北京昌平区20112012高三一模(理科)数学试题

昌平区2011－2012学年度第二学期高三年级第二次统一练习数 学 试 卷（理科） 2012. 4考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U = R ，集合}{42≤-=x x |x A ，}2{<=x |x B ，则B A =A. {0≥x |x } B . {20<≤x |x } C. {42≤<x |x } D. {40≤≤x |x } 2. 在复平面内，与复数i+11对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. “1=a ” 是“002=-=+y a x y x 和直线直线垂直”的A. 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 已知直线l ：为参数）t t y tx (1⎩⎨⎧+==，圆C ：2cos ρθ=，则圆心C 到直线l 的距离是 A. 2 B.3 C.2 D. 15.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有 A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3 个左视图6. 某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有 A. 60种 B. 120种 C. 144种 D. 300种7．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D A 的中点，Q 为11B A 上 任意一点，F E 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是 A. 点P 到平面QEF 的距离B . 直线PQ 与平面PEF 所成的角 C. 三棱锥QEF P -的体积 D.二面角Q EF P --的大小8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是A ．20122012S =，20127a a <B ．20122012S =，20127a a >C ．20122012S =-，20127a a <D ．20122012S =-，20127a a >第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在∆ABC 中，4,2,2π===A b a 那么角C =_________.10.已知双曲线的方程为1422=-y x ，则其渐近线的方程为____________,若抛物线px y 22=的焦点与双曲线的右焦点重合，则_______p =.C 1A 1C11. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值,若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 ___________个.12. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点D ，CA 切⊙O 于点A ，CD 交AB 的延长线于点E .若3AC =，2ED =，则BE =________;AO =________.13. 若变量 x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤400x y y x 表示平面区域M ，则当-42≤≤a 时，动直线a y x =+所经过的平面区域M 的面积为_____________.14. 若对于定义在R 上的函数f (x ) ,其图象是连续不断的，且存在常数λ(∈λR )使得 f (x +λ) +λf (x ) = 0对任意实数x 都成立，则称f (x ) 是一个“λ—伴随函数”. 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①f (x ) =0 是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”；②f (x ) = x 不是“λ—伴随函数”；③f (x ) = x 2是一个“λ—伴随函数”； ④“21—伴随函数”至少有一个零点. 其中不正确．．．的序号是________________（填上所有不．正确．．的结论序号）．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知向量a (cos ,sin ),θθ= b = (13-,), 22π≤θ≤π-. （Ⅰ）当b a ⊥时，求θ的值; （Ⅱ）求||b a +的取值范围.EA某游乐场将要举行狙击移动靶比赛. 比赛规则是：每位选手可以选择在A 区射击3 次或选择在B 区射击2次，在A 区每射中一次得3分，射不中得0分; 在B 区每射中一次得2分，射不中得0分. 已知参赛选手甲在A 区和B 区每次射中移动靶的概率分别是41和)10(<<p p .(Ⅰ) 若选手甲在A 区射击，求选手甲至少得3分的概率；(Ⅱ) 我们把在A 、B 两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B 区射击，求p 的取值范围.17.（本小题满分14分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中, 122AA AB ==,E 为AD 中点,F 为1CC 中点.（Ⅰ）求证:1AD D F ⊥； （Ⅱ）求证://CE 平面1AD F ；(Ⅲ) 求平面1AD F 与底面ABCD 所成二面角的余弦值.18．（本小题满分13分） 已知函数∈+--=a x a xax x f ,ln )1()(R . （Ⅰ）当1>a 时，求)(x f 的单调区间;（Ⅱ）若)(x f 在]1[e ,上的最小值为2-，求a 的值.如图，已知椭圆M :)0(12222>>=+b a by a x ,离心率36=e ,椭圆与x 正半轴交于点A ，直线l 过椭圆中心O ，且与椭圆交于B 、C 两点，B (1,1).(Ⅰ) 求椭圆M 的方程；（Ⅱ）如果椭圆上有两点Q P 、,使PBQ ∠的角平分线垂直于AO ，问是否存在实数)0(≠λλ使得AC PQ λ=成立？20. (本小题满分13分)实数列 3210a ,a ,a ,a ，由下述等式定义123,0,1,2,3,.n n n a a n +=-=（Ⅰ）若0a 为常数，求123,,a a a 的值； （Ⅱ）求依赖于0a 和n 的n a 表达式；（Ⅲ）求0a 的值，使得对任何正整数n 总有1n n a a +>成立.昌平区2011－2012学年度第二学期高三年级第二次统一练习数学( 理科)试卷参考答案及评分标准 2012.4一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)9．127π 10. x y 21±= , 52 11. 3 12. 1 ， 2313． 714. ① ③ 注：10,12题第一空2分三、解答题(本大题共6小题，共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） a ⊥b ∴b a ⋅0sin cos 3=-=θθ ……… 2分得3tan =θ 又∵22π≤θ≤π-……… 4分 即：θ=3π………6分 （Ⅱ）||b a +=4)sin cos 3(21||2||22+-+=+⋅+θθb b a a )3sin(45π--=θ ……… 9分22π≤≤π-θ 6365π≤π-≤π-∴θ ……… 11分 21)3s i n (1≤π-≤-∴θ 4)3sin(42≤π--≤-∴θ∴33≤+≤||b a ……… 13分16．（本小题满分13分)解：（Ⅰ）设“选手甲在A 区射击得0分”为事件M ,“选手甲在A 区射击至少得3分”为事件N ,则事件M 与事件N 为对立事件, 6427)411(41)(3003=-⋅⋅=)(C M P ………2分6437642711=-=-=)M (P )N (P ………4分 (Ⅱ) 设选手甲在A 区射击的得分为ξ,则ξ的可能取值为0，3，6,9.6427)41-(10)(3===ξP ;6427)411(41C 3)(213=-⋅⋅==ξP ; 649)411()41(6)(223=-==ξC P ; 641)41(9)(3===ξP 所以ξ的分布列为49641964966427364270=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E 设选手甲在B 区射击的得分为η，则η的可能取值为0，2，4.2)-(10)(p P ==η；)1(2)1(C 2)(12p p p p P -=-⋅⋅==η;24)(p P ==η所以η的分布列为p p )p (p )p (E 441221022=⋅+-⋅+-⨯=η∴根据题意， 有 ξηE E > ∴1169494<<∴>p ,p ……… 13分 17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中四边形ABCD 是正方形, AD CD ∴⊥1DD ABCD AD ABCD ⊥⊂平面，平面1AD DD ∴⊥ 1DD CD D = 11AD CDD C ∴⊥平面111D F CDD C ⊂平面 1A D D F∴⊥ ……… 4分 （Ⅱ）证明：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,连结1A D ,交1AD 于点M ,连结,ME MF .M ∴为1AD 中点.E 为AD 中点，F 为1CC 中点. 111//2ME DD ME DD ∴=且……… 6分 又1121DD CF DD //CF =且 ∴四边形CEMF 是平行四边形. MF //CE ∴ ……… 8分CE ⊄平面1AD F ,MF ⊂平面1AD F .//CE ∴平面1AD F . ………9分(Ⅲ)解：以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图. 则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C D F……… 10分∴平面ABCD 的法向量为1(0,0,2)DD =………11分设平面1AD F 的法向量为(,,)x y z =n .1(1,1,1),(1,0,2)AF AD =-=-，分则有10,0.AF AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 0,20.x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩取1z =，得(2,1,1)=n .1116cos ,DD DD DD ⋅〈〉==n n n . ………13分平面F AD 1与平面所成二面角为锐角.所以平面1AD F 与底面ABCD ……… 14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f (x )的定义域为｛x |0>x ｝……………1分.2222))(1()1(11)(xa x x x x a a x x a x a x f --=+-+=+-+='…………3分 1>a 令0)(>'x f ，即a x x x a x x ><>--或得1,0))(1(2，∴)(x f 的增区间为（0，1），),(+∞a ……………4分 令0)(<'x f ，即a x xa x x <<<--1,0))(1(2得， ∴)(x f 的减区间为),1(a ………………5分（Ⅱ）①当1≤a 时， 0)(≥'x f 在]1[e ,上恒成立，∴)(x f 在]1[e ,恒为增函数. ……… 6分21)1()]([min -=-==∴a f x f ，得.(3舍去）=a ……… 7分②当e a <<1 时，令0)(='x f ，得1或a x =. 当a x <<1时，0)(<'x f ∴)(x f 在),1(a 上为减函数； 当e x a <<时，0)(>'x f ∴)(x f 在),(e a 上为增函数；2)ln()1(1)()]([min -=+--==∴a a a a f x f ，得（舍）……… 10分③当e a >时，0)(≤'x f 在],1[e 上恒成立，此时)(x f 在],1[e 恒为减函数.2)1()()]([min -=+--==∴a eae ef x f ，得 .e a = ………12分 综上可知 .e a = ……… 13分19．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)由题意可知2)(136abe -==,得 223b a = ……… 2分 )11(,B 点 在椭圆上11122=+ba 解得：34422==b ,a ……… 4分 故椭圆M 的方程为：143422=+y x ……… 4分 （Ⅱ）由于PBQ ∠的平分线垂直于OA 即垂直于x 轴，故直线PB 的斜率存在设为k ，则QB 斜率为 - k ，因此PB 、QB 的直线方程分别为y = k (x -1)+1， y = -k (x -1) +1 ……… 6分由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=14341)1(22y x x k y 得01631631222=--+--+k k x )k (k x )k (①由0>∆ ，得31-≠k ……… 8分 点B 在椭圆上，x =1是方程①的一个根，设),(),,(Q Q p p y x Q y x P13163122+--=⋅∴k k k x P 即1316322+--=∴k k k x P ，同理1316322+-+=k k k x Q ………10分∴=PQk 311312213)13(22)(222=+--+-⋅=--+=--k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P)1,1(),0,2(--C A 31=∴AC k 即：AC PQ k k =∴向量//，则总存在实数λ使λ=成立. ………13分20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）0131a a -=,0291a a +-=,03277a a -= ……… 2分（Ⅱ）由123,nn n a a +=-得1112(3)(3)(3)nn n n n n a a +++-=--- ……… 3分 令(3)n n na b =-，所以112(3)nn n n b b ++-=-所以121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-23112342222(3)(3)(3)(3)n nb -=+++++---- 2111222()[()()()]3333n b -=+--+-++-1122()(1())133()231()3n b ----=+--- 1122(1()),153n b -=+-- ……… 6分所以1122(1())(3)3153n n n a a -=+---- ……… 7分 所以1112(3)[(3)32]15n n n n a a --=⋅-+-+⋅ 1102(13)(3)[(3)32]15n n n a --=--+-+⋅101[2(1)3](1)35n n n n n a -=+-⋅+-⋅⋅ ……… 8分（Ⅲ）1111101[2(1)3](1)35n n n n n n n a a a +++++-=+-⋅+-⋅⋅101[2(1)3](1)35n n n n n a --+-⋅--⋅⋅ 0112(1)43()55n n n a =⋅+-⋅⋅- 所以101121()()(1)4()3535n n n n n a a a +-=+-⋅⋅- ……… 10分 如果0105a ->，利用n 无限增大时，2()3n 的值接近于零，对于非常大的奇数n ，有10n n a a +-<；如果0105a -<，对于非常大的偶数n ，10n n a a +-<，不满足题目要求.当015a =时，112,5n n n a a +-=⋅于是对于任何正整数n ，1n n a a +>，因此015a =即为所求. ……… 13分【 以上答案仅供参考，若有其它解法，请酌情给分】。

北京20112012学年度房山区第一学期期末统测高三理科数学试题及答案北京2011-2012学年度房山区第一学期期末统测试题高三数学(理科)考生须知1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间为120分钟．2.第Ⅰ卷选择题所有答案必须填涂在机读卡上，第Ⅱ卷非选择题直接在试卷上作答．3.考试结束后，将机读卡和试卷交回．第I卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.）1. 已知集合{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,M N P M N===则P的子集共有( )A.7个B. 6个C. 5个D. 4个2．已知向量==),2,1()4,(-x，若∥，则=⋅（）A.-10B.-6C.0D.63．已知命题22:bmamp<，命题baq<:，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．极坐标方程θρsin 2=和参数方程⎩⎨⎧--=+=ty tx 132（t 为参数）所表示的图形分别为（ ）A. 圆，圆B. 圆，直线C. 直线，直线D.直线，圆5．已知奇函数)(x f 在区间（－∞，0）内单调递增，且0)2(=-f ，则不等式()0f x ≤的解集为（ ）A[]2,2-B (](]2,02, -∞-C (][)+∞-∞-,22,D [][)+∞-,20,2 6．在数列{}n a 中，若12a =，且对任意的正整数,p q 都有qp qp a a a=+，则8a 的值为（ ）A ．256B ．128C ．64D ．327．已知点),(y x P 的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥0321y x x y x ，那么点P 到直线0943=--y x 的距离的最小值为( )A.514 B.56C.2D.18.已知函数22()1,(,)f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有(1)(1)f x f x -=+成立，若当[11]x ∈-，时，()0f x >恒成立，则b 的取值范围是（ ）A ．10b -<<B ．2b >C ．21b b ><-或D ．1b <-第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题纸上指定位置.） 9. 若复数ii --121的实部为a ，虚部为b ，则ba += .10. 如图，有一圆盘,其中的阴影部分圆心角为45，若向圆内投镖，则投中阴影部分的概率为 . 11．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是 .是1i =50S >开始S =？12．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 3cm .13.圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，则点A 到直线l 的距离AD 为 .ABCDEOl否结束21S S =+21i i =+输出i14．规定记号“⊗”表示一种运算，即),(为正实数b a b a ab b a ++=⊗.若31=⊗k ，则k 的值为 ，此时函数()f x x=的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.） 15．（本小题共13分） 设函数2cos 22sin 3)(2++=x x x f ．（I ）求)(x f 的最小正周期和值域；（II ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若3π=A ，△ABC 的面积为23，求)(A f 及a 的值．16.（本小题共13分）已知直线:l 0834=-+y x （R a ∈）过圆C: 022=-+ax y x 的圆心交圆C 于A 、B 两点,O 为坐标原点.（I ）求圆C 的方程;(II) 求圆C 在点P （1,3）处的切线方程; (III)求OAB ∆的面积.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD 为正方形，PD=DC2=，E，F分别是AB，PB的中点．（Ⅰ）求证：//EF平面PAD；（Ⅱ）求直线EF与CD所成的角；（Ⅲ）求二面角B-的余弦值．ECF-18.（本小题共13分） 已知数列{}n a 的前n项和为n S ，11=a ,且3231=++n n S a (n •∈N ).(I ) 求32,a a 的值,并求数列{}na 的通项公式;(II )若对任意正整数n nS k ≤,恒成立,求实数k 的最大值.19.（本小题共14分）已知函数()2ln pf x px x x =--，R p ∈．（I ）若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ） 若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；（III ）设函数22()()p g x f x x +=+，求函数()g x 的单调区间．20．（本小题共13分）已知函数23()3x f x x+=，数列}{na 对N n n ∈≥,2总有111(),1n n a f a a -==.（I ）求{na }的通项公式；(II) 求和：1122334451(1)n nn n Sa a a a a a a a a a -+=-+-++-；（III ）若数列}{nb 满足：①}{nb 为1{}na 的子数列（即}{n b 中的每一项都是1{}na 的项，且按在1{}na 中的顺序排列）②}{nb 为无穷等比数列，它的各项和为21。

昌平一中高三年级第一学期十二月月考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，并把答案填在题后的表格中．1．已知集合{}M x x a =≤，{20}N x x =-<<，若M N =∅，则a 的取值范围为（ ）． A ．0a > B ．2a -≤ C ．0a ≥ D ．2a <-2．已知命题π:2P x ∃≥，sin 1x >，则p ⌝为（ ）．A ．π2x ∀≥，sin 1x ≤B ．π2x ∀<，sin 1x ≤C ．π2x ∃≥，sin 1x ≤D ．π2x ∃<，sin 1x ≤3．已知直线1:(2)10l ax a y =+++，2:20l ax y -=+，若12l l ∥，则a 的值为（ ）． A ．0 B ．3- C ．0或3- D ．2或1-4．已知α，β表示不重合的两个平面，a ，b 表示不重合的两条直线，则下列命题中正确的是（ ）．A ．若a b ⊥，且b α∥，则a α⊥B ．若a b ⊥且b α⊥，则a α∥C ．若a α⊥，且b α∥，则a b ⊥D ．若a α⊥，且αβ⊥，则a β∥ 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ）．AB ．3 C． D6．若x ，y 满足03030y x y kx y ⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≥，且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为（ ）．A ．32-B ．32C ．23-D ．237．设10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则“(,1]a ∈-∞-”是“12log 2x x a >+”成立的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数(1)a a >的点的轨迹．下列四个论断中一定错误的是（ ）．A ．曲线C 关于坐标原点对称B ．曲线C 与x 轴恰有两个不同交点C ．若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于212aD ．椭圆222211x ya a +=-的面积不小于曲线C 所围成的区域的面积二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式 为n a =____________．10．椭圆22192x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =__________，12F PF ∠的大小为____________．11．直线:3l y kx =+与圆22:(2)(3)4C x y -+-=相交于A ，B两点，若||AB =k =____________．12．已知AOB △为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高．C BAOP（1）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=__________．（2）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅的取值范围为__________．13．已知椭圆2214x y +=，O 为坐标原点．（1）椭圆的短轴长为__________．（2）若M 为椭圆上一点，且在y 轴的右侧，N 为x 轴上一点，90OMN ∠=︒，则点N 的横坐标最小值为__________．14．如图，在四面体ABCD 中，点1B ，1C ，1D 分别在棱AB ，AC ，AD 上，且平面111B C D ∥平面BCD ，1A 为BCD △内一点，记三棱锥1111ABCD -的体积为V ，设1AD x AD=，对于函数()V f x =，则下列结论正确的是__________．DC①当23x =时，函数()f x 取到最大值； ②函数()f x 在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数；③函数()f x 的图像关于直线12x =对称；④不存在0x ，使得01()4A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()sin(π2)f x x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期． （Ⅱ）求函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．（Ⅲ）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，π4CAD ∠=，72AC =，cos ADB ∠=CB AD（Ⅰ）求sin C ∠的值．（Ⅱ）若5BD =，求ABD △的面积．17．如图，PA ⊥面ABC ，AB BC ⊥，22AB PA BC ===，M 为PB 的中点．MDABCP（Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ．（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值．（Ⅲ）在线段PC 上是否存在点D ，使得BD AC ⊥，若存在，求出PDPC的值，若不存在，说明理由．已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++（a 为实数）．（Ⅰ）若2a =-，求函数()y f x =在1x =处的切线方程． （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．（Ⅲ）若存在[1,e]x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，离心率e =且椭圆经过点(0,1)．过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若||AB =l 的方程．（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形M ATB 是菱形，且点T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．20．（本题满分13分）已知有穷数列1:A a ，2a ，3a ，，(2,*)n a n n ∈N ≥，若数列A 中各项都是集合{11}x x -<<的元素，则称该数列为Ω数列．对于Ω数列A ，定义如下操作过程:T 从A 中任取两项i a ，(1,)j a i j n ≤≤，将1i j i ja a a a ++的值添在A 的最后，然后删除i a ，j a ，这样得到一个1n -项的新数列，记作1A （约定：一个数也视作数列）．若1A 还是Ω数列，可继续实施操作过程T ．得到的新数列记作2A ，，如此经过k 次操作后得到的新数列记作k A ．（Ⅰ）设:0A ，12，13，12-，请写出1A 的所有可能的结果．（Ⅱ）求证：对Ω数列A 实施操作过程T 后得到的数列1A 仍是Ω数列．（Ⅲ）设5:7A -，16-，15-，14-，56，12，13，14，15，16，23，求10A 的所有可能的结果，并说明理由．昌平一中高三年级第一学期十二月月考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，并把答案填在题后的表格中．1．已知集合{}M x x a =≤，{20}N x x =-<<，若M N =∅，则a 的取值范围为（ ）． A ．0a > B ．2a -≤ C ．0a ≥ D ．2a <- 【答案】B【解析】∵{}M x x a =≤，{20}N x x =-<<， 由M N =∅，得2a -≤． 故选B ．2．已知命题π:2P x ∃≥，sin 1x >，则p ⌝为（ ）．A ．π2x ∀≥，sin 1x ≤B ．π2x ∀<，sin 1x ≤C ．π2x ∃≥，sin 1x ≤D ．π2x ∃<，sin 1x ≤【答案】A【解析】特称命题的否定是全称命题，所以p ⌝为：π2x ∀≥，sin 1x ≤ ．故选A ．3．已知直线1:(2)10l ax a y =+++，2:20l ax y -=+，若12l l ∥，则a 的值为（ ）． A ．0 B ．3- C ．0或3- D ．2或1- 【答案】C【解析】若12l l ∥，则2aa a -=+，化简得230a a +=，解得0a =或3-． 故选C ．4．已知α，β表示不重合的两个平面，a ，b 表示不重合的两条直线，则下列命题中正确的是（ ）．A ．若a b ⊥，且b α∥，则a α⊥B ．若a b ⊥且b α⊥，则a α∥C ．若a α⊥，且b α∥，则a b ⊥D ．若a α⊥，且αβ⊥，则a β∥ 【答案】C【解析】A 项，若a b ⊥，且b α∥，则a α∥或a 与α相交，故A 选项错误； B 项，若a b ⊥且b α⊥，则a α∥或a α⊂，故B 选项错误；C 项，若b α∥，则存在b α'⊂且b b ''∥，因为a α⊥，所以a b '⊥，所以a b ⊥，故C 选项正确；D 项，若a α⊥，且αβ⊥，则a β∥或a β⊂，故D 选项错误．故选C ．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ）．AB ．3 C． D【答案】D 【解析】CBA DP作出三棱锥P ABC -的直观图如图所示，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，连接PD ．由三视图可知PA ⊥平面ABC ，1AB AD ==，2CD PA ==，∴3BC =，PD，AC，AB BC PD ⊥．∴1322ABC S BC AD =⨯⨯=△，12ABP S AB PA =⨯⨯=△12ACP S AC PA =⨯⨯=△12BCP S BC PD =⨯⨯=△．∴三棱锥P ABC -的四个面中，侧面PBC．故选D ．6．若x ，y 满足03030y x y kx y ⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≥，且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为（ ）．A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】如图，取4z =得直线方程24y x =-+，分别画出3y x =+，0y =以及24y x =-+， 由图可知，当3y kx =+过点(2,0)时，2y x z =-+通过点(2,0)时截距最大，即z 取得最大值，代入得023k =+，解得32k =-．故选A ．7．设10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则“(,1]a ∈-∞-”是“12log 2x x a >+”成立的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】12log 2x x a >+等价于12log 2a x x <-，令12()log 2f x x x=-，则min ()a f x <．∵12()log 2f x x x=-在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴0a ≤． ∴“(,1]a ∈-∞-”是“12log 2x x a >+”成立的充分不必要条件．故选A ．8．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数(1)a a >的点的轨迹．下列四个论断中一定错误的是（ ）．A ．曲线C 关于坐标原点对称B ．曲线C 与x 轴恰有两个不同交点C ．若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于212aD ．椭圆222211x ya a +=-的面积不小于曲线C 所围成的区域的面积【答案】D【解析】设点(,)x y 2a ．A 选项，若(,)x y 在曲线C 上，则(,)x y --也在曲线C 上，即曲线关于坐标原点对称， 故A 选项正确；B 项，令0y =2a ，化简得21x a -=或21x a -=-，因为21x a -=有两个解，21x a -=-无解，所以曲线C 与x 轴恰有两个不同交点，故B 选项正确；C 项，若点P 在曲线C 上，则1221212121||||sin sin 22F PFa S F P F P F PF F PF =⋅∠=∠△． ∵12sin 1F PF ∠≤，∴1222F PF a S ≤△，故C 选项正确；D 项，若点P 在曲线C 上，根据1222PF PF a +>≥可知，曲线C 上点都在椭圆222211x y a a +=-外，故椭圆222211x y a a +=-的面积小于曲线C 所围成的区域的面积． 故D 选项论断错误． 故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式 为n a =____________． 【答案】21n +【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵1a ，4a ，13a 成等比数列，13a =，∴24113a a a =，即2(33)3(312)d d +=+， 解得2d =或0d =（舍去），故{}n a 的通项公式为32(1)n a n =+-，即21n a n =+．10．椭圆22192x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =__________，12F PF ∠的大小为____________． 【答案】2；120︒【解析】由椭圆方程可得：12||||26PF PF a +==，12||2F F c ==∵1||4PF =，∴2||2PF =， 由余弦定理可得22212121212||||||1cos 2||||2PF PF F F F PF PF PF +-∠==-⋅． 故12120F PF ∠=︒．11．直线:3l y kx =+与圆22:(2)(3)4C x y -+-=相交于A ，B两点，若||AB =k =____________．【答案】 【解析】根据题意可得，圆心(2,3)到直线3y kx =+的距离1d =．1=，解得k =．12．已知AOB △为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高． CB AO P（1）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=__________．（2）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅的取值范围为__________．【答案】（1）18-；（2）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】y（1）以O 为原点，OB 为x 轴，OA 为y 轴建立如图直角坐标系，则根据题可知，(0,1)A ，(1,0)B ，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,44AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,44OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴13116168AP OP ⋅=-=-． （2）设OP OC λ=，则11,22OP λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,22P λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，11,122AP λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 其中，01λ≤≤． ∴21111111222222AP OP λλλλλλ⎛⎫⋅=⨯+-=- ⎪⎝⎭，01λ≤≤，当12λ=时，AP OP ⋅的取得最小值18-． 当1λ=时，AP OP ⋅取得最大值0．故AP OP ⋅的取值范围为1[,0]8-．13．已知椭圆2214x y +=，O 为坐标原点． （1）椭圆的短轴长为__________．（2）若M 为椭圆上一点，且在y 轴的右侧，N 为x 轴上一点，90OMN ∠=︒，则点N 的横坐标最小值为__________．【答案】（1）1；（2【解析】（1）由椭圆标准方程可知2a =，1b =，故椭圆的短轴长为2．（2）∵点M 为椭圆上一点，且在y 轴的右侧，设(,)M a b ，则0a >，且OM 的斜率为b k a=， ∴MN 的斜率a k b =-，MN 的直线方程为()a y b x a b-=--， 令0y =解得点N 的横坐标2b x a a=+． ∵2214a b +=，∴2214a b =-，213144a a x a a a -=+=+≥ 当且仅当314a a =，即a 时等号成立， 故点N14．如图，在四面体ABCD 中，点1B ，1C ，1D 分别在棱AB ，AC ，AD 上，且平面111B C D ∥平面BCD ，1A 为BCD △内一点，记三棱锥1111ABCD -的体积为V ，设1AD x AD=，对于函数()V f x =，则下列结论正确的是__________．DC ①当23x =时，函数()f x 取到最大值； ②函数()f x 在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数； ③函数()f x 的图像关于直线12x =对称； ④不存在0x ，使得01()4A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积）． 【答案】①②④【解析】设四面体的底面积为S ，高为h ，则13A BCD V Sh -=． ∵平面111BCD ∥平面BCD ，∴111B C D BCD △∽△． 又∵1AD x AD=，∴1112B C D BCD S x S =△△，∴1112B C D S Sx =△， 设1111A B C D V -的高为h '，则h h x h'-=，得(1)h h x '=-． ∴2232311(1)()()33A BCD V Sx h x Sh x x V x x -=⋅-=-=-，(01)x <<． 2(32)A BCD V x x V -'=-+，令0V '=，得23x =， 当20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '>，()V f x =是增函数． 当2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '<，()V f x =是减函数． 当23x =时，()V f x =取得最大值，4()=27A BCD V f x V -=最大值，【注意有文字】 故不存在0x ，使得01()4A BCD f x V ->． 综上所述，结论正确的是①②④．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()sin(π2)f x x x =+-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期．（Ⅱ）求函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值． （Ⅲ）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间． 【答案】【解析】（1）∵2()sin(π2)f x x x =+-1)sin2x x ++sin 2x x =π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∴函数()f x 的最小正周期为π．（2）∵ππ66x -≤≤， ∴π2π0233x +≤≤， ∴π0sin 213x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤≤，π2sin 223x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 故函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2（3）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴令πππ2332x +≤≤，得π012x ≤≤． 令ππ4π2233x +≤≤，得ππ122x ≤≤． ∴函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间是π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间是ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦．16．（本题满分13分）如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，π4CAD ∠=，72AC =，cos ADB ∠= CAD（Ⅰ）求sin C ∠的值．（Ⅱ）若5BD =，求ABD △的面积．【答案】【解析】（1）∵cos ADB ∠=sin ADB ∠= 又∵π4CAD ∠=，∴π4C ADB ∠=∠-， ∴πππsin sin sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB ⎛⎫∠=∠-=∠-∠⋅ ⎪⎝⎭45=+=． （2）在ACD △中，由sin sin AD AC C ADC=∠得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅===∠．∴11sin 5722ABD S AD BD ADB =⋅⋅⋅∠=⋅=△．17．如图，PA ⊥面ABC ，AB BC ⊥，22AB PA BC ===，M 为PB 的中点．MDA BCP（Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ．（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值．（Ⅲ）在线段PC 上是否存在点D ，使得BD AC ⊥，若存在，求出PD PC的值，若不存在，说明理由． 【答案】【解析】（1）证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥．∵BC AB ⊥，PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB ．又AM ⊂平面PAB ，∴AM BC ⊥．∵PA AB =，M 为PB 的中点，∴AM PB ⊥．又∵PB BC B =，∴AM ⊥平面PBC ．（2）如图，在平面ABC 内作AZ BC ∥，则AP ，AB ，AZ 两两垂直，建立空间直角坐标系A xyz -．则(0,0,0)A ，(2,0,0)P ，(0,2,0)B ，(0,2,1)C ，(1,1,0)M ． (2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM =．设平面APC 的法向量为(,,)n x y z =，则：00n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，则2z =-． ∴(0,1,2)n =-．由（1）可知(1,1,0)AM =为平面PBC 的一个法向量，∴cos ||||5AM n n AM AM n ⋅⋅==∵二面角A PC B --为锐角，∴二面角A PC B --． （3）证明：设(,,)D v w μ是线段PC 上一点，且PD PC λ=，(01)λ≤≤， 即(2,,)(2,2,1)v w μλ-=-，∴22μλ=-，2v λ=，w λ=． ∴(22,22,)BD λλλ=--．由0BD AC ⋅=，得4[0,1]5λ=∈， ∴线段PC 上存在点D ，使得BD AC ⊥，此时45PD PC λ==． 18．（本题满分13分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++（a 为实数）．（Ⅰ）若2a =-，求函数()y f x =在1x =处的切线方程．（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．（Ⅲ）若存在[1,e]x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围．【答案】【解析】（1）当2a =-时，2()2ln f x x x =-，2()2f x x x'=-． ∴(1)0f '=，(1)1f =，∴所求切线方程为1y =．（2）22(2)(2)(1)()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x---'=-==++++． 令()0f x '=，则2a x =或1x =， 当0a ≤时，令()0f x '>，则1x >，令()0f x '<，则01x <<． 当12a =时，即2a =时，()0f x '≥恒成立． 当12a >时，即2a >时，令()0f x '>，则01x <<或2a x >． 令()0f x '<，则12a x <<． 当012a <<即02a <<时，令()0f x '>，则02a x <<或1x >， 令()0f x '<，则12a x <<． 综上，当0a ≤时，()f x 的单调增区间为(1,)∞+，单调减区间为(0,1)；当02a <<时，()f x 的单调增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,)∞+，单调减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当2a =时，()f x 的单调增区间为(0,)∞+； 当2a >时，()f x 的单调增区间为(0,1)和,2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭+，单调减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （3）当2a ≤时，()f x 在[1,e]上单调递增，∴()f x 的最小值为(1)1f a =--，∴(1)1f a =--≤0，∴12a -≤≤．当22e a <<时，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调减，在,e 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴()f x 的最小值为2ln ln 124224a a a a a f a a a ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+． ∵22e a <<， ∴0ln 12a <<，3e 11242a <<++， ∴ln 10224a a a f a ⎛⎫⎛⎫=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴22e a <<．当2e a ≥时，()f x 在[1,e]上单调递减，∴()f x 的最小值为2(e)=e (2)e f a a -++． ∵2e 2e 2e e 1a ->-≥，∴(e)0f <， ∴2e a ≥．综上可得1a -≥．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，离心率e =且椭圆经过点(0,1)．过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若||AB =l 的方程． （Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形M ATB 是菱形，且点T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．【答案】【解析】（1）由题意可得2221b c a a b c =⎧⎪⎪⎨⎪⎪=⎩+，解得a =，1b c ==， ∴椭圆C 的方程为2212x y =+． （2）设直线l 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩+，消去y 得2222(21)4220k x k x k --=++， 2122421k x x k =++，21222221k x x k -=+．∵AB ，， 化简得427250k k --=即22(1)(75)0k k -=+，解得1k =±．故直线l 的方程为1y x =-或1y x =--．（3）由（2）可知(0,1)A -，41,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，假设存在点(,0)M m ，设00(,)T x y ，则 220000001244()033122x y x m y x m y ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩+++，解得(0,1)m =， 故不存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形M ATB 是菱形． 20．（本题满分13分）已知有穷数列1:A a ，2a ，3a ，，(2,*)n a n n ∈N ≥，若数列A 中各项都是集合{11}x x -<<的元素，则称该数列为Ω数列．对于Ω数列A ，定义如下操作过程:T 从A 中任取两项i a ，(1,)j a i j n ≤≤，将1i j i ja a a a ++的值添在A 的最后，然后删除i a ，j a ，这样得到一个1n -项的新数列，记作1A （约定：一个数也视作数列）．若1A 还是Ω数列，可继续实施操作过程T ．得到的新数列记作2A ，，如此经过k 次操作后得到的新数列记作k A ．（Ⅰ）设:0A ，12，13，12-，请写出1A 的所有可能的结果．（Ⅱ）求证：对Ω数列A 实施操作过程T 后得到的数列1A 仍是Ω数列． （Ⅲ）设5:7A -，16-，15-，14-，56，12，13，14，15，16，23，求10A 的所有可能的结果，并说明理由． 【答案】【解析】（1）1A 有如下6种可知结果：11:3A ，12-，12；11:2A ，12-，13； 11:2A ，13，12-；1:0A ，12-，57；1:0A ，13，0；1:0A ，12，15-． （2）证明：∵a ∀，{11}b x x ∈-<<，有：(1)(1)1011a b a b ab ab ----=<+++且(1)(1)(1)011a b a b ab ab--=>+++++， ∴{11}1a b x x ab∈-<<++． 故对Ω数列实施操作T 后得到的数列1A 仍是Ω数列．（3）由题意可知10A 中仅有一项，对于满足a ，{11}b x x ∈-<<的实数a ，b 定义运算：1a b a b ab=++， 下面证明这种运算满足交换律和结合律．∵1a b a b ab =++，且1b a b a ba=++， ∴a b b a =，即该运算满足交换律．∵1()1111b c a b c a b c abc bc a b c a b c bc ab bc caa bc===⋅++++++++++++++， 1()1111a b c a b a b c abc ab a b c c a b ab ab bc ca c ab===⋅++++++++++++++． ∴()()a b c a b c =，即该运算满足结合律，∴10A 中的项与实施的具体操作过程无关． 选择如下操作过程求10A ，由（1）可知115237=， 易知55077-=，11044-=，11055-=，11066-=． 52276328=． 综上可知1027:28A ．。

2013年北京市昌平区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合A={x|x>1}，B={x|x(x−2)<0}，则A∩B等于（）A.{x|x>2}B.{x|0<x<2}C.{x|1<x<2}D.{x|0<<1}2. “a=2”是“直线y=−ax+2与y=a4x−1垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知函数f(x)=ln x，则函数g(x)=f(x)−f′(x)的零点所在的区间是（）A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3, 4)4. 设不等式组{x−2y+2≥0x≤4y≥−2表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到直线y+2＝0的距离大于2的概率是（）A.4 13B.513C.825D.9255. 设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则a2a1等于（）A.1B.2C.3D.46. 在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）A. 24B. 36C.48D.607. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（）A.10+4√3+4√2 B.10+2√3+4√2 C.14+2√3+4√2 D.14+4√3+4√28. 已知函数：①f(x)=−x2+2x，②f(x)=cos(π2−πx2)，③f(x)=|x−1|12．则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（）命题p:f(x)是奇函数；命题q:f(x+1)在(0, 1)上是增函数；命题r:f(12)>12；命题s:f(x)的图象关于直线x=1对称．A.命题p、qB.命题q、sC.命题r、sD.命题p、r二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．若ai1−i=−2+2i，其中i是虚数单位，则实数a的值是________．以双曲线x29−y216=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．在△ABC中，若b=2√2，c=1，tan B=2√2，则a=________．已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为________．在Rt △ABC 中，∠C =90∘，AC =4，BC =2，D 是BC 的中点，那么(AB →−AC →)⋅AD →=________；若E 是AB 的中点，P 是△ABC （包括边界）内任一点．则AD →⋅EP →的取值范围是________．在平面直角坐标系中，定义d(P, Q)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|为两点p(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)之间的“折线距离”．则①到坐标原点O 的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是________； ②坐标原点O 与直线2x −y −2√3=0上任意一点的“折线距离”的最小值是________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知函数f(x)=(2√3sin 2x−sin 2x)⋅cos xsin x+1．（1）求f(x)的定义域及最小正周期；（2）求f(x)在区间[π4, π2]上的最值．在四棱锥E −ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点．（1）求证：DE // 平面ACF ；（2）求证：BD ⊥AE ；（3）若AB =√2CE ，在线段EO 上是否存在点G ，使CG ⊥平面BDE ？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）．下表是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品．（1）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（2）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望E(ξ)；（3）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．已知函数f(x)=−x 3+ax 2−4(a ∈R)．（1）若函数y =f(x)的图象在点P （1, f(1)）处的切线的倾斜角为π4，求f(x)在[−1, 1]上的最小值；（2）若存在x 0∈(0, +∞)，使f(x 0)>0，求a 的取值范围．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为√2，且抛物线y2=4√2x的焦点是椭圆M的一个焦点．2(Ⅰ)求椭圆M的方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O 为坐标原点．求点O到直线l的距离的最小值．已知每项均是正整数的数列a1，a2，a3，…a100，其中等于i的项有k i个(i＝1, 2, 3…)，设b j＝k1+k2+...k j(j ＝1, 2, 3…)，g(m)＝b1+b2+...b m−100m(m＝1, 2, 3…)．(Ⅰ)设数列k1＝40，k2＝30，k3＝20，k4＝10，k5＝…＝k100＝0，求g(1)，g(2)，g(3)，g(4)；(II)若a1，a2，a3，…，a100中最大的项为50，比较g(m)，g(m+1)的大小；(Ⅲ)若a1+a2+...a100＝200，求函数g(m)的最小值．参考答案与试题解析2013年北京市昌平区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】先解一元二次不等式化简集合B，再与集合A求A∩B即可．【解答】解：∵集合B={x|x(x−2)<0}={x|0<x<2}，又A={x|x>1}，∴A∩B={x|1<x<2}，故选C．2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】当a=2时两直线的斜率都存在，故只要看是否满足k1⋅k2=−1即可．利用直线的垂直求出a的值，然后判断充要条件即可．【解答】解：当a=2时直线y=−ax+2的斜率是−2，直线y=a4x−1的斜率是2，满足k1⋅k2=−1∴a=2时直线y=−ax+2与y=a4x−1垂直，直线y=−ax+2与y=a4x−1垂直，则−a⋅14a=−1，解得a=±2，“a=2”是“直线y=−ax+2与y=a4x−1垂直”的充分不必要条件．故选A．3.【答案】B【考点】导数的运算函数零点的判定定理【解析】求出函数f(x)的导函数，把f(x)及其导函数代入函数g(x)中，对函数g(x)求导可知函数g(x)是单调函数，且g(1)<0，g(2)>0，则函数g(x)的零点所在的区间可求．【解答】解：由f(x)=ln x，则f′(x)=1x，则g(x)=f(x)−f′(x)=ln x−1x．函数g(x)的定义域为(0, +∞)，g′(x)=1x+1x2>0在x∈(0, +∞)上恒成立，所以函数g(x)在(0, +∞)上为增函数，而g(1)=ln1−1=−1<0，g(2)=ln2−12=ln2−ln√e>0．所以函数g(x)在区间(1, 2)上有唯一零点．故选B．4.【答案】D【考点】简单线性规划【解析】根据题意，在区域D内随机取一个点P，则P点到直线y+2＝0的距离大于2时，点P位于图中三角形ADE内，如图中的阴影部分．因此算出图中阴影部分面积，再除以大三角形ABC面积，即得本题的概率．【解答】区域D:{x−2y+2≥0x≤4y≥−2表示三角形ABC，（如图）其中O为坐标原点，A(4, 3)，B(−6, −2)，C(4, −2)，D(−2, 0)，E(4, 0)因此在区域D内随机取一个点P，则P点到直线y+2＝0的距离大于2时，点P位于图中三角形ADE内，如图中的阴影部分∵S三角形ADE=12⋅6⋅3＝9，S三角形ABC=12⋅10⋅5＝25，∴所求概率为P=S△ADES△ABC=9255.【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】由S1，S2，S4成等比数列，根据等比数列的性质得到S22=S1S4，然后利用等差数列的前n项和的公式分别表示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为0，即可求出公差与首项的关系并解出公差d，然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差d的关系式代入即可求出比值．【解答】解：由S1，S2，S4成等比数列，∴(2a1+d)2=a1(4a1+6d)．∵d≠0，∴d=2a1．∴a2a1=a1+da1=3a1a1=3．故选C6.【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：先排3位女生，3位女生之间有4个空，从4个空中选2个空排男生，共有A42A33=72种．若女生甲排在第一个，则3位女生之间有3个空，从3个空中选出2个空排男生，有A32A22=12种．故满足条件的出场顺序的排法有72−12=60种．故选D.7.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】根据三视图画出几何体的直观图，再根据面积公式求解．【解答】解：根据几何体的三视图，几何体为四棱锥，直观图如图：底面是上、下底边长分别为2、4，高为2的梯形，S梯形=12(2+4)×2=6；S侧面=12×2×2+12×2×2+12×4×2√2+12×2√6×√2=4+4√2+2√3，S全=10+4√2+2√3．故选B8.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】①中函数是二次函数，由二次函数的对称轴是x=1且开口向下，即能判出函数是非奇非偶函数，由函数在(1, +∞)上的单调性可知向左平移1个单位后的单调性；②中的函数经诱导公式化简后变为sinπ2x，然后逐一对四个命题进行判断；③中的函数直接利用奇偶性定义判断奇偶性，求出f(x+1)可判出f(x+1)为偶函数，从而得到在(0, 1)上是增函数，利用图象平移判出函数f(x)的对称轴．【解答】解：①函数f(x)=−x2+2x图象是开口向下的抛物线，对称轴方程是x=1，所以该函数不是奇函数；函数f(x)在(1, +∞)上为减函数，而函数f(x+1)的图象是把函数f(x)的图象左移1个单位得到的，所以函数f(x+1)在(0, 1)上是减函数；f(12)=−(12)2+2×12=34>12；f(x)的图象关于直线x=1对称．②f(x)=cos(π2−πx2)=sinπ2x，该函数是定义在R上的奇函数；f(x+1)=sinπ2(x+1)=cosπ2x，当x∈(0, 1)时，π2x∈(0,π2)，所以f(x+1)在(0, 1)上是减函数；f(12)=cos(π2−π4)=cosπ4=√22>12；当x=1时，f(1)=sinπ2=1，所以f(x)的图象关于直线x=1对称．③f(x)=|x−1|12，由于f(−x)=|−x−1|12=|x+1|12≠|x−1|12=f(x)，所以f(x)不是奇函数；f(x+1)=|x+1−1|12=|x|12，在(0, 1)上是增函数；f(12)=|12−1|12=(12)12=√22>12；因为f(x+1)=|x|12是偶函数，图象关于x=0对称，所以f(x)的图象关于直线x=1对称．综上，对三个函数都成立的命题是r和s．故选C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】4【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】复数方程两边同乘1−i，利用复数相等的充要条件，求出a的值即可．【解答】解：因为ai1−i=−2+2i，所以ai=(−2+2i)(1−i)=−2+2i+2i+2=4i由复数相等可知a=4．故答案为：4．【答案】x2+y2−10x+9=0【考点】圆锥曲线问题的解决方法【解析】先求出双曲线x 29−y 216=1的右焦点和渐近线，从而得到圆的圆心和半径，由此得到圆的方程． 【解答】 解：双曲线x 29−y 216=1的右焦点为(5, 0)，渐近线方程是4x ±3y =0， ∴ 圆心(5, 0)，半径r =16+9=4，∴ 圆的方程为x 2+y 2−10x +9=0． 故答案为：x 2+y 2−10x +9=0． 【答案】 3【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】利用同角三角函数的基本关系求得cos B =13，再利用余弦定理求得a 的值． 【解答】解：在△ABC 中，若b =2√2，c =1，tan B =2√2，故sin Bcos B =2√2，sin 2B +cos 2B =1， 解得sin B =2√23，cos B =13．由余弦定理可得b 2=8=a 2+c 2−2ac ⋅cos B =a 2+1−2a 3，解得a =3，或a =−73（舍去），故答案为3． 【答案】 4【考点】 程序框图 【解析】第一次执行循环结构：n ←0+2，第二次执行循环结构：n ←2+2，…第四次执行循环结构：n ←6+2，此时应终止循环结构．求出相应的x 、y 即可得出结果． 【解答】解：第一次执行循环结构：n ←0+2，x ←5×1，y ←2−1；∵ n =2<6，∴ 继续执行循环结构． 第二次执行循环结构：n ←2+2，x ←5×5，y ←4−1；继续执行循环结构， 第三次执行循环结构：n ←4+2，x ←25×5，y ←6−3；继续执行循环结构， 第四次执行循环结构：n ←6+2，x ←125×5，y ←8−3；继续执行循环结构， 而n =8>6，∴ 应终止循环结构，并输出log 5(125×5)=4． 故答案为：4． 【答案】 2,[−9, 9] 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】由条件可得 AD →=AB →+AC →2，故(AB →−AC →)⋅AD →=(AB →−AC →)⋅AB →+AC →2=AB →2−AC →22，由此求得(AB →−AC →)⋅AD →的值．以CA 所在的直线为x 轴，以CB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，利用简单的线性规划求得t =AD →⋅EP →的取值范围． 【解答】解：∵ 在Rt △ABC 中，∠C =90∘，AC =4，BC =2，D 是BC 的中点，那么 AD →=AB →+AC →2，AB →2=AC →2+BC →2=16+4=20．∴ (AB →−AC →)⋅AD →=(AB →−AC →)⋅AB →+AC →2=AB →2−AC →22=20−162=2．以CA 所在的直线为x 轴，以CB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A 的坐标为(4, 0)，B 的坐标为(0, 2)，由线段的中点公式可得点D 的坐标为(0, 1)，点E 的坐标为(2, 1)，设点P 的坐标为(x, y)，则由题意可得可行域为△ABC 及其内部区域，故有 {x ≥0y ≥0x 4+y2≤1．令t =AD →⋅EP →=(−4, 1)⋅(x −2, y −1)=7−4x +y ，即 y =4x +t −7． 故当直线y =4x +t −7过点A(4, 0)时，t 取得最小值为7−16+0=−9， 当直线y =4x +t −7过点B(0, 2)时，t 取得最大值为 7−0+2=9， 故t =AD →⋅EP →的取值范围是[−9, 9]， 故答案为 2，[−9, 9]． 【答案】8,√3 【考点】两点间的距离公式 函数的值域及其求法【解析】①根据“折线距离”的定义，可得到坐标原点O 的“折线距离”不超过2的点的集合对应的式子为|x|+|y|≤2，再作出如图所示的正方形，求出其面积即可得到答案；②设Q(m, 2m −2√3)为直线2x −y −2√3=0上任意一点，得到“折线距离”关于m 的函数d(0, Q)=|m|+2|m −√3|，再根据m 的范围讨论函数的单调性，即可求出“折线距离”的最小值． 【解答】解：①根据题意，到坐标原点O 的“折线距离”不超过2的点P(x, y)满足等式d(P, 0)=|x −0|+|y −0|≤2，即|x|+|y|≤2，对应的图形是以原点为中心，各个顶点在坐标轴上且对角线长为4 的正方形及其内部，如图所示 ∴ 所求图形的面积为S =12×42=8；②设直线2x −y −2√3=0上点Q 坐标为(m, 2m −2√3) ∴ 坐标原点O 与点Q 的“折线距离”为d(0, Q)=|m −0|+|2m −2√3−0|=|m|+2|m −√3| 当m ≥√3时，d(0, Q)=3m −2√3，为关于m 的增函数 此时d(0, Q)的最小值为3×√3−2√3=√3；当0<m <√3时，d(0, Q)=2√3−m ，为关于m 的减函数，此时d(0, Q)的最小值大于√3； 当m ≤0时，d(0, Q)=2√3−3m 为关于m 的减函数，此时d(0, Q)的最小值为2√3 综上所述，坐标原点O 与直线2x −y −2√3=0上任意一点的“折线距离”的最小值是√3 故答案为：8，√3三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【答案】 解：（1）由sin x ≠0 得，x ≠kπ (k ∈z)， 故f(x)的定义域为{x|x ≠kπ, k ∈zZ}．… 因为f(x)=(2√3sin 2x−sin 2x)⋅cos xsin x+1=(2√3sin x −2cos x)cos x +1=√3sin 2x −cos 2x =2sin (2x −π6)，… 所以f(x)的最小正周期 T =2π2=π．…（2）由 x ∈[π4, π2]，可得 2x ∈[π2, π]，故2x −π6∈[π3, 5π6]，….. 故当2x −π6=5π6，即x =π2 时f(x)取得最小值为 1，…．当2x −π6=π2，即x =π3 时，函数f(x)取得最大值为 2．…． 【考点】求两角和与差的正弦 求二倍角的正弦 求二倍角的余弦三角函数的周期性及其求法 正弦函数的定义域和值域 【解析】（1）由函数的解析式求得sin x ≠0，由此求得函数的定义域．利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为 2sin (2x −π6)，由此求得它的最小正周期．（2）由 x ∈[π4, π2]，根据正弦函数的定义域和值域，求得函数f(x)的最值． 【解答】 解：（1）由sin x ≠0 得，x ≠kπ (k ∈z)， 故f(x)的定义域为{x|x ≠kπ, k ∈zZ}．… 因为f(x)=(2√3sin 2x−sin 2x)⋅cos xsin x+1=(2√3sin x −2cos x)cos x +1=√3sin 2x −cos 2x =2sin (2x −π6)，…所以f(x)的最小正周期 T =2π2=π．…（2）由 x ∈[π4, π2]，可得 2x ∈[π2, π]，故2x −π6∈[π3, 5π6]，….. 故当2x −π6=5π6，即x =π2 时f(x)取得最小值为 1，…．当2x −π6=π2，即x =π3 时，函数f(x)取得最大值为 2．…． 【答案】 解：（1）连接OF ．由ABCD 是正方形可知，点O 为BD 中点． 又F 为BE 的中点， 所以OF // DE ．又OF ⊂面ACF ，DE ⊄面ACF ， 所以DE // 平面ACF …．（2） 证明：由EC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ， ∴ EC ⊥BD ，由ABCD 是正方形可知，AC ⊥BD ，又AC ∩EC =C ，AC 、E ⊂平面ACE ，∴ BD ⊥平面ACE ， 又AE ⊂平面ACE ， ∴ BD ⊥AE …（3）：在线段EO 上存在点G ，使CG ⊥平面BDE ．理由如下： 取EO 中点G ，连接CG ，在四棱锥E −ABCD 中，AB =√2CE ，CO =√22AB =CE ，∴ CG ⊥EO ．由（2）可知，BD ⊥平面ACE ，而BD ⊂平面BDE ，∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，∵CG⊥EO，CG⊂平面ACE，∴CG⊥平面BDE故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．由G为EO中点，得EGEO =12．…【考点】直线与平面垂直的性质直线与平面平行的判定直线与平面垂直的判定【解析】（1）利用线面平行的判定定理证明DE // 平面ACF；（2）利用线面垂直的判定定理先证明BD⊥平面ACE，然后利用线面垂直的性质证明BD⊥AE；（3）利用线面垂直的性质，先假设CG⊥平面BDE，然后利用线面垂直的性质，确定G的位置即可．【解答】解：（1）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．又F为BE的中点，所以OF // DE．又OF⊂面ACF，DE⊄面ACF，所以DE // 平面ACF…．（2）证明：由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴EC⊥BD，由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，AC、E⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE，又AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE…（3）：在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．理由如下：取EO中点G，连接CG，在四棱锥E−ABCD中，AB=√2CE，CO=√22AB=CE，∴CG⊥EO．由（2）可知，BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，∵CG⊥EO，CG⊂平面ACE，∴CG⊥平面BDE 故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．由G为EO中点，得EGEO=12．…【答案】解：（1）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为610=35乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为510=12…..（2）ξ的取值为0，1，2，3．P(ξ=0)=C50C53C103=112，P(ξ=1)=C51C52C103=512，P(ξ=2)=C52C51C103=512，P(ξ=3)=C53C103=112．所以ξ的分布列为故Eξ=0×112+1×512+2×512+3×112=32…（3）抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”P(A)=C 23 (35)2(25)×C 03 (12)0(12)3=27500P(B)=C 33 (35)3×C 13 (12)1(12)2=811000抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为P(A)+P(B)=27200．…【考点】离散型随机变量及其分布列茎叶图相互独立事件离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）算出甲厂抽取的样本中优等品有6件，从而得出优等品率即可．（2）ξ的所有可能取值为0，1，2，3．由古典概型分别求概率，得到ξ的分布列，再求期望即可．（3）抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”，分别计算出它们的概率，再利用概率的加法公式得到抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率即可．【解答】解：（1）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为610=35乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为510=12…..（2）ξ的取值为0，1，2，3．P(ξ=0)=C50C53C103=112，P(ξ=1)=C51C52C103=512，P(ξ=2)=C52C51C103=512，P(ξ=3)=C53C103=112．所以ξ的分布列为故Eξ=0×112+1×512+2×512+3×112=32…（3）抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”P(A)=C 23 (35)2(25)×C 03 (12)0(12)3=27500P(B)=C 33 (35)3×C 13 (12)1(12)2=811000抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为P(A)+P(B)=27200．…【答案】解：（1）∵f′(x)=−3x2+2ax，由已知f′(x)=tan π4=1，即−3+2a=1，∴a=2；…此时，知f(x)=−x3+2x2−4，f′(x)=−3x2+4x=−3x(x−43)，x∈[−1, 1]时，如下表：…．∴x∈[−1, 1]时，f(x)最小值为f(0)=−4，…（2）∵f′(x)=−3x(x−2a3)，①若a≤0，当x>0时，f′(x)<0，从而f(x)在(0, +∞)上是减函数，又f(0)=−4，则当x>0时，f(x)<−4．∴当a≤0时，不存在x0>0使f(x0)>0；②若a>0时，当0<x<2a3时，f′(x)>0．当x>2a3时，f′(x)<0，∴f(x)在(0, 2a3]上单增，在[2a3, +∞)单减；∴x∈(0, +∞)时，f(x)max=f( 2a3)=4a327−4，由已知，必须4a327−4>0∴a3>27，a>3…综上，a的取值范围是(3, +∞)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数求函数的最值【解析】（1）先求出函数f(x)的导函数，然后根据函数f(x)在点（1, f(1)）处的切线的斜率等于1，建立关于a的方程，解出a，再求出f′(x)=0，再讨论满足f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况，得到函数的单调性，进而来确定极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最值．（2）存在x0∈(0, +∞)，使f(x0)>0，即f(x)在(0, +∞)上的最大值大于0，故先求导，然后分a>0和a≤0两种情况分别讨论f(x)在(0, +∞)上的最大值情况即可．【解答】解：（1）∵f′(x)=−3x2+2ax，由已知f′(x)=tanπ4=1，即−3+2a=1，∴a=2；…此时，知f(x)=−x3+2x2−4，f′(x)=−3x2+4x=−3x(x−43)，x∈[−1, 1]时，如下表：…．∴x∈[−1, 1]时，f(x)最小值为f(0)=−4，…（2）∵f′(x)=−3x(x−2a3)，①若a≤0，当x>0时，f′(x)<0，从而f(x)在(0, +∞)上是减函数，又f(0)=−4，则当x>0时，f(x)<−4．∴当a≤0时，不存在x0>0使f(x0)>0；②若a>0时，当0<x<2a3时，f′(x)>0．当x>2a3时，f′(x)<0，∴f(x)在(0, 2a3]上单增，在[2a3, +∞)单减；∴x∈(0, +∞)时，f(x)max=f( 2a3)=4a327−4，由已知，必须4a 327−4>0∴a3>27，a>3…综上，a的取值范围是(3, +∞)．【答案】（I）设椭圆方程为x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，由已知抛物线的焦点为(√2, 0)，则c=√2，由e=√22，得a＝2，∴b2＝2，所以椭圆M的方程为x 24+y22=1；(II)当直线l斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，则由{y=kx+mx24+y22=1消去y得，(1+2k2)x2+4kmx+2m2−4＝0，△＝16k2m2−4(1+2k2)(2m2−4)＝8(2+4k2−m2)>0，①设A、B、P点的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)、(x0, y0)，则：x0＝x1+x2=−4km1+2k2，y0＝y1+y2＝k(x1+x2)+2m=2m1+2k2，由于点P在椭圆M上，所以x024+y022=1．从而4k 2m2(1+2k)+2m2(1+2k)=1，化简得2m2＝1+2k2，经检验满足①式．又点O到直线l的距离为：d=√1+k2=√12+k2√1+k2=√1−12(1+k2)≥√1−12=√22，当且仅当k＝0时等号成立，当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为(−2, 0)或(2, 0)，直线l的方程为x＝±1，所以点O到直线l的距离为1．所以点O到直线l的距离最小值为√22．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】(Ⅰ)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，易求椭圆的焦点，从而可得c值，由离心率可得a，由b2＝a2−c2可求得b值；(Ⅱ)分情况进行讨论：当直线l存在斜率时设直线方程为y＝kx+m，与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，有△>0①，设A、B、P点的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)、(x0, y0)，由四边形OAPB为平行四边形及韦达定理可把x0，y0表示为k，m的式子，代入椭圆方程关于k，m的方程，从而利用点到直线的距离公式点O到直线l的距离为k的函数，根据函数结构特点即可求得其最小值；当直线l 不存在斜率时点O到直线l的距离易求，综上即可得到答案．【解答】（I）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由已知抛物线的焦点为(√2, 0)，则c=√2，由e=√22，得a＝2，∴b2＝2，所以椭圆M的方程为x24+y22=1；(II)当直线l斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，则由{y=kx+mx24+y22=1消去y得，(1+2k2)x2+4kmx+2m2−4＝0，△＝16k2m2−4(1+2k2)(2m2−4)＝8(2+4k2−m2)>0，①设A、B、P点的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)、(x0, y0)，则：x0＝x1+x2=−4km1+2k2，y0＝y1+y2＝k(x1+x2)+2m=2m1+2k2，由于点P在椭圆M上，所以x024+y022=1．从而4k2m2(1+2k)+2m2(1+2k)=1，化简得2m2＝1+2k2，经检验满足①式．又点O到直线l的距离为：d=√1+k2=√12+k2√1+k2=√1−12(1+k2)≥√1−12=√22，当且仅当k＝0时等号成立，当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为(−2, 0)或(2, 0)，直线l的方程为x＝±1，所以点O到直线l的距离为1．所以点O到直线l的距离最小值为√22．【答案】（I）∵数列k1＝40，k2＝30，k3＝20，k4＝10，∴b1＝40，b2＝70，b3＝90，b4＝100，∴g(1)＝−60，g(2)＝−90，g(3)＝−100，g(4)＝−100；(II)∵g(m+1)−g(m)＝b m+1−100，根据b j的含义，知b m+1≤100，∴g(m+1)−g(m)≤0，即g(m)≥g(m+1)，当且仅当b m+1＝100时取等号；又∵a1，a2，a3，…，a100中最大的项为50，∴当m≥50时，b m＝100，∴g(1)>g(2)>...>g(49)＝g(50)＝g(51)＝…，即当1<m<49时，g(m)>g(m+1)，当m≥49时，有g(m)＝g(m+1)；(III)设M为{a1, a2, ...a100}中的最大值，由(II)知，g(m)的最小值为g(M)；则g(M)＝b1+b2+b3+...+b M−100M＝(b1−100)+(b2−100)+(b3−100)+...+(b M−1−100)＝(−k2−k3−...−k M)+(−k3−k4−...−k M)+(−k4−k5...−k M)+...+(−k M)＝−[k2+2k3+...+(M−1)k M]＝−(k1+2k2+3k3+...+Mk M)+(k1+k2+...+k M)＝−(a1+a2+a3+...+a100)+b M＝−(a1+a2+a3+...+a100)+100∵a1+a2+a3+...+a100＝200，∴g(M)＝−100，∴g(m)最小值为−100．另由题易知M的最大值为101，∴g(m)的最小值为g(101)＝−100．【考点】数列的函数特性数列的应用【解析】（I）根据k1、k2、k3、k4的值由b j＝k1+k2+...+k j求出b1、b2、b3、b4的值，再由g(m)＝b1+b2+...b m−100m求出g(1)、g(2)、g(3)、g(4)的值；(II)由g(m)＝b1+b2+...b m−100m，g(m+1)＝b1+b2+...b m+b m+1−100(m+1)，作差得出g(m+1)−g(m)＝b m+1−100，比较b m+1与100的大小，即得g(m+1)与g(m)的大小；(III)求出{a1, a2, ...a100}中的最大值M，得g(m)的最小值g(M)，求出g(M)的值即为g(m)最小值．【解答】（I）∵数列k1＝40，k2＝30，k3＝20，k4＝10，∴b1＝40，b2＝70，b3＝90，b4＝100，∴g(1)＝−60，g(2)＝−90，g(3)＝−100，g(4)＝−100；(II)∵g(m+1)−g(m)＝b m+1−100，根据b j的含义，知b m+1≤100，∴g(m+1)−g(m)≤0，即g(m)≥g(m+1)，当且仅当b m+1＝100时取等号；又∵a1，a2，a3，…，a100中最大的项为50，∴当m≥50时，b m＝100，∴g(1)>g(2)>...>g(49)＝g(50)＝g(51)＝…，即当1<m<49时，g(m)>g(m+1)，当m≥49时，有g(m)＝g(m+1)；(III)设M为{a1, a2, ...a100}中的最大值，由(II)知，g(m)的最小值为g(M)；则g(M)＝b1+b2+b3+...+b M−100M＝(b1−100)+(b2−100)+(b3−100)+...+(b M−1−100)＝(−k2−k3−...−k M)+(−k3−k4−...−k M)+(−k4−k5...−k M)+...+(−k M)＝−[k2+2k3+...+(M−1)k M]＝−(k1+2k2+3k3+...+Mk M)+(k1+k2+...+k M)＝−(a1+a2+a3+...+a100)+b M＝−(a1+a2+a3+...+a100)+100∵a1+a2+a3+...+a100＝200，∴g(M)＝−100，∴g(m)最小值为−100．另由题易知M的最大值为101，∴g(m)的最小值为g(101)＝−100．第21页共22页◎第22页共22页。