练习题
7-1 两个点电荷所带电荷之和为Q ，它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大
解: 这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q ，则另一个点电荷带电q Q -， 两点电荷之间的库仑力为
()2
41r q
q Q F -=
πε
由极值条件0d d =q F
，得
Q q 2
1=
又因为
2
02221
d d r q F πε-=<0
这表明两电荷平分电荷Q 时，它们之间的相互作用力最大。
7-2 两个相同的小球，质量都是m ，带等值同号的电荷q ，各用长为l 的细线挂在同一点，如图7-43所示。设平衡时两线间夹角2θ很小。（1）试证平衡时有下列的近似等式成立：
3
1022⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=mg l q x πε
式中x 为两球平衡时的距离。
(2)如果l = m ，m =10 g ，x = cm ，则每个小球上的电荷量q 是多少
(3)如果每个球以-19s C 1001⋅⨯-.的变化率失去电 图7-43 练习题7-2图 荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率d x /d t 是多少 解：(1)带电小球受力分析如图解所示。小球平衡时，有
F
T =θsin
mg T =θcos
由此二式可得
mg
F =
θtan
因为θ很小，可有()l x 2tan ≈θ，再考虑到
2
024x q F πε=
可解得
3
1
022⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=mg l q x πε
（2）由上式解出
C 10382282
13
0-⨯±=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛±=.l mgx q πε （3） 由于
t
q q x t q q mg l t x d d 32d d 322d d 313
10=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-πευ 带入数据解得
-13s m 10401⋅⨯=-.υ
合力的大小为
2
22
220
1222412cos 2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⋅
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⋅
⋅
===d x x d x e F F F x πεθ
()
2
322
2043241
d x x
e +=
πε
令0d d =x F ，即有
()()0482341825222
232202=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⋅-+d x x d x e πε 由此解得α粒子受力最大的位置为
2
2d x ±
=
7-4 由相距较近的等量异号电荷
组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电
偶极子的集合。因此，电偶极子是一个十分重要的物理模型。图7-45所示的
电荷体系称电四极子，它由两个电偶极子组合而成，其中的q 和l 均为已知，
对图7-44中的P 点(OP 平行于正方形
的一边)，证明当x » l 时
4
043
x pl
E p πε≈
其中，p=ql 称电偶极矩。
解：电四极子可看成两个电偶极子的组合。设左边和右边两个电偶极子在P 点产生的场强分别为E 左和E 右，由教材例题7-3可知
()
()302 4l p E x πε=+
左方向向下 ()
()302
4l p E x πε=
-
右方向向上
其中，p =ql 。
P 点处的合场强为
()
()
()()3
22
333220002
2
232444l
l l l x l p p p E E E x x x πεπεπε+=-=
-
=
-
+
⎡⎤-⎣⎦
左右
由于
x » l
上式可简化为
()4
03 4pl E x
πε=方向向上 证毕。
图
7-5 如图7-46所示，长为l 的细直线OA 带电线密度为λ，求下面两种情况下在线的延长线上距线的端点O 点为b 的P 点的电场强度： (1)λ为常量，且λ>0；(2) λ=kx ，k 为大于零的常量，(0≤x ≤1)。
解：(1)将带电直线分割成无数个长度元d x ，d x 的坐标是x 。它所带的电荷元d q =λd x ，d q 在P 点产生的电场强度的大小为
()
2
d 41d b x x
E +⋅
=
λπε
因为所有电荷元产生的场强方向都相同，所以场强的矢量叠加可用代数方法 相加。于是带电直线在P 点产生的电场强度为 ()⎰
+⋅
=l
b x x
E 0
2
d 41λπε ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=
l b b 1140πελ()
l b b l
+=04πελ 方向沿x 轴的负方向。
(2) 同样取电荷微元d q =λd x =kx d x ()2
d 41d b x x
kx E +⋅
=πε
同理
()⎰
+⋅
=l
b x x
kx E 0
2
d 41πε⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+=
b l l b l b k ln 40πε 方向沿x 轴的负方向。
