，如下图：当0＞x＞x0，时g（x）＞h（x），h（x）﹣g（x）=＜0；当x＜x0时，g（x）＜h（x），h（x）﹣g（x）=＞0；∵x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），∴f（x1）＞0，f（x2）＜0，故选C；点评：此题主要考查指数函数的图象及其性质，解题的过程中用到了分类讨论的思想，这是2015届高考的热点问题，是一道基础题；7．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．8．（5分）已知x，y∈R，且p：x＞y，q：x﹣y+sin（x﹣y）＞0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：构造函数f（t）=t+sint，利用导数研究函数的单调性，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：令t=x﹣y，设f（t）=t+sint，则f′（t）=1+cost≥0，于是函数f（t）在R上是单调递增函数，若x＞y，即x﹣y＞0时，因为函数f（t）在R上是单调递增函，所以当t＞0，有f（t）＞f（0）成立，而f（0）=0+sin0=0，即有当x﹣y＞0，有x﹣y+sin（x﹣y）＞0成立，即充分性成立；若x﹣y+sin（x﹣y）＞0时，即t+sint＞0，即是f（t）＞f（0）（因为f（0）=0，由函数f（t）在R上是单调递增函，所以由f（t）＞f（0）得t＞0，即是x﹣y＞0，即必要性成立，综上所述：p是q的充要条件．故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，构造函数，利用函数的单调性是解决本题的关键．9．（5分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．解答：解：由约束条件作可行域如图，联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．要使1≤ax+y≤4恒成立，则，解得：1≤a≤．∴实数a的取值范围是．故选：C点评：本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．10．（5分）已知A（1，0），点B在曲线G：y=ln（x+1）上，若线段AB与曲线M：y=相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a，则（）A．a=0 B．a=1 C．a=2 D．a＞2考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由定义，可先设点B的坐标，再由点A，B的坐标表示出中点的坐标，由中点坐标在曲线M上，建立关于x的方程，研究此方程有几个根，即可得出a的值解答：解：设点B（x，ln（x+1）），则点A，B的中点的坐标是（，），由于此点在曲线M：y=上，故有=，即ln（x+1）=，此方程的根即两函数y=ln（x+1）与y=的交点的横坐标，由于此二函数一为增函数，一为减函数，故两函数y=ln（x+1）与y=的交点个数为1，故符合条件的关联点仅有一个，所以a=1故选：B．点评：本题考查函数图象的对称性，方程的根与相应函数交点个数的关系，考查了转化思想，数形结合的思想，解答本题的关键是如何入手，二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则sin（+α）=．考点：同角三角函数间的基本关系；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：利用任意角的三角函数的定义可求得cosα=﹣，再利用诱导公式即可求得答案．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴cosα==﹣，∴sin（+α）=cosα=﹣，故答案为：．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．12．（5分）已知4a=，lgx=a，则x=．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：先对4a=两边取对数，求出a的值，再根据对数的运算性质计算即可，解答：解：∵4a=，∴a=log4=﹣∵lgx=﹣=lg，∴x=．故答案为：点评：本题主要考查对数运算性质，属于基础题．13．（5分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）．考点：指、对数不等式的解法；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用已知条件转化不等式求解即可．解答：解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：（0，1）．故答案为：（0，1）．点评：本题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用，考查计算能力．14．（5分）已知，，均为单位向量，且满足•=0，则（++）•（+）的最大值是2+．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先将已知等式展开，得到（++）•（+）=2+•（2+），再利用向量的数量积转为关于向量夹角的式子，求最值．解答：解：∵，，均为单位向量，且满足•=0，∴（++）•（+）=2+•+2•+2+•=2+•（2+）=2+||•|2+|cos＜，2+＞=2+cos＜，2+＞，∴当cos＜，2+＞=1时，（++）•（+）的最大值是2+．故答案为：2+．点评：本题考查了向量的数量积的定义以及运用，当向量的夹角为0°时，数量积最大．15．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n}为“斐波那契数列”．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2014项的值是3；数列{b n}中，第2014个值为1的项的序号是4027．考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列，得到余数构成是数列是周期数列，即可得到结论．解答：解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，即新数列{b n}是周期为6的周期数列，b2014=b235×6+4=b4=3，在每一个周期内，含有3个1，2014=671×3+1，∴第2014个值为1是项，位于第672个周期内的第一个1，则671×6+1=4027，故答案为：3；4027点评：本题主要考查数列的应用，利用条件推导数列为周期数列是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x+a，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先，利用二倍角公式，化简函数解析式，然后，利用周期公式确定该函数的最小正周期；（Ⅱ）令f（x）=0，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+cos2x+a﹣1=2sin（2x+）+a﹣1，∴T==π，∴函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅱ）令f（x）=0，即2sin（2x+）+a﹣1=0，则a=1﹣2sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴﹣1≤1﹣2sin（2x+）≤3，∴若f（x）有零点，则实数a的取值范围是．点评：本题重点考查了二倍角公式、三角恒等变换公式，三角函数的图象与性质等知识，考查比较综合，属于中档题．17．（12分）已知圆内接四边形ABCD的边AB=1，BC=3，CD=DA=2．（Ⅰ）求角C的大小和BD的长；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积及外接圆半径．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（Ⅰ）连结BD，由于A+C=180°，则cosA=﹣cosC，在△BCD中，和在△ABD中分别应用余弦定理即可求得BD和角C；（Ⅱ）由于A+C=180°，则sinA=sinC，由四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD，应用面积公式，即可得到面积，再由正弦定理，得到比值为外接圆的直径，即可得到半径．解答：解：（Ⅰ）连结BD，由于A+C=180°，则cosA=﹣cosC，由题设及余弦定理得，在△BCD中，BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC，…①在△ABD中，BD2=AB2+DA2﹣2AB•DAcosA=5+4cosC，…②由①②得，故C=60°，则．（Ⅱ）由于A+C=180°，则sinA=sinC，由（Ⅰ）的结果及题设，可知四边形ABCD的面积=．由正弦定理，可得四边形ABCD的外接圆的半径．点评：本题考查余弦定理以及应用，三角形的面积公式及正弦定理中的比值为外接圆的直径，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量n （件）（n∈N+，且1≤n≤98）的关系表如下：n 1 2 3 4 (98)p (1)又知每生产一件正品盈利a元，每生产一件次品损失元（a＞0）．（1）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量n（件）的一种函数关系式；（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？（≈1.73）．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）由题意可知p=（1≤n≤98，n∈N+）．日产量n件中，正品（n﹣pn）件，从而可得日盈利额函数；（2）求出日产量函数，利用基本不等式，即可求得结论．解答：解：（1）由题意可知p=（1≤n≤98，n∈N+）．日产量n件中，正品（n﹣pn）件，日盈利额T（n）=a（n﹣pn）﹣pn=a（n﹣）（1≤n≤98，n∈N+）．（2）=3+n﹣（a＞0）=103﹣≤103﹣2≈68.4，当且仅当100﹣n=，即n=100﹣10≈82.7，而n∈N+，且＜，故当n=83时，取得最大值，即T取得最大值．点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，根据题意列出函数关系式，并考查利用基本不等式求最值，属于中档题．19．（13分）数列{a n}满足：a1=1，a2=2，a n+2=（1+）a n+sin2，n∈N+．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，S n=b1+b2+…+b n，证明：S n＜2（n∈N+）．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知结合a n+2=（1+）a n+sin2，n∈N+，得到当n=2k﹣1（k∈N+）时，a2k+1﹣a2k﹣1=1．当n=2k（k∈N+）时，a2k+2=2a2k．然后分别利用等差数列和等比数列的通项公式求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入b n=，利用错位相减法求出S n=b1+b2+…+b n，放缩证得S n＜2（n∈N+）．解答：（Ⅰ）解：∵a1=1，a2=2，∴由题设递推关系式有，．一般地，当n=2k﹣1（k∈N+）时，，即a2k+1﹣a2k﹣1=1．∴数列{a2k﹣1}是首项为1公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k．当n=2k（k∈N+）时，，∴数列{a2k}是首项为2公比为2的等比数列，因此．故数列{a n}的通项公式为；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，于是，…①从而，…②①﹣②得=．∴．故有S n＜2．点评：本题考查了等差关系和等比关系的确定，考查了错位相减法去数列的和，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．20．（13分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）与一等轴双曲线相交，M是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点F1，F2，双曲线的焦点是椭圆的顶点A1，A2，△MF1F2的周长为4（+1）．设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1•k2=1；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．考点：圆锥曲线的综合．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意知，确定椭圆离心率，利用椭圆的定义得到又2a+2c=4（+1），解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；（Ⅱ）设点P（x0，y0），根据斜率公式求得k1、k2，把点P（x0，y0）在双曲线上，即可证明结果；（Ⅲ）设直线AB的方程为y=k（x+2），则可求出直线CD的方程为y=（x﹣2），联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．解答：（Ⅰ）解：由题意知，椭圆离心率为=，得a=c，又2a+2c=4（+1），所以可解得a=2，c=2，所以b2=a2﹣c2=4，所以椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为；（Ⅱ）证明：设点P（x0，y0），则k1=，k2=，∴k1•k2==，又点P（x0，y0）在双曲线上，∴，即y02=x02﹣4，∴k1•k2==1；（Ⅲ）解：假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，则由（II）知k1•k2=1，∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x﹣2），y=k（x+2）与椭圆方程联立，消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由韦达定理得，x1+x2=，x1•x2=，∴|AB|=|x1﹣x2|=，同理|CD|=∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，∴λ===∴存在常数λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．点评：本题考查椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．21．（13分）已知x=a、x=b是函数f（x）=lnx+﹣（m+2）x（m∈R）的两个极值点，若≥4．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）求f（b）﹣f（a）的最大值．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出函数的定义域，接着求出函数的导数，由于x=a、x=b是函数f（x）=lnx+﹣（m+2）x（m∈R）的两个极值点，所以x=a、x=b是f′（x）的2个根，根据导数的特点和≥4可判断a，b是2个正值；（2）把f（b）﹣f（a）的表达式求出来，利用导数求其最大值．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．由题意得：x=a、x=b是方程x2﹣（m+2）x+1=0的两个不等正根，且a＜b，∴⇒m＞0且a+b=m+2，ab=1．…3分设，则t≥4，，易知函数在故实数m的取值范围是．…6分（Ⅱ）∵，所以=．构造函数（其中t≥4），则，所以函数h（t）在[4，+∞）上单调递减，于是有．故f（b）﹣f（a）的最大值为．…13分．点评：本题主要考查导数的综合应用，利用导数判断函数的单调性、求其最值，属于中档题．。

湖南省岳阳市2018届⾼三上第⼀次⽉考数学理试题含答案2018届⾼三年级第⼀次质量检测数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.设复数z 满⾜()()225z i i --=，则z =（）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i -2.已知{}{}222|,,|1,,M y y x x R N y x y x R y R ==∈=+=∈∈，则M N ?=（）A ．[]2,2-B ．[]0,2C ．[]0,1D ．[]1,1-3.等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，若362,18S S ==，则105S S 等于（）A ．-3B ．5C ．-31D ． 334.已知()()tan 20,ααπ=∈，则5cos 22πα??+= （）A ．35B ．45 C. 35- D ．45-5.在如图所⽰的程序框图中，若输出的值是3，则输⼊x 的取值范围是（）A ．(]4,10B ．()2,+∞ C. (]2,4 D ．()4,+∞6.若n-的展开式中所有项的系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是（）A ．-270B ．270 C. -90 D ．907.⼀个⼏何体由多⾯体和旋转体的整体或⼀部分组合⽽成，其三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积是（）A ．32π B ．1π+ C. 16π+ D ．π 8.有六⼈排成⼀排，其中甲只能在排头或排尾，⼄丙两⼈必须相邻，则满⾜要求的排法有（）A ． 34种B ． 48种 C. 96种 D ．144种9.定义在R 上的函数()f x 满⾜()()2f x f x +=，当[]3,5x ∈时，()24f x x =--，则下列不等式⼀定成⽴的是（）A ．cos sin 66f f ππ?> ? ?B ．()()sin1cos1f f < C. 22cos sin 33f f ππ?> ? ?? D ．()()sin2cos2f f < 10.已知,a b 为平⾯向量，若a b + 与a 的夹⾓为3π，若a b + 与b 的夹⾓为4π，则a b= （）AB．2 11.已知两定点()1,0A -和()1,0B ，动点(),P x y 在直线3y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离⼼率的最⼤值为（）A．5 B．5C. 5．512.只能被1和它本⾝整除的⾃然数（不包括1）叫做质数，41，43，47，53，61，71，83，97是⼀个由8个质数组成的数列，⼩王同学正确地写出了它的⼀个通项公式，并根据通项公式得出数列的后⼏项，发现它们也是质数，试写出⼀个数P 满⾜⼩王得出的通项公式，但它不是质数，则P =（）A ．1677B ． 1681 C. 1685 D ．1687⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.已知幂函数()y f x =的图象过点12? ??，则()2log 2f 的值为．14.若()sin 3n f n π=，则()()()()1232017f f f f ++++= ． 15.已知三棱锥S ABC -，满⾜,,SA SB SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，Q 是三棱锥S ABC -外接球上⼀动点，则点Q 到平⾯ABC 的距离的最⼤值为．16.已知实数,a b 满⾜()ln 130b a b ++-=，实数,c d满⾜20d c -=，则()()22a cb d -+-的最⼩值为．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ?中，⾓,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量()2cos ,cos 1,,22C m B n c b a ??=-=-，且0m n = . （1）求⾓C 的⼤⼩；（2）若点D 为AB上⼀点，且满⾜,AD DB CD c === ABC ?的⾯积.18.如图1，在ABC ?中，002,90,30AC ACB ABC =∠=∠=，P 是AB 边的中点，现把ACP ?沿CP 折成如图2所⽰的三棱锥A BCP -，使得AB =（1）求证：平⾯ACP ⊥平⾯BCP ；（2）求⼆⾯⾓B AC P --的余弦值.19.习⼤⼤构建的“⼀带⼀路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.岳阳市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯⽽动，决定利⽤旅游资源优势，撸起袖⼦⼤⼲⼀场.为了了解游客的情况，以便制定相应的策略.在某⽉中随机抽取甲、⼄两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如下：（1）若景点甲中的数据的中位数是125，景点⼄中的数据的平均数是124，求,x y 的值；（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长⼀段时期内的样本数据.今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过120⼈的天数为ξ，求概率()2P ξ≤；（3）现从上图的共20天的数据中任取2天的数据（甲、⼄两景点中各取1天），记其中游客数不低于115且不⾼于125⼈的天数为η，求η的分布列和期望.20.已知点P 是直线:2l y x =+与椭圆()22211x y a a+=>的⼀个公共点，12,F F 分别为该椭圆的左右焦点，设12PF PF +取得最⼩值时椭圆为C . （1）求椭圆C 的标准⽅程及离⼼率；（2）已知,A B 为椭圆C 上关于y 轴对称的两点，Q 是椭圆C 上异于,A B 的任意⼀点，直线,QA QB 分别与y 轴交于点()()0,,0,M m N n ，试判断mn 是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.21. 已知函数()()()21ln 102f x a x a x x a =-++->.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()212f x x ax b ≥-++恒成⽴，求实数ab 的最⼤值. 22.请考⽣在下⾯两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分（本⼩题10分）.1.选修4-4：坐标系与参数⽅程直⾓坐标系xOy中，直线:x t l y ==??（t 为参数），曲线1cos :1sin x C y θθ=??=+?（θ为参数），以该直⾓坐标系的原点O 为极点，x 轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线2C的⽅程为2cos ρθθ=-+.（1）分别求曲线1C 的极坐标⽅程和曲线2C 的直⾓坐标⽅程；（2）设直线l 交曲线1C 于,O A 两点，直线l 交曲线2C 于,O B 两点，求AB 的长.2．选修4-5：不等式选讲已知函数()313f x x ax =-++.（1）若1a =，解不等式()4f x ≤；（2）若函数()f x 有最⼩值，求a 的取值范围.试卷答案⼀、选择题1-5:ACDDA 6-10: CBCCB 11、12：AB⼆、填空题 13. 12三、解答题17.解：（1）由0m n = ，得()cos 2cos 0c B b a C +-= ，由正弦定理可得()sin cos sin 2sin cos 0C B B A C +-=，∴sin 2sin cos 0A A C -=，∵sin 0A ≠，。

2018-2018学年湖南省株洲市浏阳一中、攸县一中高三（上）10月联考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．∅B．[0，1）∪（3，+∞）C．（0，3）D．（1，3）2．若z=（1+i）i（i为虚数单位），则z的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2、a4是方程x2﹣x﹣2=0的两个根，则S5=（）A．B．5 C． D．﹣54．已知命题p：a＞0＞b，命题q：|a+b|＜|a|+|b|，则命题p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．三个数log34、log1.10.9、0.34的大小顺序是…（）A．log34＞log1.10.9＞0.34B．log34＞0.34＞log1.10.9C．log1.10.9＞log34＞0.34D．0.34＞log34＞log1.10.96．在△ABC中，，A=75°，B=45°，则△ABC的外接圆面积为（）A．B．πC．2πD．4π7．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示．则平面区域所围成的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．59．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+5）=﹣f（x），当x∈（0，5）时，f（x）=x2﹣x，则fA．﹣12 B．﹣16 C．﹣20 D．010．定义运算：a*b=，如1*2=1，则函数f（x）=cosx*sinx的值域为（）A．[﹣1，]B．[﹣1，1] C．[，1] D．[﹣，]11．已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N+）在经过点（5，3）的定直线l上，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．10 C．18 D．2712．设y=f″（x）是y=f′（x）的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有对称中心（x0，f（x0）），其中x0满足f″（x0）=0．已知f（x）=x3﹣x2+3x﹣，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=（）A．2018 B．2018 C．2018 D．2018二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=的定义域为．14．设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．15．在矩形ABCD中，∠CAB═30°，•=||，则•=．16．已知偶函数f（x）满足f（x）﹣f（x+2）=0，且当x∈[0，1]时，f（x）=x•e x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣2k有且仅有3个零点，则实数k的取值范围是．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值．18．已知幂函数f（x）=x（m∈z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+ax3+x2﹣b（x∈R），其中a，b∈R．若函数g（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围．19．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；（2）求AC边的长．20．设函数f（x）=+（x＞0），数列{a n}满足a1=1，a n=f（），n∈N*，且n≥2 （1）求数列{a n}的通项公式；（2）对n∈N*，设S n=+++…+，若S n≥恒成立，求实数t的取值范围．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD，PA=2，PC=4．（Ⅰ）若点E是PC的中点，求证：PA∥平面BDE；（Ⅱ）若点F在线段PA上，且FA=λPA，当三棱锥B﹣AFD的体积为时，求实数λ的值．22．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x）+5，其中a∈R．（1）当a∈[﹣1，1]时，f'（x）≥0恒成立，求x的取值范围；（2）讨论函数f（x）的极值点的个数，并说明理由．2018-2018学年湖南省株洲市浏阳一中、攸县一中高三（上）10月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．∅B．[0，1）∪（3，+∞）C．（0，3）D．（1，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即A=（1，3），由B中y=x2≥0，得到B=[0，+∞），则A∩B=（1，3），故选：D．2．若z=（1+i）i（i为虚数单位），则z的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．【解答】解：∵z=（1+i）i═i+i2=﹣1+i，∴z的虚部为1．故选A．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2、a4是方程x2﹣x﹣2=0的两个根，则S5=（）A．B．5 C． D．﹣5【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据韦达定理a2+a4=1，通过等差数列的等差性质可知a1+a5=a2+a4，最后把a1+a5代入S5即可得到答案．【解答】解：依题意可知a2+a4=1，∴a1+a5=a2+a4=1∴S5==故答案选A4．已知命题p：a＞0＞b，命题q：|a+b|＜|a|+|b|，则命题p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由a＞0＞b，可得|a+b|＜|a|+|b|，由|a+b|＜|a|+|b|，可得ab＜0，从而可判断【解答】解：∵若a＞0＞b，则|a+b|＜|a|+|b|，若|a+b|＜|a|+|b|，则ab＜0⇔a＜0＜b或b＜0＜a命题p是q的充分不必要条件故选A5．三个数log34、log1.10.9、0.34的大小顺序是…（）A．log34＞log1.10.9＞0.34B．log34＞0.34＞log1.10.9C．log1.10.9＞log34＞0.34D．0.34＞log34＞log1.10.9【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数和对数函数的性质求解．【解答】解：∵log34＞log33=1，log1.10.9＜log1.11=0，0＜0.34＜0.30=1，∴log34＞0.34＞log1.10.9，故选：B．6．在△ABC中，，A=75°，B=45°，则△ABC的外接圆面积为（）A．B．πC．2πD．4π【考点】正弦定理．【分析】由三角形的知识和正弦定理可得外接圆的半径，可得面积．【解答】解：在△ABC中，，A=75°，B=45°，∴C=180°﹣A﹣B=60°，设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R==，解得R=1，故△ABC的外接圆面积S=πR2=π，故选：C．7．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；指数函数的图象变换．【分析】根据指数函数的图象和性质求出0＜a＜1，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：∵|x|≥0，∴若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，∴0＜a＜1，当x＞0时，数y=log a|x|=log a x，为减函数，当x＜0时，数y=log a|x|=log a（﹣x），为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，故选：A8．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示．则平面区域所围成的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数的单调性与导数的关系；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】由函数y=f′（x）的图象可得：当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．由f（2a+b）＜1，f（4）=1，及f（2a+b）＜1=f（4）．可得2a+b＜4．再利用线性规划的有关知识即可得出．【解答】解：由函数y=f′（x）的图象可得：当x∈[﹣2，0）]时，f′（x）＜0，此时函数f （x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∵a≥0，b≥0，∴2a+b≥0．又∵f（4）=1，f（2a+b）＜1，∴f（2a+b）＜f（4）．∴0≤2a+b＜4．由，画出图象如图∴阴影部分的面积S==4．故选C．9．已知f （x ）在R 上是奇函数，且满足f （x +5）=﹣f （x ），当x ∈（0，5）时，f （x ）=x 2﹣x ，则fA ．﹣12B ．﹣16C ．﹣20D ．0 【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由f （x +10）=﹣f （x +5）=f （x ），得f=﹣f （1），由此能求出结果． 【解答】解：∵f （x ）在R 上是奇函数，且满足f （x +5）=﹣f （x ）， ∴f （x +10）=﹣f （x +5）=f （x ）， ∴f （x ）是以10为周期的函数．∵当x ∈（0，5）时，f （x ）=x 2﹣x ， ∴f=﹣f （1）=﹣（12﹣1）=0． 故选：D ．10．定义运算：a*b=，如1*2=1，则函数f （x ）=cosx*sinx 的值域为（ ）A ．[﹣1，]B ．[﹣1，1]C ．[，1]D ．[﹣，]【考点】三角函数的最值．【分析】根据定义和正弦函数与余弦函数的关系，求得f （x ）的解析式根据x 时范围确定f （x ）的值域．【解答】解：根据三角函数的周期性，我们只看在一个最小正周期的情况即可， 设x ∈[0，2π]，当≤x ≤时，sinx ≥cosx ，f （x ）=cosx ，f （x ）∈[﹣1，]，当0≤x ＜或x ≤2π时，cosx ＞sinx ，f （x ）=sinx ，f （x ）∈[0，]∪[﹣1，0]．综合知f （x ）的值域为[﹣1，]．故选：A ．11．已知数列{a n }，若点（n ，a n ）（n ∈N +）在经过点（5，3）的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9=（ ） A ．9 B ．10 C ．18 D ．27 【考点】等差数列的性质．【分析】由题意可得a 5=3，而S 9==，代入可得答案．【解答】解：∵点（n ，a n ）（n ∈N +）在经过点（5，3）的定直线l 上， ∴数列{a n }为等差数列，且a 5=3，而S 9===27，故选D12．设y=f″（x）是y=f′（x）的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有对称中心（x0，f（x0）），其中x0满足f″（x0）=0．已知f（x）=x3﹣x2+3x﹣，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=（）A．2018 B．2018 C．2018 D．2018【考点】函数的值．【分析】结合题意求导可得f″（x）=2x﹣1，从而可求出（，1）是f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心；从而利用对称性求得f（）+f（）=2，f（）+f（）=2，…，从而求得．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣，∴f′（x）=x2﹣x+3，∴f″（x）=2x﹣1，令f″（x）=2x﹣1=0解得，x=，f（）=1，由题意知，（，1）是f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心；故f（）+f（）=2，f（）+f（）=2，…，故f（）+f（）+f（）+…+f（）=2018，故选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=的定义域为（0，1] ．【考点】对数函数的定义域．【分析】令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域．【解答】解：由题意可得：log0.5x≥0=log0.51，∴根据对数函数的单调性以及对数式的意义可得：0＜x≤1，∴函数的定义域为（0，1]，故答案为（0，1]．14．设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【考点】数列与函数的综合；等比数列的性质．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．15．在矩形ABCD中，∠CAB═30°，•=||，则•=12．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用矩形的性质，两个向量的数量积的定义，求得||=2=||．再根据tan30°==，求得||=2，可得||的值，从而求得•=||•||•cos30°的值．【解答】解：在矩形ABCD中，∠CAB═30°，∴•=||•||•cos60°=||，∴||=2=||．再根据tan30°===，∴||=2，∴||===4，∴•=||•||•cos30°=12，故答案为：12．16．已知偶函数f（x）满足f（x）﹣f（x+2）=0，且当x∈[0，1]时，f（x）=x•e x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣2k有且仅有3个零点，则实数k的取值范围是（）．【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【分析】由f（x）﹣f（x+2）=0得f（x）=f（x+2），得到函数的周期是2，由g（x）=f（x）﹣kx﹣2k=0，得到f（x）=k（x+2），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：∵f（x）﹣f（x+2）=0，∴f（x）=f（x+2），即函数的周期是2，∵当x∈[0，1]时，f（x）=x•e x，∴根据增函数的性质可知，此时函数f（x）单调递增，且f（0）=0，f（1）=e，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）=f（﹣x）=﹣x•e﹣x，由g（x）=f（x）﹣kx﹣2k=0，得到f（x）=k（x+2），作出两个函数f（x）和g（x）=k（x+2）在[﹣1，3]的图象，由图象可知当x=1时，f（1）=e，当x=3时，f（3）=f（1）=e，即B（1，e），C（3，e），当直线y=k（x+2）经过点B（1，e）时，此时两个函数有2个交点，此时e=3k，解得k=，直线y=k（x+2）经过点C（3，e）时，此时两个函数有4个交点，此时e=5k，解得k=，∴要想使函数g（x）=f（x）﹣kx﹣2k有且仅有3个零点，则直线应该位于直线AB和AC之间，∴此时直线的斜率k满足，故k的取值范围是（），故答案为：（）三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得：f（x）=cos（2x+）+1，由三角函数的周期性及其求法即可求得函数f（x）的最小正周期，由2kπ≤2x+≤（2x+1）π，可解得函数的单调减区间．（Ⅱ）由（Ⅰ）先求得g（x），由0≤x≤，可求﹣≤2x﹣≤，从而可得≤cos（2x﹣）+1≤2，即可求出f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x+）+2cos2x=﹣+1+cos2x…2分=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1…4分所以函数f（x）的最小正周期为π…5分由2kπ≤2x+≤（2x+1）π，可解得k≤x≤kπ+，所以单调减区间是：[k，kπ+]，k∈Z…8分（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=cos（2（x﹣）+）+1=cos（2x﹣）+1．…因为0≤x≤，所以﹣≤2x﹣≤，所以﹣≤cos（2x﹣）≤1，…因此≤cos（2x﹣）+1≤2，即f（x）的取值范围为[，2]．…18．已知幂函数f（x）=x（m∈z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+ax3+x2﹣b（x∈R），其中a，b∈R．若函数g（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】（1）利用f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，推出m的不等式没任何求出m值，求出函数的解析式．（2）求出函数的g′（x），为使g（x）仅在x=0处有极值，必须x2+3ax+9≥0恒成立，然后求出a的范围．【解答】解：（1）∵f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，∴﹣m2+2m+3＞0，即m2﹣2m﹣3＜0，∴﹣1＜m＜3，又m∈Z，∴m=0，1，2…4分而m=0，2时，f（x）=x3不是偶函数，m=1时，f（x）=x4是偶函数，∴f（x）=x4．…6分（2）g′（x）=x（x2+3ax+9），显然x=0不是方程x2+3ax+9=0的根．为使g（x）仅在x=0处有极值，必须x2+3ax+9≥0恒成立，…8分即有△=9a2﹣36≤0，解不等式，得a∈[﹣2，2]．…11分这时，g（0）=﹣b是唯一极值．∴a∈[﹣2，2]．…12分．19．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；（2）求AC边的长．【考点】余弦定理．【分析】（1）由同角的三角函数的关系和两角差的正弦公式即可求出；（2）由正弦定理和余弦定理即可求出．【解答】解：（1）因为cosB=，所以sinB=．又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=，所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB=×﹣（﹣）×=．（2）在△ABD中，由=得=，解得BD=2．故DC=2，从而在△ADC中，由AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cos∠ADC=32+22﹣2×3×2×（﹣）=16，得AC=4．20．设函数f（x）=+（x＞0），数列{a n}满足a1=1，a n=f（），n∈N*，且n≥2（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对n∈N*，设S n=+++…+，若S n≥恒成立，求实数t的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）通过代入f（x）=+（x＞0）可知数列{a n}是首项为1、公差为的等差数列，进而计算可得结论；（2）通过（1）裂项可知=（﹣），进而并项相加可知S n=，从而问题转化为求的最小值，通过利用导数可知g（x）=（x＞0）的单调性，计算即得结论．【解答】解：（1）∵f（x）=+（x＞0），a n=f（），∴a n﹣a n=，+1又∵a1=1，∴数列{a n}是首项为1、公差为的等差数列，∴其通项公式a n=1+（n﹣1）=；（2）由（1）可知：==（﹣），∴S n=+++…+= [（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（﹣）=，则S n≥恒成立等价于≥，即t≤恒成立，令g（x）=（x＞0），则g′（x）=＞0，∴函数g（x）=（x＞0）为增函数，∵当n=1时=，∴t≤，即实数t的取值范围是：（﹣∞，]．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD，PA=2，PC=4．（Ⅰ）若点E是PC的中点，求证：PA∥平面BDE；（Ⅱ）若点F在线段PA上，且FA=λPA，当三棱锥B﹣AFD的体积为时，求实数λ的值．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ ∥PA，又EQ⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．所以PA∥平面BDE（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一点M，则FM⊥平面ABCD，进一步利用最后利用平行线分线段成比例求出λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）如图连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ∥PA，又EQ⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．所以PA∥平面BDE（Ⅱ）解：依据题意可得：PA=AB=PB=2，取AB中点O，所以PO⊥AB，且又平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一点M，则FM⊥平面ABCD，因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥平面PAB，则△PBC为直角三角形，所以，则直角三角形△ABD的面积为，由FM∥PO得：22．设函数f （x ）=ln （x +1）+a （x 2﹣x ）+5，其中a ∈R ．（1）当a ∈[﹣1，1]时，f'（x ）≥0恒成立，求x 的取值范围； （2）讨论函数f （x ）的极值点的个数，并说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，令h （a ）=2（x 2+x ﹣1）a +1，要使f ′（x ）≥0，则使h （a ）≥0即可，而h （a ）是关于a 的一次函数，列出不等式求解即可． （2）令g （x ）=2ax 2+ax ﹣a +1，x ∈（﹣1，+∞），当a=0时，当a ＞0时，①当时，②当时，当a ＜0时，求解函数的极值以及判断函数的单调性．【解答】解：（1）f ′（x ）=+a （2x ﹣1）=，x ∈（﹣1，+∞），（1）令h （a ）=2（x 2+x ﹣1）a +1，要使f ′（x ）≥0，则使h （a ）≥0即可，而h （a ）是关于a 的一次函数，∴，解得或，所以x 的取值范围是…（2）令g （x ）=2ax 2+ax ﹣a +1，x ∈（﹣1，+∞），当a=0时，g （x ）=1，此时f （x ）＞0，函数f （x ）在（﹣1，+∞）上递增，无极值点； 当a ＞0时，△=a （9a ﹣8），①当时，△≤0，g （x ）≥0⇒f （x ）≥0，函数f （x ）在（﹣1，+∞）上递增，无极值点；②当时，△＞0，设方程2ax 2+ax ﹣a +1=0的两个根为x 1，x 2（不妨设x 1＜x 2），因为，所以，由g （﹣1）=1＞0，∴，所以当x ∈（﹣1，x 1），g （x ）＞0⇒f （x ）＞0，函数f （x ）递增； 当x ∈（x 1，x 2），g （x ）＜0⇒f （x ）＜0，函数f （x ）递减； 当x ∈（x 2，+∞），g （x ）＞0⇒f （x ）＞0，函数f （x ）递增；因此函数有两个极值点， 当a ＜0时，△＞0，由g （﹣1）=1＞0，可得x 1＜﹣1， 所以当x ∈（﹣1，x 2），g （x ）＞0⇒f （x ）＞0，函数f （x ）递增；当x∈（x2，+∞），g（x）＜0⇒f（x）＜0，函数f（x）递减；因此函数有一个极值点，综上，当a＜0时，函数有一个极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点…2018年1月2日。