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数值分析—最佳逼近
━基于ＭＡＴＬＡＢ的实现与分析
§１ 引 言
所谓函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数中寻找一个和给定的函数“最贴近”的函数，从几何（空间）的角度看，函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数（点的集合）中寻找一个与给定的函数（定点）距离最短的函数（点）。
由于在函数空间中可以定义不同的距离，不同意义下的距离度量定义了不同的逼近准则。
令P 表示指定的一类简单的函数集合 １、函数最佳一致逼近： 基于的距离度量如下
()[]
()()d f P f x P x x a b ，，=-∈max （１）
逼近准则：
()[]
()()x P x f P f d b a x P P -=∈P ∈P
∈，max min ,min （２）
２、函数最均方逼近：
基于的距离度量如下
()()()[][]
d f P f x P x dx a
b
，=
-⎰2
12
（３）
逼近准则
()=P
∈P f d P ,min min
P ∈P
()()[][]f x P x dx a
b
-⎰2
12
（４）
如果给定的是函数在若干点处的函数值：()()x f x i i ，，i =0，1，， n ，那么还有称为：
３、最小二乘逼近： 基于的距离度量如下
()()()[]
d f P f x P x i i i n ，=-⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥=∑01
2
（５）
逼近准则
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()=P ∈P f d P ,min min P ∈P ()()[]f x P x i i i n
-⎡⎣⎢
⎤
⎦
⎥=∑01
2
（６）
４、插值逼近，其逼近准则为：
()()i i x f x P =， ()n i x P ，，，， 10=P ∈ （７）
对于函数最佳逼近问题而言，用于逼近的简单的函数集合一般选取次数不
超过n 次的多项式函数全体
()()()(){}
P n k k x P x P x k n ==≤deg （８）
即用多项式函数逼近给定的函数，其原因在于只需对自变量做加法、减法和乘法运算就能得到函数值是多项式函数显著的特点之一，因此，从计算的角度来说多项式函数是最简单的。
§２ 函数最均方逼近
函数最佳均方逼近准则
min P ∈P
()()[][
]
f x P x dx
a b
-⎰2
1
2
（９）
与下面的准则等价
min P ∈P ()()[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎰b a dx x P x f 2 （１０）
为了讨论问题时方便，在下面的讨论中我们采用准则（１０）。
一般人们习惯于把一个n 次多项式写成n x x ,,,1 的线性组合，即
()n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110 （１１）
的形式，但是，这种表现形式在有些场合并不好，为说明这一点，我们先采用式（１１）。当我们选取n 次多项式做最佳均方逼近时，积分
()()[]⎰-b a n dx x P x f 2
（１２） 的结果依赖于n 次多项式()x P n 系数k a ，n k ,,1,0 =，即
()()()[]⎰-=Φb a
n n dx x P x f a a a 2
10,,, （１３）
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所以最佳平方逼近多项式()x P n *必须满足如下条件：
()⎰∑=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=∂Φ∂-=-b a k n n i i n i k dx x x f x a a 020， n k ,,1,0 = （１４） 即
()⎰∑⎰-=--=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡b a k n i n
i b a k n i n dx x x f a dx x x 0， n k ,,1,0 = （１５）
由式（１５）可知，最佳平方逼近多项式()x P n *的系数*k a ，n k ,,1,0 =，是1+n 阶线性方程组（１５）的解，但是线性方程组（１５）通常是病态方程组，例如，当0=a ，1=b 时，其系数矩阵就是著名的Hilbert （病态）矩阵。 为避免解病态方程组，需要引入
函数内积的概念：对于()()[]b a C x g x f ,,∈∀，()[]b a C x ,0∈<ρ，定义内积如下：
()()()()⎰=b
a dx x g x f x g f ρ, （１６）
由内积诱导的范数（距离）
()()()0,2
1
22
f d dx x f x f
b
a =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎰ρ （１７）
正交的概念：
()()()()()()()()
⎪⎩⎪⎨
⎧≠===⎰x g x f x g x f f dx x g x f x g f b
a
,2
2
ρ （１８）
基于函数的内积与正交的概念，如果我们能找到一组正交多项式()x k ϕ，
n k ,,1,0 =：
()()()()()()
()()
⎪⎩⎪⎨⎧≠===⎰
x x x x dx x x x j i j i i
b
a
j i j
i
ϕϕϕϕϕ
ϕϕρϕϕ0
,22
（１９）
并且将n 次多项式()x P n 表示成这组正交多项式的线性组合：
()()∑==n
i i i n x b x P 0ϕ （２０）
那么采用内积的记号，这时正规方程组（１５）
