山东省德州市第五中学上学期九年级一元二次方程教复习2(数学)

山东省德州五中2019-2019学年度第一学期人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.下列方程中是一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.下列解方程的过程，正确的是（）A.．两边同除以，得B.．直接开平方法，可得C.．∵ ，，∴ ，D.．整理得，∴，3.一元二次方程的一般形式是（）A. B.C. D.以上答案都不对4.用配方法解方程时，方程的两边都应加上（）A. B. C. D.5.若方程的两根为、，则的值为（）A. B. C. D.6.下面对关于的一元二次方程的表述错误的是（）A.判别式的值为B.方程有一根是C.不等于D.不等于7.若，则关于的一元二次方程有一根是（）A. B. C. D.无法判断8.已知实数满足，则A. B.或 C. D.9.如果关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（）A. B.C.且D.且10.在一个米米的大厅内进行舞蹈表演，四周摆放座位作为观众台，且观众台的宽度相等，要使中间表演场的面积为平方米，设观众台的宽度为米，则可列方程（）A. B.C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.一元二次方程的根为________．12.写出一个关于的一元二次方程，使它的一个根，另一个根满足，你写的方程是________．13.商店里某种商品在两个月里连续降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了，则每月降价的百分比是________．14.若，则________．15.某商品成本价为元，两次降价后现价为元，若每次降价的百分率相同，设为，则方程为________．16.已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是________．17.已知关于的方程，若等腰三角形边长，另两边长、恰好是这个方程的两个根，则的周长是________．18.已知是一元二次方程的根，则的值是________．19.若关于的一元二次方程的二次项系数为，其两根为，，该方程是________．20.将一元二次方程化为一般形式为________，其中二次项系数为________，一次项为________，常数项为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.解方程：① ②③ （配方法）④ （公式法）22.已知关于的方程．求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根；能否找到一个实数，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出的值；若不能，请说明理由．当等腰三角形的边长，另两边的长、恰好是这个方程的两根时，求的周长．23.某商店购进个旅游纪念品，进价为每个元，第一周以每个元的价格售出个，第二周若按每个元的价格销售仍可售出个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低元，可多售出个，但售价不得低于进价），单价降低元，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利元．第二周单价降低元后，这周销售的销量为________（用的关系式表示）．求这批旅游纪念品销售的价格．24.机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为千克，用油的重复利用率为，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到千克，用油的重复利用率仍为，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？25.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价元，那么商场平均每天可多售出件，若商场想平均每天盈利达元，那么买件衬衫应降价多少元？26.如图，在矩形中，，，动点、分别以、的速度从点、同时出发，点从点向点移动．若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点、分别从点、同时出发，问经过多长时间、两点之间的距离是？若点沿着移动，点、分别从点、同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？答案1.C2.D3.C4.B5.C6.C7.A8.B9.C10.C11.12.13.14.15.16.且17.18.19.或．20.21.解：① ，开方得：或，解得：，；② ，移项得：，分解因式得：，可得或，解得：，；③ ，移项得：，两边同时除以得：，配方得：，即，开方得：，解得：，；④ ，这里，，，∵ ，∴，则，．22.证明： ∵，∴方程总有实根；解： ∵两实数根互为相反数，∴ ，解得； ①当时，则，即，∴，方程可化为，∴ ，而，∴ 不适合题意舍去；②当，则，∴，方程化为，解得，，∴ ，，当时，同理得，∴ ，综上所述，的周长为．23.．24.技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是千克．技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是千克，用油的重复利用率是．25.解：设买件衬衫应降价元，由题意得：，即，∴ ，∴ ，解得：或为了减少库存，所以．故买件衬衫应应降价元．26.解：过点作于．则根据题意，得设秒后，点和点的距离是．，即，∴ ，∴，；∴经过或、两点之间的距离是；连接．设经过后的面积为．①当时，则，∴，即，解得；②当时，，，则，解得，（舍去）；③时，，则，解得（舍去）．综上所述，经过秒或秒的面积为．。

重点：解一元二次方程．难点：解含有一个参数的一元二次方程．一、相关知识链接：一元二次方程的一般形式是：02=++c bx ax （a 、b 、c 是已知数，特别强调．．．．0≠a ）， 其中a 、b 、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．练习1: 把一元二次方程3)4()3(2+-=-x x x x 化为一般形式为 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 练习2: （1）已知关于x 的方程()0122=-+-ax x a 为一元二次方程，则a 的取值范围是 ． （2）关于x 的一元二次方程043)2(22=+-+-m x x m 有一个解是0，则=m ．二、一元二次方程的解法：（1）解一元二次方程的基本思想是通过降次将其转化为一元一次方程.（2）常用的解法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法.其中配方法和公式法适用于解任何一元二次方程．配方法的步骤：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式是 ．其中△=ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式；① 当 042>-ac b 时，方程 的实数根；② 当 042=-ac b 时，方程 实数根；③ 当 042<-ac b 时，方程 实数根；④ 当 时，方程有两个实数根。

（3）想一想：怎样选择合适的方法解一元二次方程？问题解决：练习1:1．方程0)5)(2(=+-x x 的解为 ．2．方程())1(31-=-x x x 的解为 ．3．+-x x 42 =2______)(-x ．4．若关于x 的一元二次方程()0022≠=++a bx ax 的一个根为1-，则=-b a ．5．已知一元二次方程042=++k x x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 ．6．方程12-=k x 有两个实数根，则k 的取值范围是 ．练习2: 请你选择适当的方法解下列方程．．．．．．．： （1）02)1(2=--x ． （2）0232=+x x ． （3）0262=+-x x ．练习3：1．经过配方，方程0762=+-x x 可以变形为 （ ）A ．16)3(2=-xB ．2)3(2=+xC ．29)6(2=-xD ．2)3(2=-x2． 不解方程，判别方程03532=+-x x 的根的情况是 （ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3．已知m 是方程42=-x x 的解，则代数式m m 2232+-的值是 （ ）A ．－3B ．－5C ．1D ．－1【课堂探究】问题1：解下列方程：（1）83752+=++x x x （2）1422+=x x问题2：已知：关于x 的一元二次方程022=+-n mx x ．（1）当2=m 时，方程有两个实数根，求n 的取值范围；（2）若n （0≠n ）是这个方程的一个实数根，且7=+m n ，求n 的值．问题3：已知关于x 的一元二次方程01)(2)1(222=+++-+b x b a x a ．（1）当2=b 时，方程有一个实数根为2，求a 的取值范围；（2）若此方程有实数根，当13-<<-a 时，求b 的取值范围．【课堂检测】1．一元二次方程x x 2332-=的一次项系数和常数项分别是 （ ）A ．2和－3B ．3 和－2C ．－3和2D ．3和22．方程02=+x x 的根是 （ ）A ．1-=xB ．01=x ，12-=xC ．01=x ，1=xD ．x x -=1，x x --=2 3．若关于x 的一元二次方程01)1(22=-+--k x x k 的一个根为0，则k 等于 （ ）A ．1-=k 或1=kB ．1=kC ．1-=kD ．1=k4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是 （ ）A ．12+=x xB ．0122=-+x xC ．022=+x xD ．02222=+-x x5．方程k x -=32有两个实数根，则k 的取值范围是 ．6．解下列方程：（1）142+=x x ． （2）2275x x =+7．已知关于x 的一元二次方程)(2)2(2m x x m m x -=-+的两个实数根分别为1x ，2x ．（1）若方程有一个根是2，求m 的值；（2）若012>>x x ，且1242x x y -=，求y 的取值范围．。

**教育ISO讲义一元二次方程复习【知识梳理】类型一：满足一元二次方程，求取值；判断是否为一元二次方程 1、若关于x 的方程（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2=0是一元二次方程，则a 的值为__________．2、已知关于x 的方程()211230m m x x +-+-=是一元二次方程,则m 的值为：__________3、有下列关于x 的方程：①ax 2+bx+c=0，②3x （x ﹣4）=0，③x 2+y ﹣3=0，④21x+x=2，⑤4、x 3﹣3x+8=0，⑥12x 2﹣5x+7=0，⑦（x ﹣2）（x+5）=x 2﹣1．其中是一元二次方程的有（ ）. A ．2 B ．3 C ．4 D ．55、若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+5x+2=0是一元二次方程，则m 的值不能为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．12D ．0类型二：考察什么是二次项、一次项1、一元二次方程4x 2+x=1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．4，0，1 B ．4，1，1 C ．4，1，－1 D ．4，1，0 2、方程23x ﹣8x ﹣10=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）.A ．3和8B ．3和﹣8C ．3和﹣10D ．3和10类型三：考察配方法1、用配方法解方程x 2－2x －3＝0，配方后的方程可以是( )A ．(x －1)2＝4 B ．(x ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＝6 D ．(x －1)2＝16 2、用配方法解方程2x +6x ﹣4=0，下列变形正确的是（ ）. A ．()23x +=5 B ．()23x +=13 C ．()23x -=﹣13 D ．()23x +=﹣53、已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-4x -5=0的两个实数根，则)1)(1(21--x x 的值为4、若关于x 的方程0)1(22=+-+a x a x 的两根互为倒数，则a=___________5、已知关于x 的一元二次方程062=-+px x 的一个根为2，则p=_______,另一根是______类型七：解决实际问题一、用一元二次方程解决几何图形的问题1、校生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m 2，小道的宽应是多少米？2、小丽要在一幅长为80cm,宽为50cm的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边制成一幅矩形挂图，使整幅挂图的面积是5400，设金色纸边的宽度为xcm,则x满足的方程是（）3.(6分) 小红的妈妈做了一副长60cm，宽40cm的矩形十字绣风景画，做一副镜框制成一副矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是2816cm2，设镜框边的宽为xcm，那么x满足的方程是．4、如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD ，求该矩形草坪BC 边的长.（用方程解）二、解决增长率、折旧率的问题 （一）平均增长率的问题设基数为a ，平均增长率为x ，则一次增长后的值为a(1+x) 则二次增长后的值为2)1(a x + 则三次增长后的值为3)1(a x + （三）平均下降率问题设基数为a ，平均下降率为x ，则一次下降后的值为)1(a x - 则二次次下降后的值为2)1(a x - 则三次下降后的值为3)1(a x -1、某种商品零售价经过两次降价后,每件的价格由原来的800元降为现在的578元,则平均每次降价的百分率为（ ）A ．10%B ．12%C ．15%D ．17%场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：每千克核桃应降价多少元？6、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？四、传染、传播问题1、有一个患了流感，经过两轮传染后有121人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？2、要组织一场篮球联赛，赛制为单循环模式，即每两队之间赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少个联队参加？x20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出－13.75－8.04－2.313.449.21分析表格中的数据，估计方程(x ＋8)2－826＝0的一个正数解x 的大致范围为( ) A. 20.5＜x ＜20.6 B. 20.6＜x ＜20.7 C. 20.7＜x ＜20.8 D. 20.8＜x ＜20.98. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm 3，则原铁皮的边长为( )A. 10 cmB. 13 cmC. 14 cmD. 16 cm9. 已知关于x 的一元二次方程(k －2)2x 2＋(2k ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A. k >43且k ≠2 B. k ≥43且k ≠2C. k >34且k ≠2D. k ≥34且k ≠210. 已知α， 是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m 的值是( )A. 3或－1B. 3C. 1D. －3或1二、填空题(每小题4分，共24分)11. 把方程3x (x －1)＝(x ＋2)(x －2)＋9化成ax 2＋bx ＋c ＝0的形式为 .12. 解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 .13. 已知实数a ，b 是方程x 2－x －1＝0的两根，则b a ＋a b的值为 .14. 六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每个同学送一份小礼品，全班共互送306份小礼品，则该班有名同学.15. 在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画(如图1)的四周镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图2)，使整个挂图的面积是80平方分米，设金色纸边宽为x分米，可列方程为 .图1 图216. 三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长是 .三、解答题(共56分)17. (12分)我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法. 请选择合适的方法解下列方程.(1)x2－3x＋1＝0； (2)(x－1)2＝3；(3)x2－3x＝0； (4)x2－2x＝4.18. (10分)定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算. 例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2－bx ＋a＝0的根的情况.一、本节课我们学习的知识点有哪些：二、本节课我需要努力的地方是：。

2024—2025学年上学期阶段性质量检测九年级数学·试题一、选择题（每题4分，共48分）1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程的根是（ ）A ．3B ．C ．3和D ．3和43．观察下列表格，一元二次方程的一个近似解是（）x1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.90.560.750.961.191.44 1.71A ．0.11B ．1.19C ．1.73D ．1.674．若方程是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．二次函数的顶点坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列各组图形必相似的是（A ．任意两个等腰三角形B ．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形C ．两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形D ．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形7．在平面直角坐标系中点，点M 关于原点的对称点记作N ，连接MN ，则线段MN 的长是（）A ．6B ．8C ．10D ．128．如图，已知的半径为5，弦AB 长度为8，则上到弦AB 所在直线的距离为2的点有（）个．（第8题）A ．1B ．2C ．3D ．49．下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；293x x -=-4-4-21.1x x -=2x x-()2310mm x mx +++=2m =±2m =2m =-2m ≠±222y x x =-+()1,1()2,2()1,2()1,3()3,4M -O O（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦．其中正确的命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在平行四边形ABCD 中，，，的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，，垂足为G ，，则的周长为（）（第10题）A ．8B ．9.5C ．10D ．511．关于x 的方程有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．B ．且C ．D ．且12．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则．其中说法正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④二、填空题（每题4分，共24分）13．已知两个相似三角形相似比是3 ：4，那么它们的面积比是______．14．如果抛物线的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于______．15．在半径为5的圆中，有AB 、CD 两条平行弦，已知，，则两条平行弦的距离为______．16．如图，AB 是的直径，C 、D 是上的两点，若，则______．（第16题）17．如图，在平面直角坐标系中，已知，，△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心．若，则______．6AB =9AD =BAD ∠BG AE⊥BG =CEF △2310kx x +-=94k ≤-94k ≥-0k ≠94k ≥-94k >-0k ≠2y ax bx c =++1x =-()3,0-0abc <20a b -=420a b c ++<()15,y -()22,y 12y y >262y x x c =-+-8AB =6CD =O O 28BCD ∠=︒ABD ∠=()1,0A ()3,0D 1.5AB =DE =（第17题）18．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D 的坐标是______．（第18题）三、解答题19．解方程：（共8分）（1）．（2）．20．（共10分）．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为，，．（1）请画出△ABC 关于原点对称的，并写出，，的坐标；（2）请画出△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后的21．（10分），如图，．，，，求DE 的长．22．（12分）“春节”吃饺子是中国传统习俗，在“春节”来临前，某超市购进一种品牌速冻水饺，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x 元，日销售量为p 盒．（1）当时，______．()5,3D 2320x x +-=222x x x -=-()2,4A ()1,1B ()4,3C 111A B C △1A 1B 1C 222A B C △123l l l ∥∥2AB =4BC =3260x =p =（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W （元）最大？最大利润是多少？23．（12分）如图，四边形ABCD 内接于，，点E 在BC 的延长线上，且．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若，当，时，求AC 的长．24．（12分）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……【问题提出】（1）如图①，PC 是△PAB的角平分线，求证：．小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B 作，交PC 的延长线于点D ，利用“三角形相似”．小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C 分别作交PA 于点D ，作交PB 于点E ，利用“等面积法”．请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．【尝试应用】（2）如图②，在中，，D 是边AB 上一点，连结CD ，将△ACD 沿CD 所在直线折叠，使点A 恰好落在边BC 的中点E 处．若，求AC 的长．【拓展提高】（3）如图3，中，，，AD 为∠BAC 的角平分线．AD 的垂直平分线EF 交BC 延长线于点F ，连接AF ，当时，AF 的长为______．25．（14分）已知二次函数（b 、c 为常数）的图象经过点和点．（1）求b 、c 的值：（2）如图1，点在抛物线上，点M 是y 轴上的一个动点，过点M 平行于x 轴的直线l 平分∠AMC ，求点M 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P 是抛物线上的一动点，以P 为圆心、PM 为半径的圆与x 轴相交于E 、F 两点，若△PEF 的面积为请直接写出点P 的坐标．O 90DAB ∠=︒CED CAB ∠=∠AC DE ∥4AB =2DC =PA ACPB BC=BD PA ∥CD PA ⊥CE PB ⊥Rt ABC △90ACB ∠=︒5DE =ABC △6AB =4AC =3BD =218y x bx c =++()0,1-()4,1A ()10,C m阶段性质量检测答案：12月6日一、1—5：DCDBA 6—10：DCCAA 11—12：CC 二、13．9 ：16；14．14或8；15．1或7；16．62°；17．4.5；18．或三、解答题：19．（1），；（2），20．解：（1）如图所示，即为所求．点，，．（2）如图所示，即为所求．21．【详解】解：∵，∴，即：，∴，∴22．解：（1）400（2）当售价为65元时，利润最大，最大利润为8750元；23．（1）证明：如图，连接BD ，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即：，∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：∵，∵∴，即，∴，()2,0-()2,101x =2x =12x =21x =111A B C △()12,4A --()11,1B --()14,3C --222A B C △123l l l ∥∥AB DBBC BE=3224BE =3BE =39322DE DB BE =+=+=90BAD ∠=︒90BCD ∠=︒90DEC CDE ∠+∠=︒DEC BAC ∠=∠90BAC CDE ∠+∠=︒ BCBC =BAC BDC ∠=∠90BDC CDE ∠+∠=︒90BDE ∠=︒BD DE ⊥DE AC ∥90BDE ∠=︒90BFC ∠=︒BF AC ⊥4CB AB ==，在中，，∴，∴24．解：（1）小明的思路：过点B 做，如下图所示，∵PC 平分，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；选择小红的思路：过点C 作，过点C 作，过点P 作如下图所示，∵PC 平分，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）如下图所示，由（1）可知，根据折叠的性质可知：，，∵点E 为BC 的中点，∴，∴，又∵，∵，∴，设，则，12AF CF AC ==Rt BCD △BD ==BC CD CF BD ⋅===2AC CF ==BD PA ∥APB ∠APC BPC ∠=∠BD PA ∥APC D ∠=∠D BPC ∠=∠BD BP =ACP BCD ∠=∠ACP BCD △∽△PA AC BD BC =PA ACPB BC=CE AP ⊥CF BP ⊥PM AB ⊥APB ∠APC BPC ∠=∠CE CF =12ACP S AP CE =⋅△12BCP S BP CF =⋅△1212ACP BCPAP CE S AP S BP BP CF ⋅==⋅△△1212ACP BCP AC PM S AC S BC BC PM ⋅==⋅△△PA AC PB BC =AC ADBC BD=AC CE =5AD DE ==12AC CE BC BC ==12AD CE BD BC ==5AD =10BD =15AB =AC x =2BC x =在中，，∴，解得：，∴AC 的长为（3）解：如下图所示，∵AD 为∠BAC 的角平分线，由（1）可知，∵，，，∴，∴，∵EF 是AD 的垂直平分线，∴，∴，∵，，∴，又∵∴，∴，∵，，∴，∴，解得：．25．12．解：（1）把和代入得，，；（2），设．过点C 作，过点A 作． 则，∴，∴，解得：，∴；（3）设点，，则…①，点，则点；，解得：，即，化简得：，将②代入上式得：，Rt ABC △222AC BC AB +=()222215x x +=x =BD ABDC AC =6AB =4AC =3BD =364DC =2DC =AF DF =FAD FDA ∠=∠FAD FAC CAD ∠=∠+∠FDA B BAD ∠=∠+∠FAC B ∠=∠AFC BFA∠=∠AFC BFA △∽△64AB AF AC CF ==AF DF =2CD =64AB AF AC AF CD ==-624AF AF =-6AF =()4,1A ()0,1-218y x bx c =++0b =1c =-2310,2C ⎛⎫⎪⎝⎭()0,M n CD l ⊥AE l ⊥CMD ME A △∽△CD MDAE ME=2310214nn -=-4n =()0,4M (),P m n 2118n m =-288m n =+(),0E a ()2,0F m a -12S EF n =⨯⨯=a m =PM PE =()()22224m n m a n +-=-+()2168a a m n -=-168m m n ⎛-+-=- ⎝即，将①代入上式并解得：，解得：，则或或0，故：或或．2422816m nn -=-24224n=1n =±4m =4-()4,1P ()4,1-()0,1-。

学习目标：1、了解因式分解法的概念，会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。

2、能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。

重难点：1、重点：掌握用因式分解法解某些一元二次方程2、难点：用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程．一、问题导入1.am+bm+cm= ; a 2-b 2= ; a 2±2ab+b 2= ；x 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)因式分解的方法：2.解下列方程．（1）2x 2+x=0 （2）3x 2+6x=0二、合作探究（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？仔细观察两个方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？以上解法是如何实现降次的？注意：依据0,00a b a b ===若那么或归纳：1、因式分解法的概念：2、因式分解法解方程的步骤：例题解析用因式分解法解下列方程（1）x（x-2）+x-2 =0 （2）5x2-2x-14=x2-2x+34你能用不同的方法解这两个方程吗？跟踪练习解下列方程：１、x2+x=0 2、20x-=3、3x2-6x= -3 4、4x2-121= 0 5、3x(2x+1)=4x+2 6、(x-4)2=(5-2x)当堂达标1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A ．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x 1=13，x 2=7B ．（2-5x ）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x 1=25 ，x 2=35 C ．（x+2）2+4x=0，∴x 1=2，x 2=-2D ．x 2=x 两边同除以x ，得x=12、一元二次方程x(x-2)=2-x 的根是（ ）A ．-1 B.2 C.1和2 D.-1和23、解方程（1）x x 432= （2）04)1(=+-x x x （3）0)1(3)1(22=+-+x x（4）49122=+-x x （5）2690xx -+= （6）4、如图，把小圆形场地的半径增加5m 得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍。

主备人用案人授课时间年月日总第课时课题一元二次方程单元复习1课型新授教学目标1、能够熟练解方程2、在用方程解决实际问题的过程中，提高抽象、概括、分析问题的能力。

3、进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力。

重点能够熟练解方程难点能够熟练解方程教法及教具自主学习，合作交流，分组讨论多媒体教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动一．指导先学：1.方程的分类：2.一元二次方程：只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为。

◆解一元二次方程的方法有：①；②；③；④；3.一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为x= 。

4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式。

二．交流展示：1、下列方程中是一元二次方程的是A 、x2+3x+y=0 ；B、x+y+1=0 ；C 、213122+=+xx；D、512=++xx2、关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－1＝0有一根为0，则m的值为（）A、1B、－1C、1或－1D、213.关于x的一元二次方程225250x x p p-+-+=的一个根为1，则实数p的值是（）A．4 B．0或2 C．1D．1-学生复习整理相关内容，加深对本章知识的理解学生回顾相关所学知识学生按照老师要求完成自学内容，有难度的可以组内交流，达成统一意见。

21.1 一元二次方程学习目标1、理解一元二次方程的概念；2、掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项；3、理解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目学习重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．学习难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”。

学习过程探索新知问题1 要设计一座高2m的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?问题2 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？1、小组合作列出满足条件的方程问题1：问题2：问题3：2、议一议：上面三个方程与一元一次方程有什么区别？它们有什么共同点？3、类比一元一次方程给一元二次方程及一元二次方程的解（也叫根）下一个定义:一元二次方程：（三个要素）一元二次方程的根：归纳：一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ≠0）．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．思考：为什么规定a≠0？跟踪练习：1、指出下列方程，哪些是一元二次方程？（1）-x 2＝0 (2) 3x 2-5x =0 (3)2x 2－5xy ＋6y ＝0 (4)212103x x --= （5） 2102y += （6）7x212=； 2(7)10mx nx ++= 2、3、4、若关于x 的方程(k －3)x 2＋ 2x －1＝0是一元二次方程，则k5、议一议：下列哪些数是方程2120x x +-=的解？-4，-3，-2，-1, 0, 1, 2, 3, 46、已知x=2是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m=7、方程（2a —4）x 2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？当堂达标1、 下列关于x 的方程是否是一元二次方程？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：．032)1(2=++x ax023)2(2=+mx x222(3)(1)8210(4)(1)2(5)2(5)74m x mx m b x bx b tx x tx----=+-+=-=-2、当m 取何值时，方程||1(1)230m m x mx +-++=是关于x 的一元二次方程？3、若一元二次方程20ax bx c ++=有一个根为1，则a b c ++= ； 若0a b c -+=，则方程必有一根是4、 据题意，设出恰当的未知数列出方程，并化为一般形式⑴两数的差为2，平方和为52，求这两个数。