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加试模拟训练题（10）1、已知凸四边形ABCD ， ,AB DC 交于点P ， ,AD BC 交于点Q ，O为四边形 ABCD 内一点，且有 BOP DOQ ∠=∠，证明180AOB COD ∠+∠=︒。
2、已知),0(,,∞+∈z y x ，且1=++z y x ，证明：274222≤++x z z y y x 成立的条件.3．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k 号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k 个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？4．求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数．加试模拟训练题（10）1、已知凸四边形ABCD ， ,AB DC 交于点P ， ,AD BC 交于点Q ，O为四边形 ABCD 内一点，且有 BOP DOQ ∠=∠，证明180AOB COD ∠+∠=︒。
证明 设 BOP DOQ α∠=∠=，则()sin sin,sin sin AOD QD AQOQD OD OQD OAαα+∠==∠∠，从而有()sin sin AOD AQ OD OA QDαα+∠=。
类似地，有()sin sin AOB AP OBOA BP αα+∠=，因此有()()sin sin AOD AQ OD BP AOB AP OB QD αα+∠=+∠。
同理，由()sin sin ,sin sin COD BOQ BQ QC OQB OB OQB OCα∠-∠==∠∠，可得()()sin sin ,sin sin COD BOC QC OB PC ODBOQ OC BQ DOP OC PDαα∠-∠-==∠∠，因此有()()sin sin COD QC OB PDBOC PC OD QBαα∠-=∠-。
设 AC 与 PQ 交于点L ，由梅涅劳斯定理，1,1AQ DP CL CQ BP ALQD PC LA QB PA LC==，于是有()()()()sin sin 1sin sin AOD COD AOB BOC αααα+∠∠-=+∠∠-。
第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题(考试时间：90分钟 满分：100分)≥4 ＝2444444441n n ++位位，则( )．(B)A 为7的倍数(D)以上结论都不对 v ，该船在流水(速度为B ，再返回A ，所用时间为T ；A 至B 再返回A ，． T ，t 的大小关系 —A'B'C'D ’长、宽、高分别为3×3＝18块大小不一的小长方( )． 14分钟，打了2 098个字符，112个字符，最后一分钟打了97315个字符 473个字符 630个字符 946个字符5分，不填、多填、少填、0分．本大题满分50分．) ＝ ． 2B C 1x 2(x 2)A x ++-++，其中A ，B ，C 为常数，则A ＝ ，B ＝ ，C ＝ . 3．化简：()222222x yz y xz z xyx x yz x (z x)y zx x (x y)x xyy z +-++++--+++---= .4．若x-y ＝l ，334x y -=，则1313x y -= ．5.已知()265432426321x x x x x x f x ++--++=⎡⎤⎣⎦，其中f(x)是x 的多项式，则f(x)＝ ．6．设自然数N 是完全平方数，N 至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数．则N 的最大值是 ．7．设自然数x>y ，x+y ＝667，x ，y 的最小公倍数为P ，最大公约数为Q ，P ＝120Q ，则x-y 的最大值为 .8．方程4x2-2xy-12x+5y+ll ＝0有 组正整数解.9．一个油罐有进油龙头P 和出油龙头Q ．油罐空时，同时打开P 、Q ，4小时可注满油罐．油罐满时，先打开Q ，12小时后关上；接着打开P ，2小时后关上，此时油罐未满；再打开Q ，5小时后油罐恰好流空．那么P 的流量是，Q 的流量的 倍．10．如图，试把0，3，5，6，7，8，9这7个数填入图中的7个小圈，每个圈填1个数，不同的圈填不同的数．然后在两端填了x 和y 的每条边上标上|x-y|的数值，使得图中的9条边所标的数值刚好是1，2，3，4，5，6，7，8，9．(答案填在本题图中)第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题答案一、1．B ．2．A ． 3．D ．4．D ．以(x+y)(x-z)(y-2)乘原式两边，化简得xyz=O ．5．C ．若x≥2 000，则不等式变为(x 一2000)+x≤9 9 9 9，即2000≤x≤5 9 9 9．5，共有4000个整数适合；若O≤x<2000，则不等式变为(2000一x)+x≤9 9 9 9，2 000≤9 9 9 9，恒成立，又有2000个整数适合；若x<O ，则不等式变为(2000-x)+(-x)≤9 99 9，即-3 99 9．5≤x< O，共有3 99 9个整数适合．合计有9 9 9 9个整数适合题设不等式．6．B．有两组解：x=y=z=1，x=y=z=2，7．A．易见A=44...488...89(n个4，n-1个8)，记为An．则A1=49=72，A2=4489．=672，A3=444889=6672，...，An=66 (6)72(n-1个6),A是完全平方数．但A2不是7的倍数．A3能被1，2 3，2 9，6 6 7等整除，不止3个约数．8．C．设A，B相距S,T/t>1．T>t．9．B．面积和=2×3×ab+2×2×ac+2×3×bc=6ab+4ac+6bc．1 O．_D．小金中间的l 2分钟打了2 09 8一ll 2—9 7=1889个字符．把这1 2分钟分别平均分成6段、4段、3段，每段2分钟、3分钟、4分钟，由1 88 9÷6：3 1 4…5，1 88 9÷4=4 7 2…1，1 889÷3=6 29…2，应用抽屉原理知(A)，(B)，(C)均成立．但1 8 8 9÷2—944…1，因此如果小金每分钟所打字符个数依次是11 2，15 8，1 5 7，1 58，1 5 7，1 58，157,l 5 8，1 5 7，1 5 8，l 5 7，1 5 7，1 5 7，9 7，则她连续6分钟最多打了3×(1 5 8+1 5 7)=94 5个字符，结论(D)不成立．二、1．3(x一2)(y一2)(z—y)．．2．4/9；5/9； -7/3 通分，分子相等，是恒等式3．0． 4．5 2 1． 5．±(x3+2x2-x-1)．6．1 6 8 1．设N=x2，x为自然数，N的末2位数字组成整数y，去掉此2位数字后得到整数M，M=m2，m为自然数，则1≤y≤99，x2=1OOm2+y，y=x2—100m2=(x+1Om)(x-1Om)．令x+10m=a，x-1OOm=b，则b≥l，m≥1，x=1Om+b≥11，a=x+10m≥21，我们要求x的最大值．若m≥4，则x=10m+b≥4 1，a=x+10m≥81，唯有b=1，m=4，x=41，a=81，y=81，M=1 6，N=1681．显然当m≤3时，z≤4 O，故N=1 6 81为所求最大值．1 O．答案如图．(此图旋转或翻折亦符合题意)把标上数值a的边称为“边a’’．则边9两端必为0，9；边8两端必为O，8；边7两端必为0，7．0必与9，8，7相邻．O不能再与其他数相邻．从而边6两端必为9，3；边5两端必为8，3．若O在圆周上，由3与8，9相邻，以及边4的两端必为9，5或7，3，便可填得上图．若O在中央，易见不能有符合要求的图形．第十四届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题 (考试时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)1.化简繁分数：249136857-------=-----（）A.67- B.67 C.43 D.43-2.设2a∶3 = 4b∶5，a，b≠0，则()()2233322223322242424824a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++------÷=-++++-（ ） A.16 B.32 C.8 D.8-3.设a ≠0，b ≠0，2a+9b ≠0，a+2b ≠0，则关于x ，y 的方程组132********xy ax by ba xy ax byb b⎧=-⎪++⎪⎨⎪=++⎪⎩的解是（ ） A.121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ B. 1232x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ C. ()522932b x a b y ⎧=⎪+⎨⎪=-⎩ D. 121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或()522932b x a b y ⎧=⎪+⎨⎪=-⎩4.方程200210013003x x x x +-=-+-的整数解共有（ ）A.1002个B.1001个C.1000个D.2002个5.以[x]于x 的最大整数，称为x 的整数部分，或称为x 的取整，例如[3] = 3, [3.2] =3, [3.7] =3. 设()()()222111101111112149501101111124950S =+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯-⨯-⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⨯⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，则[30S]＝（ ）A.1B.2C.3D.06.设n = 1234567900987654321，则（ ） A.n 是9的倍数 B. n 不是11的倍数 C.n 是完全平方数 D.以上结论都不对7.如图1，延长梯形ABCD 两腰DA 和CB 交于点P ，两对角线AC 和BD 交于点Q ，△PAB 和△QBC 的面积分别是20和6，则△PCD 的面积为（ ） A.50 B.48 C.45 D.408.已知x ＋y =1，3223333337x x x y y y +++-+=，则()()4411x y ++-=（ ）A.337B.17C.97D.19.一个正整数，如果它的数字逆排，所得的数仍然和原数相同，便称之为“回文数”。
2013年福全学区八年级数学竞赛试题(答案)一．选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1.若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4.2. 在△ABC 中，AB =3，AC =4，延长BC 至D ，使CD =BC ，连接AD ，则AD 的长的取值范围为（ ）A ．1＜A D ＜7B ．2＜A D ＜14C ．2.5＜AD ＜5.5 D ．5＜A D ＜113. 若不等式组⎩⎨⎧≤≥-m x x 032无解，则m 的取值范围是 （ ） （A ）23 m （B ）m>23 (C) m ≤23 (D) m ≥23 4. 将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种5. 如图，O 是边长为1的正△ABC 的中心，将△ABC 绕点O 逆时针方向旋转180°，得△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1与△ABC 重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）． A ．33 B ．43 C ．63 D ．83 6. 对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，则=+++201321a a a （ ）A ．28082.B ．28085.C ．28087.D ．28083.8. 已知abc 是一个三位数，且a bc +cab =567，则abc = 。
9. 在平面直角坐标系中，已知P 1的坐标为（1，0），将其绕着原点按逆时针方向旋转30°得到点P 2，延长OP 2到点P 3，使OP 3=2OP 2，再将点P 3绕着原点按逆时针方向旋转30°得到P 4，延长OP 4到点P 5，使OP 5=2OP 4，如此继续下去，则点P2013的坐标是。
2013年浙江省湖州市初二年级数学竞赛试卷（2013年5月12日 上午9：00—11：00）题 号 一 二 三 总分 1－8 9－14 15 16 1718 得 分 评卷人 复查人答题时留意: 1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．可以用计算器一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1．设a 是小于1的正数，a b =，那么b a ,的大小关系为（ ）A ．b a >B ．b a < C,b a = D ．不能确定 2．若13-<<-x , 则化简x +-12所得结果是（ ）A.1－xB. －3＋xC.3－xD.3＋x3．如图，若，＝，，则∠的度数为（ )A ．30°B ．32° C, 36° D ．40° 4．正实数y x ,满意1=xy ，那么44911yx +的最小值为（ ） A,32B.45 C. 1D.25．已知a ，b 为实数，则解可以为-1＜x ＜1的不等式组是（ ）A ．⎩⎨⎧>>11bx ax B. ⎩⎨⎧<>11bx ax C. ⎩⎨⎧><11bx ax D. ⎩⎨⎧<<11bx ax6．过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ） A ．4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条7．如图，在矩形中，已知对角线长为2，且∠1=∠2=∠3=∠4，则四边形的周长为（ ） A. 22 B.4 C.42 D. 68．在△中，已知1312, 5为边的中点，⊥且 与∠的平分线交于点E ，则的长为（ ） A.1360 B.211 C. 6 D.213 得 分 评卷人二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．若有理数)0(,≠y y x 的积、商、差的值相等，即y x yxxy -==，则=x ，=y . 10.多项式x 22-687的最小值为 。
第24届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第二试2013年4月15日 上午8：30至10：30一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，菜40分。
）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。
1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人胶将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前，如图1所示，红丝带重叠部分形成的图形是（ ） （A ）正方形 （B ）矩形 C ）菱形 （D ）梯形2、设a 、b 、C 是不为零的实数，那么||||||a b cx a b c =+-的值有（ ） （A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种3、ABC ∆的边长分别是21a m =-，21b m =+，()20c m m =>，则ABC ∆是（ ）（A ）等边三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）锐角三角形4、古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行； 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（ ）（A ）是2019年， （B ）是2031年， （C ）是2043年， （D ）没有对应的年号5、实数 a 、b 、m 、n 满足a<b, -1<n<m, 若1a mb M m +=+，1a nbN n+=+，则M 与N 的大小关系是（ ）（A ）M>N (B)M=N (C)M<N (D)无法确定的。
6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2所示的图形，若最大的正方形的边长是7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是（ ）（A ）214cm （B ）242cm （C ）249cm （D ）264cm图27cmDCB A7、已知关于x 的不等式组230320a x a x +>⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）23≤a ≤32 (B)43≤a ≤32 (C)43＜a ≤32 (D)43≤a ＜328 、The number of intersection point of the graphs of function||k y x=and function (0)y kx k =≠ is( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)0 or 2.9、某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系近似满足如图3所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（ ） （A ）16小时 （B ）7158小时 （C ）151516小时 （D ）17小时 图3y=m/ty=kt Ot （小时)y(毫克)4321110、某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘；每只船坐10人，那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（ ）（A ）48人 （B ）45人 （C ）44人 （D ）42人 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11、已知a b c ⋅⋅o 为ABC ∆三边的长，则化简|a b c -+|+2()a b c -+的结果是＿＿＿12、自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一间新科学，这就是“纳米技术”，已知1毫米微米，1微米纳米，那么2007纳米的长度用科学记数法表示为＿＿米。
C（第2题图）中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题（本卷满分120分，考试时间120 分钟）一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）A ．41B ．31 C ．21D ．12．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN于N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ） A ．38 B ．39 C ．40 D . 41 3．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则y x的值等于（ ）A ．95 B ．59 C ．52011- D ．2011- 4．已知直角三角形的一直角边长是4为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴 影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图 中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A ．6 B . 7 C ．8 D ．9 5．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形6．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取 出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元 已依次存入数据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3个 连续存储单元已依次存入数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ， e ，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据），则不 同顺序的取法的种数有（ ）A ．5种B ．6种C ．10种D ．12种（1） （2）（第5题图）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7．若04122=---x x ，则满足该方程的所有根之和为 .8．（人教版考生做）如图A中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若AB =4，BE =5，则DE 的长为 ．8．（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FGAF= ． 9．已知012=--a a ，且3222322324-=-++-axa a xa a ，则=x ． 10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件．11．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成o 45，∠A =o 60，CD =4m ，BC =)2264(-m ，则电线杆AB 的长为 m ．12．实数x 与y ，使得y x +，y x -，xy ，yx四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对),(y x 为 ．三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分） 13.（本题满分20分）已知：))(())(())((a x c x c x b x b x a x ++++++++是完全平方式． 求证： c b a ==．14.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M ，N 以每秒１个单位的速度分别从点A ，C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ．（1）点B 的坐标为 ；用含t 的式子表示点P 的坐标为 ；(第11题图)ABCD（第8题图A ）GFECBA（第8题图B ）D（2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值时，S 有最大值？（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的31？若存在，求出点T15.（本题满分20分）对于给定的抛物线b ax x y ++=2，使实数p ，q 适合于)(2q b ap +=. （1）证明：抛物线q px x y ++=2通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.2013年九年级试卷参考答案一、选择题（每小题5分，共30分）1—6 C D B A D C 二、填空题（每小题5分，共30分）： 7. 62-； 8. A ：516；B ：12 ； 9. 4； 10. 12； 11. 26； 12.)1,21(-)1,21(--.三、解答题：（每题20分，共60分）13. 证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a +b +c )x +ab +ac +bc ∵它是完全平方式， ∴△＝0.即4(a +b +c )2－12(ab +ac +bc )=0. ∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca =0,(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得c b a ==.（备用图）(第14题图)14. 解：（1）（6，4）；（2,3t t ）.（其中写对B 点得1分） ··· ………………………………3分 （2）∵S △OMP =12×OM ×23t ，∴S =12×（6 -t ）×23t =213t -+2t ＝21(3)33t --+（0 < t <6）．∴当3t =时，S 有最大值．…………………………………………8分（3）存在．由（2）得：当S 有最大值时，点M 、N 的坐标分别为：M （3，0），N （3，4）， 则直线ON 的函数关系式为：43y x =．设点T 的坐标为（0，b ），则直线MT 的函数关系式为：3b y x b =-+，解方程组433y x b y x b⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得3444b x b b y b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ ∴直线ON 与MT 的交点R 的坐标为34(,)44b bb b++． ∵S △OCN ＝12×4×3＝6，∴S △ORT ＝13S △OCN ＝2． ··················· …………………10分 一、当点T 在点O 、C 之间时，分割出的三角形是△OR 1T 1，二、如图，作R 1D 1⊥y 轴，D 1为垂足，则S △OR 1T 1＝12•RD 1•OT ＝12•34b b+•b ＝2.∴234160b b --=， b.∴b 1b 2舍去）此时点T 1的坐标为（0）. ········ ……………………………………………15分② 当点T 在OC 的延长线上时，分割出的三角形是△R 2NE ，如图，设MT 交CN 于点E ， ∵点E 的纵坐标为4，∴由①得点E 的横坐标为312b b-， 作R 2D 2⊥CN 交CN 于点D 2，则 S △R 2NE ＝12•EN •D 2 =12•312(3)b b --•4(4)4b b -+96(4)b b =+＝2. ∴24480b b +-=，b2=±.∴b 1＝2，b 2＝2-（不合题意，舍去）． ∴此时点T 2的坐标为（0，2）． 综上所述，在y 轴上存在点T 1（0），T 2（0，2）符合条件．…20分 15. 证明：（1）∵)(2q b ap +=（备用图）∴b ap q -=2代入抛物线q px x y ++=2中，得0)2(2=++-+-ax p b x y得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+-0202a x b x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4422ba y a x ， 故抛物线q px x y ++=2通过定点)44,2(2b a a --……………………10分 （2）∵b ap q 22-=，∴)2(2224222b ap p q p q p --=⋅-=-=b ap p 422+-=b a a ap p 42222+-+- =)4()(22b a a p ---∴0)()4()4(222≥-=-+-a p b a q p ∴q p 42-与b a 42-中至少有一个非负.∴02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.…………20分。
“《数学周报》杯”初中数学竞赛试题暨参考答案题 号 一 二 三 总 分1～5 6～10 11 1213 14 得 分 评卷人 复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x-=+=，，则444y x +的值为（ ）．（A ）7 （B ） 1132+ （C ） 7132+ （D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得212444311384x ++⨯⨯+==， 2114311322y -++⨯-+==， 所以444y x +=22233y x++- 2226y x=-+=7． 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12（第3题）【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =.3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）．（A ）52a （B ）1 （C ）32（D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒- 120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==．（第4题）5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列． 首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=， 依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，， 解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则s y x =-66． ①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ②由①，②可得 x s 4=，所以4=xs． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ．【答】163． 解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ，BC 边上的（第8题）（第8题答案）高为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△， 所以a r ah a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=， 所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++ ()a b c a b c +=++，故 879168793DE ⨯+==++（）．10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯，（第9题答案）其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；， 因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直角坐标系xOy 中，一次函数b kx y +=0k ≠（）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++．（1） 用b 表示k ；（2） 求△OAB 面积的最小值．解：（1）令0=x ，得0y b b =>，；令0=y ，得00bx k k=-><，． 所以A ，B 两点的坐标分别为0)(0)b AB b k -（，，，，于是，△OAB 的面积为 )(21kbb S -⋅=．由题意，有3)(21++-=-⋅b kbk b b ， 解得 )3(222+-=b b b k ，2b >．……………… 5分（2）由（1）知21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +-+-+=⋅-==--2101027(2)721022b b b b =-++=--++-- ≥1027+，当且仅当1022b b -=-时，有7+210S =，即当102+=b ，1-=k 时，不等式中的等号成立．所以，△OAB 面积的最小值为1027+． ……………… 15分12．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令2224q p n ∆=-=，其中n 是一个非负整数．则2()()4q n q n p -+=．……………… 5分由于1≤q n -≤q +n ，且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：222q n q n p -=⎧⎨+=⎩，，24q n q n p -=⎧⎨+=⎩，， 4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，， 22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，， 24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩， 消去n ，解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+， ， ， ， ．……………… 10分对于第1，3种情形，2p =，从而q ＝5；对于第2，5种情形，2p =，从而q ＝4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）．又当2p =，q ＝5时，方程为22520x x -+=，它的根为12122x x ==，，它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数． ……………… 15分13．如图，△ABC 的三边长B C aC Ab A ===，，，a b c ，，都是整数，且a b ，的最大公约数为2．点G 和点I 分别为△ABC 的重心和内心，且90GIC ∠=︒．求△ABC 的周长．解：如图，延长GI ，与边BC CA ，分别交于点P Q ，．设重心G 在边BC CA ，上的投影分别为E F ，，△ABC 的内切圆的半径为r ，BC CA ，边上的高的长分别为a b h h ，，易知CP ＝CQ ，由PQC GPC GQC S S S =+△△△，可得 ()123a b r GE GF h h =+=+， 即 222123ABC ABC ABCS S S a b c a b ⎛⎫⨯=⨯+⎪++⎝⎭△△△， 从而可得 6aba b c a b++=+． ……………… 10分因为△ABC 的重心G 和内心I 不重合，所以，△ABC 不是正三角形，且b a ≠，否则，2a b ==，可得2c =，矛盾．不妨假设a b >，由于()2a b =，，设()1111221a a b b a b ===，，，，于是有1111126a b ab a b a b =++为整数，所以有11()12a b +，即()24a b +． 于是只有1410a b ==，时，可得11c =，满足条件． 因此有35a b c ++=．所以，△ABC 的周长为35．……………… 15分（第13题）（第13题答案）14．从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n 的最小值．解：当n ＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除． ……………… 5分 当n ＝5时，设125a a a ，，，是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则125a a a ，，，中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是125a a a ，，，中必定有一个数是5．若125a a a ，，，中含1，则不含9．于是不含4（4＋1＋5＝10），故含6；于是不含3（3＋6＋1＝10），故含7；于是不含2（2＋1＋7＝10），故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾．若125a a a ，，，中含9，则不含1．于是不含6（6＋9＋5＝20），故含4；于是不含7（7＋4＋9＝20），故含3；于是不含8（8＋9＋3＝10），故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾．综上所述，n 的最小值为5．……………… 15分。
