圆锥曲线的阿基米德三角形性质新探

第27讲 阿基米德三角形知识与方法1.如图1所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，则：（1）设AB 中点为M ，则PM 平行于（或重合）抛物线的对称轴；（2）PM 的中点S 在抛物线上，且抛物线在点S 处的切线平行于弦AB .2．如图2所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，则：（1）若弦AB 过抛物线内的定点Q ，则点P 的轨迹是直线；特别地，若弦AB 过定点()0,m ()0m >，则点P 的轨迹是直线y m =−；（2）若弦AB 过抛物线内的定点Q ，则以Q 为中点的弦与（1）中点P 的轨迹平行. 3．如图3所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，若AB 过焦点F ，则点P 的轨迹为抛物线准线，PA PB ⊥，PF AB ⊥，且PAB 的面积的最小值为2p .4．如图4所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，则：（1）PFA PFB ∠=∠；（2）2AF BF PF ⋅=提醒：阿基米德三角形在小题和大题中都可能涉及，小题可以直接用性质速解，大题则必须给出详细的求解过程.典型例题【例1】己知点()1,1P −在抛物线()220y px p =>的准线上，过点P 作抛物线的切线，切点为A 、B ，则直线AB 的斜率k =_______.【解析】点()1,1P −在抛物线()220y px p =>的准线上⇒抛物线的准线为1x =−⇒抛物线的焦点为()1,0F ，由阿基米德三角形性质，直线AB 过F 且PF AB ⊥，而101112PF k −==−−−，所以直线AB 的斜率为2.【答案】2变式1 已知点()2,1M −和抛物线2:4C x y =，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点，若90AMB ∠=︒，则k =_______.【解析】由题意，M 在抛物线C 的准线上，直线AB 过点F 且90AMB ∠=︒，所以MAB 是阿基米德三角形，如图，由阿基米德三角形性质，MF AB ⊥，而11120MF k −−==−−，所以直线AB 的斜率为1.【答案】1变式2 已知抛物线2:4C x y =，过点()1,1P −作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则经过P 、A 、B 三点的圆的方程为______.【解析】由题意，点P 在抛物线C 的准线上，则PA PB ⊥，PF AB ⊥，且直线AB 过焦点()0,1F ，所以经过P 、A 、B 三点的圆就是以AB 为直径的圆，直线PF 的斜率为11210−−=−−， 所以直线AB 的斜率为12，其方程为112y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立21124y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 整理得：2240x x −−=， 故122x x +=，()12121232y y x x +=++=，从而AB 中点为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1225AB y y =++=，所以经过P 、A 、B 三点的圆的方程为()22325124x y ⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭.【答案】()22325124x y ⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭变式3 已知过抛物线22x y =焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，抛物线在A 、B 处的切线交于点C ，则ABC 面积的最小值为______.【解析】由阿基米德三角形性质，当直线AB 过焦点F 时，ABC 面积的最小值为21p =. 【答案】1变式4 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，抛物线C 在A 、B 两点处的切线相交于点P ，若3AF =，则PF =_______. 【解析】设AFO α∠=，则231cos AF α==+，所以1cos 3α=−，故()2231cos 1cos 2BF παα===+−−， 由阿基米德三角形性质，2AF BF PF ⋅=所以2PF ==.【答案】2【例2】抛物线2:2C x py =()0p >的焦点为F ，且F 与圆()22:21I x y ++=上的点的距离的最大值为4. （1）求p 的值；（2）若点Q 在圆I 上，QA 、QB 是抛物线C 的两条切线，A 、B 是切点，当IQ AB ∥时，求直线AB 与y 轴交点的坐标. 【解析】解：（1）由题意，342p+=，所以2p =. （2）显然直线AB 斜率存在，可设其方程为y kx m =+，由（1）知抛物线C 的方程为24x y =，联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得：2440x kx m −−=，由韦达定理，124x x k +=，124x x m =−，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由24x y =可得24x y =，所以2x y '=，故直线QA 的方程为()211142x x y x x −=−，整理得：21124x x y x =−，同理，直线QB 的方程为22224x x y x =−，联立2112222424x x y x x xy x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩解得：1222x x x k +==，124x x y m ==−，所以点Q 的坐标Wie ()2,k m −， 因为点Q 在圆I 上，所以()22421k m +−+=①， 因为IQ AB ∥，所以22mk k−=，从而222k m =−， 代入式①可得()()22221m m −+−+=解得：3m =，又2220k m =−≥，所以2m ≤，故3m =， 从而直线AB 与y轴的交点的坐标为(0,3.【反思】对于开口向上（或向下）的抛物线的阿基米德三角形大题，通常采用设两个切点，写出切线方程并联立求出交点坐标，同时将切点弦所在直线与抛物线联立，结合韦达定理计算的方法来处理.强化训练1.（★★★）已知点()2,1P −在抛物线()2:20C y px p =>的准线上，过P 作抛物线C 的切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】()2,1P −在准线上4p ⇒=⇒抛物线的焦点为()2,0F，由阿基米德三角形性质，直线AB 过F ，且PF AB ⊥，而101224PF k −==−−−，所以直线AB 的斜率为4， 故直线AB 的方程为()42y x =−【答案】()42y x =−2.（★★★）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线相交于点P ，则PAB 面积的最小值为_______. 【解析】当AB 过焦点时，阿基米德三角形面积的最小值为24p =. 【答案】43.（★★★）已知抛物线2:2C y x =和点1,12P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若0PA PB ⋅=，则k =_______.【解析】由题意，1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 在抛物线的准线上，且PA PB ⊥，所以PAB 是阿基米德三角形，从而PF PB ⊥，直线PF 的斜率1011122PF k −==−−−，故直线AB 的斜率为1. 【答案】14.（★★★）已知抛物线2:4C x y =，过点()0,1P x −作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 和B ，若经过P 、A 、B 三点的圆被x 轴截得的弦长为4，则0x =______.【解析】由题意，点P 在抛物线C 的准线上，则PA PB ⊥，PF AB ⊥，且AB 过焦点()0,1F ，直线PF 的斜率为001120x x −−=−−，所以直线AB 的斜率为02x ，其方程为012x y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y 联立02124x y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 整理得：20240x x x −−=，所以1202x x x +=，()201212022x y y x x x +=+=+， 从而AB 中点为200,12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，212024AB y y x =++=+， 因为PA PB ⊥，所以经过P 、A 、B 三点的圆就是以AB 为直径的圆，该圆的半22220014222x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：01x =±.【答案】1±5.（★★★★）已知抛物线2y x =和点()0,1P ，若过某点C 可作抛物线的两条切线，切点分别为A 和B ，且满足1233CP CA CB =+，则ABC 的面积为______.【解析】()()12123333CP CA CB CP CP PA CP PB PA PB =+⇒=+++⇒=−⇒P 、A 、B 三点共线，设直线AB 的方程为1y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设0k >, 联立21y kx y x=+⎧⎨=⎩消去y 整理得：210x kx −−=，判别式240k =+>， 由韦达定理12x x k +=，121x x =−，又2PA PB =−，所以122x x =−，联立12121212x x kx x x x+=⎧⎪=−⎨⎪=−⎩可解得：k =，所以12x x +，设AB 中点为D ，则122D x x x +==， 代入1y kx =+得51244D y =⨯+=， 由阿基米德三角形性质知CD x ⊥轴且点C 在直线1y =−上， 所以()59144CD =−−=，故121199922418216ABCSCD x x =⋅−=⨯⨯=⨯=.6.（★★★★★）已知动圆过点()0,1F ，且与直线:1l y =−相切.（l ）求动圆圆心的轨迹E 的方程； （2）设P 为一动点，过P 作曲线E 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 和B ，且PA PB ⊥，直线AB 与圆224x y +=相交于C 、D 两点，设点P 到直线AB 的距离为d ，是否存在点P ，使得24AB CD d ⋅=?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由题意，动圆圆心到点F 的距离和到定直线l 的距离相等, 所以动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为24x y =.（2）显然直线AB 的斜率存在，故可设其方程为y kx m =+，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，联立24y kx mx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得：2440x kx m −−=，由韦达定理，124x x k +=，124x x m =−，由24x y =得24x y =，所以2xy '=，故直线PA 的方程为()211142x x y x x −=−，整理得：21124x x y =−，同理，直线PB 的方程为22224x x y =−，联立2112222424x x y x x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩解得：1222x x x k +==，124x x y m ==−，所以点P 的坐标为()2,k m −，因为PA PB ⊥， 所以12122x x m ⋅=−=−，故1m =，从而AB 过点F ， 所以()212122444AB y y k x x k =++=++=+， 原点到直线AB，故CD =点P 到直线AB 的距离d ==所以24AB CD d ⋅=等价于()()2244161k k +⋅=+， 化简得：2101k =+，无解，故不存在点P ，使得|24AB CD d ⋅=.。

抛物线阿基米德三角形结论证明1. 概述抛物线作为古代数学中的重要研究对象，其性质和结论一直以来都备受学者们的关注。

其中，抛物线上的阿基米德三角形结论一直是一个备受研究的课题。

本文旨在对抛物线上的阿基米德三角形结论进行证明，并探讨其中的数学内涵。

2. 抛物线的性质2.1 抛物线的定义抛物线是平面上的一种曲线，其定义可以与焦点和直线上一点的距离比例为常数通联起来。

一般来说，抛物线是指平面上一点到定直线和定点的距离比例为常数的轨迹。

2.2 抛物线的方程一般情况下，抛物线可以用一般二次方程的形式表示为y=ax^2+bx+c。

其中，a、b、c为常数，且a不等于0。

3. 阿基米德三角形的性质3.1 阿基米德三角形的定义阿基米德三角形是指一个锐角三角形，其三边长度成等比数列。

3.2 抛物线上的阿基米德三角形研究发现，在抛物线上，可以构建多个满足阿基米德三角形定义的三角形。

4. 抛物线上的阿基米德三角形结论证明4.1 抛物线的焦点性质我们需要利用抛物线的定义和性质证明其焦点的特殊性质。

根据抛物线的定义和焦点的几何性质，我们可以得出抛物线上的任意一点到焦点的距离和到定直线的距离之比是一个定值。

4.2 阿基米德三角形在抛物线上的构造进而，我们可以利用抛物线的焦点性质，构造出满足阿基米德三角形定义的三角形。

具体来说，我们可以选择抛物线上的三个或多个点，然后利用这些点到焦点和定直线的距离比例的性质，构造出符合阿基米德三角形定义的三角形。

4.3 阿基米德三角形的等比性质我们需要证明抛物线上构造出的三角形是等比数列。

在这一步中，我们需要运用一些几何和代数方法，通过计算抛物线上构造出的三角形的边长，并证明其边长满足等比数列的条件。

5. 结论通过以上的证明和分析，我们可以得出抛物线上的阿基米德三角形确实存在，并且构造出的三角形满足阿基米德三角形的定义和等比性质。

这一结论不仅对于抛物线的研究具有重要意义，同时也有助于深化对阿基米德三角形的理解，为数学研究提供了新的思路和方法。

关于由阿基米德三角形引发的圆锥曲线切点弦过定点问题教学探究
作者：陈佳高伟
来源：《读写算》2019年第10期
摘要文章从阿基米德三角形的一条性质出发，拓展研究圆锥曲线中普遍存在的一类切点弦恒过定点问题，并在研究的基础上对此类题目的做题方法及一般性结论进行归纳总结。

关键词阿基米德三角形;圆锥曲线;切点弦;定点
中圖分类号：G632;;;;;;;; 文献标识码：A;;;;;; 文章编号：1002-7661（2019）02-0159-02
近些年各地高考与模拟考试中，圆锥曲线中的定点与定值问题一直是热点、重点问题，也是难点问题，此类题目灵活性强，难度大，是令大部分学生谈虎色变的问题，下面从阿基米德三角形的一条性质出发，拓展研究圆锥曲线中普遍存在的一类切点弦恒过定点问题，并在研究的基础上对此类题目的做题方法及一般性结论进行归纳总结。

对于圆锥曲线过定点这类开放性问题，我们不仅要有一定的探索能力和创新能力，还要在做题的同时归纳总结出某些问题的特征，找到其中蕴含的解题规律，形成自己的解题技巧，形成知识网络和方法体系。

更重要的是把这些问题系统地串在一起，形成问题串和知识链，便于
我们梳理此类问题的解法，而且提高了对此类问题的应变能力。

只有这样，我们才能以不变应万变，才能让学生跳出题海，才能提高我们的创新能力和实践能力。

参考文献：
[1]李水生，左玉辉.圆锥曲线切点弦性质及应用[J].湖南数学通讯，1994（3）.
[2]王军庆.关于二次曲线的切点弦[J].中等数学，1984（3）.。

阿基米德三角形的由来优质解答过任意抛物线焦点F作抛物线的弦,与抛物线交与A、B两点,分别过A、B两点做抛物线的切线l1,l2相交于P点.那么△PAB称作阿基米德三角型.该三角形满足以下特性：1、P点必在抛物线的准线上2、△PAB为直角三角型,且角P为直角3、PF⊥AB（即符合射影定理）另外,对于任意圆锥曲线（椭圆,双曲线、抛物线）均有如下特性1、过某一焦点F做弦与曲线交于A、B两点分别过A、B两点做圆锥曲线的切线l1,l2相交于P点.那么,P必在该焦点所对应的准线上.2、过某准线与X轴的焦点Q做弦与曲线交于A、B两点分别过A、B两点做圆锥曲线的切线l1,l2相交于P点.那么,P必在一条垂直于X轴的直线上,且该直线过对应的焦点.针对彭色列闭合定理（N=3）开展研究，探讨简明证明方法，以便揭示彭色列闭合定理的本质。

引理1：椭圆内的二个任意三角形，在椭圆内部可构成了一个六边形，则六边形的三条对角线必定交于一点。

证明：彭色列闭合定理（N=3）的证明思路，可化为如下问题，如图3，已知外面的大椭圆和内部的小椭圆，已知存在一个三角形是内接外切大小二个椭圆，已知第二个三角形内接于大椭圆且两条边外切小椭圆，求证：第二个三角形的第三条边也必定和小椭圆相切。

1）由引理1可知，图3中的六边形对角线必定交于一点。

2）由引理2（布列安桑定理）可知，必定存在唯一椭圆与六边形相切。

3）由已知条件可知，内部椭圆已经和五条已知边相切了。

4）与五条已知边相切的椭圆是唯一的，五点定椭圆5）上述二个椭圆是同一个椭圆，因此，第二个三角形的虚线边必定和小椭圆相切，彭色列闭合定理（N=3）证明完毕。

引理1的运用：我们知道五点可以确定唯一的椭圆曲线，但是我们常常遇到需要判别六个坐标点是不是在一条椭圆曲线之上的问题？运用引理1判别就非常方便。

如图4，将六个点分成二组，跳开连接，可以构成二个三角形，内部可形成一个六边形。

如果六边形的三条对角线交于一点，则表明六点可以共享一个椭圆曲线；如果六边形的三条对角线不能交于一点，则表明六点可以共享一个椭圆曲线。

圆锥曲线中的阿基米德三角形(高阶拓展)考情探究命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-12分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线阿基米德三角形的定义2.理解、掌握圆锥曲线的阿基米德三角形问题及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习考点梳理知识讲解1.椭圆中的阿基米德三角形设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的弦为AB ,过A ，B 两点做椭圆切线，交于Q 点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:性质1:弦AB 绕着定点P m ,0 转动时, 则其所对顶点Q 落在直线x =a 2m 上.其中, 当P 点为左(右)焦点时, Q 点位于左(右)准线上.性质2:直线AQ ,PQ ,BQ 的斜率成等差数列, 即k PQ =k AQ +k BQ .性质3:当P 点为焦点时, PQ ⊥AB .2.双曲线中的阿基米德三角形设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a ,b >0 的弦为AB ,过A ，B 两点做双曲线切线，交于Q 点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:性质1:弦AB绕者定点P m,0转动时, 则其所对顶点Q落在直线x=a2m上.其中, 当P点为左(右)焦点时, Q点位于左(右)准线上.性质2:直线AQ,PQ,BQ的斜率成等差数列, 即k PQ=k AQ+k BQ.性质3:当P点为焦点时, PQ⊥AB.3.抛物线中的阿基米德三角形抛物线的弦为AB,过A，B两点做抛物线切线，交于Q点，称△ABQ为阿基米德三角形, 则有:（1）阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴（2）若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C, 则另一顶点Q的轨迹为一条直线（3）若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点(若直线l方程为:ax+by+c=0, 则定点的坐标为C ca ,-bpa.（4）底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为a3 8p.（5）若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点Q的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为p2（6）在阿基米德三角形中, ∠QFA=∠QFB（7）AF⋅BF=QF2.（8）抛物线上任取一点I(不与A,B重合), 过I作抛物线切线交QA,QB于S,T,连接AI,BI, 则△ABI的面积是△QST面积的2倍考点一、阿基米德三角形的认识及简单应用1(2022·全国·高三专题练习)过抛物线y2=2px p>0的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，△PAB又常被称作阿基米德三角形．△PAB的面积S的最小值为()A.p23B.p22C.p2D.2p22(2023·甘肃·高三校考阶段练习)抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②PF⊥AB．若经过抛物线y2=4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为()A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0C.x+2y-1=0D.2x-y-2=03(2023·全国·高三专题练习)阿基米德(Archimedes，公元前287年-公元前212年)，出生于古希腊西西里岛叙拉古(今意大利西西里岛上)，伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形(过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形)，他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23(即右图中阴影部分面积等于△PAB面积的23)．若抛物线方程为y2=2px(p>0)，且直线x=p2与抛物线围成封闭图形的面积为6，则p=()A.1B.2C.32D.34(2023·新疆克拉玛依·克拉玛依市高级中学校考模拟预测)我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形△PAB(P为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；②PA⊥PB；③PF⊥AB．已知直线l:y=k x-1与抛物线y2=4x交于A，B点，若AB=8，则抛物线的“阿基米德三角形”△PAB的面积为()A.82B.42C.22D.25(2022秋·广东茂名·高三统考)阿基米德(公元前287年~公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点A,B处的切线交于点P，则△PAB为“阿基米德三角形”，且当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：(1)P点必在抛物线的准线上；(2)PA⊥PB；(3)PF⊥AB．若经过抛物线y2=8x 的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P在直线x-y+6=0上，则直线AB的方程为()A.x-y-2=0B.x-2y-2=0C.x+y-2=0D.x+2y-2=06(2022·全国·高三专题练习)我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形△PAB (P 为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”，抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB 经过抛物线的焦点F 时，△PAB 具有以下性质：①P 点必在抛物线的准线上；②PA ⊥PB ；③PF ⊥AB .已知直线l ：y =k (x -1)与抛物线C ：y 2=4x 交于A ，B 点，若AB =8，记此时抛物线C 的“阿基米德三角形”为△PAB ，则P 点为()A.-1,±2B.-1,2C.-1,-2D.-1,±17(2022·全国·高三专题练习)阿基米德(公元前287年-公元前212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，称三角形PAB 为“阿基米德三角形”.已知抛物线C ：x 2=8y 的焦点为F ，过A ，B 两点的直线的方程为3x -3y +6=0，关于“阿基米德三角形”△PAB ，下列结论不正确的是()A.AB =323B.PA ⊥PBC.PF ⊥ABD.点P 的坐标为3,-28(2023·全国·高三专题练习)阿基米德(公元前287年~公元前212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，△PAB 为阿基米德三角形.抛物线x 2=2py (p >0)上有两个不同的点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，以A ，B 为切点的抛物线的切线PA ,PB 相交于P .给出如下结论，其中正确的为()(1)若弦AB 过焦点，则△ABP 为直角三角形且∠APB =90°；(2)点P 的坐标是x 1+x 22,x 1x22；(3)△PAB 的边AB 所在的直线方程为x 1+x 2 x -2py -x 1x 2=0；(4)△PAB 的边AB 上的中线与y 轴平行(或重合).A.(2)(3)(4)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.(1)(3)(4)考点二、阿基米德三角形之定点问题9(2023秋·江西上饶·高三统考期末)(多选)若M 1,0 ，N 4,0 ，点Q 满足QN =2QM，记点Q 的轨迹为曲线C ，直线l :x +y -4=0，P 为l 上的动点，过点P 作曲线C 的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则下列说法中正确的是()A.PQ 的最小值为22-2B.直线AB 恒过定点1,1C.PA ⋅PB的最小值为0D.当PO ⋅AB 最小时，直线AB 的方程为x +y -1=010(2023·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线y =x -3上的动点，过点M 作抛物线C :x 2=2y 的两条切线MA ,MB ，切点分别为A ,B ,N 为AB 的中点.(1)证明MN ⊥x 轴；(2)直线AB 是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.11(2021·北京·高三专题练习)抛物线C :x 2=2py (p >0)，Q 为直线y =-p2上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为M ，N .(1)证明：直线MN 过定点；(2)若以G 0,5p2为圆心的圆与直线MN 相切，且切点为线段MN 的中点，求该圆的面积.12(2023·湖南岳阳·高三校考)已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =-12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E 0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．13(2023秋·山东临沂·高三校考期末)已知M -2,0 ,N -1,0 ，动点Q 满足QM QN=2，动点Q 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若点P 是直线y =12x -2上的动点，过点P 作曲线C 的两条切线PC ,PD ，切点为C ,D ，则直线CD 是否过定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.14(2023·辽宁大连·高三校考阶段练习)在平面直角坐标系中，已知两个定点A (0,4),B (0,1)，动点P 满足|PA |=2|PB |，设动点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)若直线l :y =kx -4与曲线E 交于不同的两点C ,D ，且∠OCD =30°(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；(3)若点Q 是直线l :x -y -4=0上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM ,QN ，切点为M ,N ，探究：直线MN 是否过定点.15(2023秋·山西太原·高三校考期末)已知点A 0,-1 ，B 0,1 ，动点P 满足PB AB =PA ⋅BA．记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)设D 为直线y =-2上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F ．证明：直线EF 过定点．16(2023·全国·高三专题练习)设点P 为直线y =x -3上的动点，过点P 作抛物线x 2=2y 的两条切线，切点为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以线段AB 为直径的圆过坐标原点O ，求点P 的坐标和圆的方程.考点三、阿基米德三角形之定值问题17(2023·河南郑州·高三校考期末)如图，已知抛物线C ：y 2=2px (p >0)上的点到焦点的距离的最小值为1，过点P -4,0 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，D 为线段PA 上的动点，过点D 作抛物线的切线，切点为E (异于点A ，B )，且直线DE 交线段PB 于点H ．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明：AD +BH 为定值．18(2023·全国·高三专题练习)已知中心在原点的椭圆Γ1和抛物线Γ2有相同的焦点(1,0)，椭圆Γ1的离心率为12，抛物线Γ2的顶点为原点.(1)求椭圆Γ1和抛物线Γ2的方程；(2)设点P 为抛物线Γ2准线上的任意一点，过点P 作抛物线Γ2的两条切线PA ，PB ，其中A ,B 为切点.设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值.考点四、阿基米德三角形之面积问题19(2023·全国·高三专题练习)已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点到原点的距离等于直线l :x -4y -4=0的斜率.(1)求抛物线C的方程及准线方程；(2)点P是直线l上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，求△PAB面积的最小值.20(2023·全国·高三专题练习)已知点A(0，2)，动点M到点A的距离比动点M到直线y=-1的距离大1，动点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)Q为直线y=-1上的动点，过Q作曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值21(2023·全国·高三专题练习)已知抛物线C的方程为x2=4y，点P是抛物线C的准线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B，点M是AB的中点.(1)求证：切线PA和PB互相垂直；(2)求证：直线PM与y轴平行；(3)求△PAB面积的最小值.考点五、阿基米德三角形之切线垂直22(2023·全国·高三专题练习)抛物级x2=2py(p>0)的焦点F到直线y=-p2的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)设直线y=kx+1交抛物线于A x1,y1，B x2,y2两点，分别过A，B两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P，求证：PF⊥AB .23(2023·全国·高三专题练习)已知抛物线C的方程为x2=4y，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B.(1)若点P坐标为0,-1，求切线PA,PB的方程；(2)若点P是抛物线C的准线上的任意一点，求证：切线PA和PB互相垂直.考点六、阿基米德三角形之角度问题24(2023·全国·高三专题练习)已知F ，F 分别是椭圆C 1:17x 2+16y 2=17的上、下焦点，直线l 1过点F 且垂直于椭圆长轴，动直线l 2垂直l 1于点G ，线段GF 的垂直平分线交l 2于点H ，点H 的轨迹为C 2.(1)求轨迹C 2的方程；(2)若动点P 在直线l :x -y -2=0上运动，且过点P 作轨迹C 2的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试猜想∠PFA 与∠PFB 的大小关系，并证明你的结论的正确性.25(江西·高考真题)设抛物线C :y =x 2的焦点为F ，动点P 在直线l :x -y -2=0上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.(1)求△APB 的重心G 的轨迹方程.(2)证明∠PFA =∠PFB ．考点七、阿基米德三角形之点坐标问题26(2023·全国·高三专题练习)已知动点P 到直线y =-8的距离比到点0,1 的距离大7．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)记动点P 的轨迹为曲线C ，点M 在直线l 1:y =-1上运动，过点M 作曲线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，点N 是平面内一定点，线段MA ，NA ，NB ，MB 的中点依次为E ，F ，G ，H ，若当M 点运动时，四边形EFGH 总为矩形，求定点N 的坐标．27(2023春·广东茂名·高三校考阶段练习)已知平面内动点P x ,y ，P 到定点F 6,0 的距离与P 到定直线l :x =463的距离之比为32，(1)记动点P 的轨迹为曲线C ，求C 的标准方程．(2)已知点M 是圆x 2+y 2=10上任意一点，过点M 作做曲线C 的两条切线，切点分别是A ,B ，求△MAB 面积的最大值，并确定此时点M 的坐标.注：椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上任意一点P x 0,y 0 处的切线方程是：x 0x a 2+y 0y b2=1.28(2023秋·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期末)已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴，点Q m ,2 抛物线上，且Q 到抛物线的准线的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)动点P 在抛物线的准线上，过点P 作拋物线C 的两条切线分别交y 轴于A ,B 两点，当△PAB 面积为2时，求点P的坐标.好题冲关【能力提升】1(2022·陕西·校联考模拟预测)抛物线上任意两点A､B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”.当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB 为直角三角形，且PA⊥PB；③PF⊥AB.若经过抛物线y2=4x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为()A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0C.x+2y-1=0D.2x-y-2=02(2023·全国·高三专题练习)抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线y2=4x，过焦点的弦AB的两个端点的切线相交于点M，则下列说法正确的是()A.M点必在直线x=-2上，且以AB为直径的圆过M点B.M点必在直线x=-1上，但以AB为直径的圆不过M点C.M点必在直线x=-2上，但以AB为直径的圆不过M点D.M点必在直线x=-1上，且以AB为直径的圆过M点3(2022·全国·高三专题练习)圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①点P必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且∠APB为直角；③PF⊥AB，已知P为抛物线y2=x的准线上一点，则阿基米德三角形PAB面积的最小值为()A.12B.14C.2D.14(2023·青海西宁·统考二模)抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线y2=2px(p>0)，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为()A.p22B.p2C.2p2D.4p25(2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模)已知动点P到直线y=-54的距离比到定点0,14的距离大1.(1)求动点P的轨迹C的方程.(2)若M为直线y=x-2上一动点，过点M作曲线C的两条切线MA，MB，切点为A，B，N为AB的中点.①求证：MN⊥x轴；②直线AB是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.6(2022·全国·高三专题练习)在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2px p>0，点M32,y是抛物线C 上的一点，点M 到焦点的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)点P x 0,y 0 为圆E ：x +2 2+y 2=1上的任意一点，过点Р作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，求点О到直线AB 距离的最大值.7(2023·全国·高三专题练习)如图已知P -2,t 是直线x =-2上的动点，过点P 作抛物线y 2=4x 的两条切线，切点分别为A ,B ，与y 轴分别交于C ,D .(1)求证：直线AB 过定点，并求出该定点；(2)设直线AB 与x 轴相交于点Q ，记A ,B 两点到直线PQ 的距离分别为d 1,d 2；求当ABd 1+d 2取最大值时△PCD 的面积.8(2023·全国·高三专题练习)已知点A (-4，4)、B (4，4)，直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为-2，点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)Q 为直线y =-1上的动点，过Q 作曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求△QDE 的面积S 的最小值．9(2023·全国·高三专题练习)已知抛物线C 的方程为x 2=2py p >0 ，点A x ,32是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．(1)求抛物线的方程；(2)点Q 为直线y =-12上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为D ，E ，求△QDE 面积的最小值．10(2022春·安徽滁州·高二校考开学考试)已知抛物线C :y 2=2px p >0 上的任意一点到焦点的距离比到y 轴的距离大12.11(1)求抛物线C 的方程；(2)过抛物线外一点P m ,n 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，若三角形ABP 的重心G 在定直线l :y =32x 上，求三角形ABP 面积的最大值.【真题感知】11(全国·统考高考真题)已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =-12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点：(2)若以E 0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.12(辽宁·高考真题)如图，抛物线C 1:x 2=4y ,C 2:x 2=-2py p >0 .点M x 0,y 0 在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ,B M 为原点O 时，A ,B 重合于O .当x 0=1-2时，切线MA 的斜率为-12.(I )求p 的值；(II )当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程（A，B 重合于O 时，中点为O）。

阿基米德三角形面积最小值探讨
摘要：解析几何中重点考查定值，定点，面积最值等问题。

阿基米德最早利用逼近的思想证明了抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积是阿基米德三角形面积的三分之二，进一步研究阿基米德三角形面积的最小值问题。

关键词：阿基米德三角形；面积
一阿基米德三角形定义[1]
圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形，弦称为阿基米德三角形的底边。

以抛物线为例
二阿基米德三角形最小值探究
若阿基米德三角形顶点在直线（直线与抛物线相
离），则底边过定点，且当定点作为弦中点时，阿基米德三角形面积取得最小值。

当时，即，
即当定点作为弦中点时，阿基米德三角形面积取得最小值 .
参考文献：[1] 朱兆和.抛物线的阿基米德三角形的性质[J];数学通讯；1998年06期.
作者简介：苏章润（1985.12--），男，汉，安徽蚌埠，硕士研究生，蚌埠二中教师，中教一级，研究方向：应用数学。

阿基米德三角形斜率之和是-1。

阿基米德三角形是指圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。

对于任意圆锥曲线均有个特性，过某一焦点F做弦与曲线交于A、B两点，分别过A、B两点做圆锥曲线的切线L1L2相交于P点，那么PAB称作阿基米德三角形，该三
角形满足以下特性：
1.P点必在抛物线的准线上。

2.三角形为直角三角形。

3.切线互相垂直。

4.过某焦点F做弦与曲线交于A、B两点，分别过A、B两点做圆锥曲线的切线
L1L2相交于P点，那么有PF⊥AB。

5.过某焦点F做弦与曲线交于A、B两点，分别过A、B两点做切线，切点分别为
D、E，连结DE与该焦点F相交，那么该焦点的切线互相垂直，即EF⊥DE。

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阿基米德三角形的性质切线方程：1.过抛物线上一点的切线方程为： 2.过抛物线上一点的切线方程为： 3.过抛物线上一点的切线方程为： 4.过抛物线上一点的切线方程为： 性质1:阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴。

证明：设，，为弦的中点，则过的切线方程为，过的切线方程为，联立方程，,，解得两切线交点 性质2:若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线的定点，则另一顶点的轨迹为一条直线 性质3:。

抛物线以点为中点的弦平行于点的轨迹性质4：若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 性质5：底边为的阿基米德三角形的面积最大值为 性质6：若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小值为性质7：在阿基米德三角形中， 性质8：抛物线上任取一点（不与重合）,过作抛物线切线交，于，则的垂心在准线上 性质9：性质10:的中点在抛物线上，且处的切线与平行性质11:在性质8中，连接，则的面积是面积的2倍1。

如图，设抛物线方程为,为 直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为(Ⅰ）求证：三点的横坐标成等差数列; （Ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点C 满足（为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在,请说明理由.px y 22=),(00y x M )(00x x p y y +=px y 22-=),(00y x M )(00x x p y y +-=py x 22=),(00y x M )(00y y p x x +=py x 22-=),(00y x M )(00y y p x x +-=),(11y x A),(22y x B M AB A )(11x x p y y +=B )(22x x p y y +=1212px y =2222px y =)2,2(2121y y p y y Q +AB C Q C Q l l a p a 83Q 2p QFB QFA ∠=∠I B A ,I QA QB T S ,QST∆2QF BF AF =⋅QM P P AB BI AI ,ABI ∆QST ∆)0(22>=p py x M py 2-=M B A ,M B A,,M )2,2(p -410A B =M C AB D 22(0)x p yp =＞O CO A O B =+O M2.设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为,定点． （1）求证：三点共线． (2）过点作直线的垂线，垂足为，试求的重心所在曲线方程．),(00y x p )10,(<<±≠=m m y m x P 122=-y x PB PA ,B A ,)0,1(m M M B A,,A 0=-y x N AMN ∆G。