线性代数教案

《线性代数》授课教案代数几何教研室第一章行列式本章说明与要求:行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．。

本章的重点：行列式性质；行列式的计算。

本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。

1 / 2052 / 205§1.1 二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．设有二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211112111b x a x a b x a x a (1)用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22–a 12a 21≠0 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=211222112112112211222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2)这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号2112221122211211a a a a a a a a -=为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成222121212221a b a b b a a b =-，221111211211b a b a a b b a =-，如果记22211211a a a a D =，2221211a b a b D =，2211112b a b a D =则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成3 / 2052221121122212111a a a a a b a b D D x ==，2221121122111122a a a a b a b a D D x ==，(3) 象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x 1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x 2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．例1 用二阶行列式解线性方程组⎩⎨⎧=+=+231422121x x x x 解：这时0214323142≠=⨯-⨯==D ，5243132411-=⨯-⨯==D ，3112221122=⨯-⨯==D ， 因此，方程组的解是2511-==D D x ，2322==D D x ， 对于三元一次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= (5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．4 / 205例2 532134212- 1062012242301325)4(123223)4(211532=-+--+==⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯=令 333231232221131211a a a a a aa a a D = 3332323222131211a a b a a b a a b D =，3333123221131112a b a a b a a b a D =，3323122221112113b a a b a a b a a D =． 当D ≠0时，(4)的解可简单地表示成D D x 11=，D Dx 22=，DD x 33=(6) 它的结构与前面二元一次方程组的解类似．例3解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+-423152302321321321x x x x x x x x x 解：28231523112=---=D ，132345211101=---=D ， 472415131022=--=D ，21431123123=-=D ． 所以，281311==D D x ，284722==D D x ，43282133===D D x ．5 / 205例4 已知010100=-a b b a ，问a ，b 应满足什么条件？(其中a ，b 均为实数)．解：2210100b a a b b a +=-，若要a 2+b 2=0，则a 与b 须同时等于零．因此，当a =0且b =0时给定行列式等于零．为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n 阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．思考题：当a 、b 为何值时，行列式022==b a b a D ．§1.2 排列在n 阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识．定义1由数码1，2，…，n 组成一个有序数组称为一个n 级排列．例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个．数字由小到大的n 级排列1234…n 称为自然序排列．定义2在一个n 级排列i 1i 2…i n 中，如果有较大的数i t 排在较小的数i s 的前面(i s <i t )，则称i t 与i s 构成一个逆序，一个n 级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作N (i 1i 2…i n )．例如，在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N (3412)=4．同样可计算排列52341的逆序数为N (52341)=7．容易看出，自然序排列的逆序数为0．定义3 如果排列i1i2…i n的逆序数N(i1i2…i n)是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列．例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列．自然排列123…n是偶排列．定义4在一个n级排列i1…i s…i t…i n中，如果其中某两个数i s与i t对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n级排列i1…i t…i s…i n，这样的变换称为一个对换，记作(i s，i t)．如在排列3412中，将4与2对换，得到新的排列3214．并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214．反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412．一般地，有以下定理：定理1任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变．证明：首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为：a1a2…a l ijb1b2…b m c1c2…c n将相邻两个数i与j作一次对换，则排列变为a1a2…a l ji b1b2…b m c1c2…c n显然对数a1，a2，…a l，b1，b2，…，b m和c1c2…c n来说，并不改变它们的逆序数．但当i<j时，经过i与j的对换后，排列的逆序数增加1个；当i>j时，经过i与j的对换后，排列的逆序数减少1个．所以对换相邻两数后，排列改变了奇偶性．再讨论一般情况，设排列为a1a2…a l ib1b2…b m jc1c2…c n将i与j作一次对换，则排列变为a1a2…a l jb1b2…b m i c1 c2…c n这就是对换不相邻的两个数的情况．但它可以看成是先将i与b1对换，再与b2对换，…，最后与b m的对换，即i与它后面的数作m次相邻两数的对换变成排列a1a2…a l b1b2…b m ijc1…c n然后将数j与它前面的数i，b m…，b1作m+1次相邻两数的对换而成．而对换不相邻的数i与j(中间有m个数)，相当于作2m+1次相邻两数的对换．由前面的证明知，排列的奇偶性改变了2m+1次，而2m+1为奇数，因此，不相邻的两数i，j经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同．6 / 2057 / 205定理2在所有的n 级排列中(n ≥2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为2!n 个．证明：设在n !个n 级排列中，奇排列共有p 个，偶排列共有q 个．对这p 个奇排列施以同一个对换，如都对换(1，2)，则由定理1知p 个奇排列全部变为偶排列，由于偶排列一共只有q 个，所以p ≤q ；同理将全部的偶排列施以同一对换(1，2)，则q 个偶排列全部变为奇排列，于是又有q ≤p ，所以q =p ，即奇排列与偶排列的个数相等．又由于n 级排列共有n !个，所以q +p =n !，2!n p q ==．定理3任一n 级排列i 1i 2…i n 都可通过一系列对换与n 级自然序排列12…n 互变，且所作对换的次数与这个n 级排列有相同的奇偶性．证明：对排列的级数用数学归纳法证之． 对于2级排列，结论显然成立．假设对n –1级排列，结论成立，现在证明对于n 级排列，结论也成立． 若i n =n ，则根据归纳假设i 1i 2…i n –1是n –1级排列，可经过一系列对换变成12…(n –1)，于是这一系列对换就把i 1i 2…i n 变成12…n ．若i n ≠n ，则先施行i n 与n 的对换，使之变成i 1'i 2'…'i 'n –1n ，这就归结成上面的情形．相仿地，12…n 也可经过一系列对换变成i 1i 2…i n ，因此结论成立．因为12…n 是偶排列，由定理1可知，当i 1i 2…i n 是奇(偶)排列时，必须施行奇(偶)数次对换方能变成偶排列，所以，所施行对换的次数与排列i 1i 2…i n 具有相同的奇偶性．思考题：1．决定i 、j 的值，使 (1)1245i 6j 97为奇排列； (2) 3972i 15j 4为偶排列．2．排列n (n –1)(n –2)…321经过多少次相邻两数对换变成自然顺序排列？§1.3 n 阶行列式本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手．引出n 阶行列式的定义． 已知二阶与三阶行列式分别为8 / 2052112221122211211a a a a a a a a -=312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= 其中元素a ij 的第一个下标i 表示这个元素位于第i 行，称为行标，第二个下标j 表示此元素位于第j 列，称为列标．我们可以从中发现以下规律：(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和；(2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；(3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号．作为二、三阶行列式的推广我们给出n 阶行列式的定义．定义1由排成n 行n 列的n 2个元素a ij (i ，j =1，2，…，n )组成的符号nnn n nna a a a a a a a a 212222111211称为n 阶行列式．它是n !项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n 个元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则取正号；为奇排列，则取负号．于是得nnn n n na a a a a a a a a 212222111211＝∑n j j j 21n n nj j j j j j N a a a 212121)()1(- (1)其中∑nj j j 21表示对所有的n 级排列j 1j 2…j n 求和．9 / 205(1)式称为n 阶行列式按行标自然顺序排列的展开式．)(21)1(n j j j N -n nj j j a a a 2121称为行列式的一般项．当n =2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面§1.1中用对角线法则定义的是一致的．当n =1时，一阶行列为|a 11|= a 11．如当n =4时，4阶行列式44342414434241333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a 表示4！=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元素的乘积恰为4！项．根据n 阶行列式的定义，4阶行列式为44342414434241333231232221131211 a a a a a a a a a a a a a a a a ∑-４４４＝j j j j j j j j j j j N a a a a 213214321321)()1( 例如a 14a 23a 31a 42行标排列为1234，元素取自不同的行；列标排列为4312，元素取自不同的列，因为N (4312)=5，所以该项取负号，即–a 14a 23a 31a 42是上述行列式中的一项．为了熟悉n 阶行列式的定义，我们来看下面几个问题． 例1在5阶行列式中，a 12a 23a 35a 41a 54这一项应取什么符号？解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为23514． 因 N (23514)=4 故这一项应取正号．例2写出4阶行列式中，带负号且包含因子a 11a 23的项． 解：包含因子a 11a 23项的一般形式为４４j j j j N a a a a 34332311)13()1(-按定义，j 3可取2或4，j 4可取4或2，因此包含因子a 11a 23的项只能是a 11a 23a 32a 44或a 11a 23a 34a 42但因N (1324)=1为奇数10 / 205N (1342)=2为偶数所以此项只能是 –a 11a 23a 32a 44．例3计算行列式hgvuf e y x d c b a 0000解 这是一个四阶行列式，按行列式的定义，它应有4!=24项．但只有以下四项adeh ，adfg ，bceh ，bcfg不为零．与这四项相对应得列标的4级排列分别为1234，1243，2134和2143，而N (1234)=0，N (1243)=1，N (2134)=1和N (2143)=2，所以第一项和第四项应取正号，第二项和第三项应取负号，即hgvuf e y x d c b a 0000=adeh –adfg –bceh +bcfg例4 计算上三角形行列式nn nna a a a a a D 2122121100其中a ii ≠０ (i =1， 2，…， n )．解：由n 阶行列式的定义，应有n !项，其一般项为nnj j j a a a 2121但由于D 中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零的项即可．在D 中，第n 行元素除a nn 外，其余均为０．所以j n =n ；在第n –1行中，除a n –1n –1和a n –1n 外，其余元素都是零，因而j n –1只取n –1、n 这两个可能，又由于a nn 、a n –1n 位于同一列，11 / 205而j n =n ．所以只有j n –1=n –1．这样逐步往上推，不难看出，在展开式中只有a 11a 22…a nn 一项不等于零．而这项的列标所组成的排列的逆序数是N (12…n )=0故取正号．因此，由行列式的定义有nnnn a a a a a a D212212110==a 11a 22…a nn 即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积．同理可求得下三角形行列式nnn n a a a a a a021222111=a 11a 22…a nn 特别地，对角形行列式nna a a 00002211=a 11a 22…a nn 上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积．例5 计算行列式0000001121n n n a a a - 解 这个行列式除了a 1n a 2n –1…a n 1这一项外，其余项均为零，现在来看这一项的符号，列标的n 级排列为n (n –1)…21，N (n (n –1)…21)=(n –1)+ (n –2)+…+2+1=2)1(-⋅n n ，所以12 / 205000000001121n n na a a -=11212)1()1(n n n n n a a a --- 同理可计算出0112222111211n n na a a a a a a -=nnnn n nn na a a a a a 112121000--=11212)1()1(n n n n n a a a --- 由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同的行不同的列的n 个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0．在n 阶行列式中，为了决定每一项的正负号，我们把n 个元素的行标排成自然序排列，即n nj j j a a a 2121．事实上，数的乘法是满足交换律的，因而这n 个元素的次序是可以任意写的，一般地，n 阶行列式的项可以写成n n j i j i j i a a a 2211(2)其中i 1i 2…i n ，j 1j 2…j n 是两个n 阶排列，它的符号由下面的定理来决定．定理1 n 阶行列式的一般项可以写成n n n n j i j i j i j j j N i i i N a a a 22112121)()()1(+- (3)其中i 1i 2…i n ，j 1j 2…j n 都是n 级排列．证明：若根据n 阶行列式的定义来决定(2)的符号，就要把这n 个元素重新排一下，使得它们的行标成自然顺序，也就是排成''2'121n nj j j a a a (4)于是它的符号是)'''(21)1(n j jj N -现在来证明(1)与(3)是一致的．我们知道从(2)变到(4)可经过一系列元素的对换来实现．每作一次对换，元素的行标与列标所组成的排列i 1i 2…i n ，j 1j 2…j n 就同时作一次对换，也就是N (i 1i 2…i n )与N (j 1j 2…j n )同时改变奇偶性，因而它的和N (i 1i 2…i n )+N (j 1j 2…j n )的奇偶性不改变．这就是说，对(2)作一次元素的对换不改变(3)的值，因此在一系13 / 205列对换之后有)'''()'''()12()()(21212121)1()1()1(n n n n j j j N j j j N n N j j j N i i i N -=--++＝这就证明了(1)与(3)是一致的．例如，a 21a 32a 14a 43是4阶行列式中一项，它和符号应为(–1)N (2314)+N (1243)= (–1)2+1= –1．如按行标排成自然顺序，就是a 14a 21a 32a 43，因而它的符号是(–1)N (4123)=(–1)3= –1 同样，由数的乘法的交换律，我们也可以把行列式的一般项n nj j j a a a 2121中元素的列标排成自然顺序123…n ，而此时相应的行标的n 级排列为i 1i 2…i n ，则行列式定义又可叙述为∑-n n n i i i n i i i i i i N nnn n nna a a a a a a a a a a a 21212121)(212222111211)1(＝．思考题：1．如果n 阶行列式所有元素变号，问行列式的值如何变化？ 2．由行列式的定义计算f (x )=xx x x x111123111212-中x 4与x 3的系数，并说明理由．§1.4 行列式的性质当行列式的阶数较高时，直接根据定义计算n 阶行列式的值是困难的，本节将介绍行列式的性质，以便用这些性质把复杂的行列式转化为较简单的行列式(如上三角形行列式等)来计算．将行列式D 的行列互换后得到的行列式称为行列式D 的转置行列式，记作D T ，即若14 / 205nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211=， 则nnnn n n Ta a a a a a a a a D 212221212111=．反之，行列式D 也是行列式D T 的转置行列式，即行列式D 与行列式D T 互为转置行列式．性质１ 行列式D 与它的转置行列式D T 的值相等．证：行列式D 中的元素a ij (i ， j =1， 2， …，n )在D T 中位于第j 行第i 列上，也就是说它的行标是j ， 列标是i ，因此，将行列式D T 按列自然序排列展开，得∑-=nn n j j j nj j j j j j N T a a a D 21212121)()1(这正是行列式D 按行自然序排列的展开式．所以D =D T ．这一性质表明，行列式中的行、列的地位是对称的，即对于“行”成立的性质，对“列”也同样成立，反之亦然．性质２ 交换行列式的两行(列)，行列式变号． 证：设行列式)()(21212111211行行s i a a a a a a a a a a a a D nnn n sn s s in i i n= 将第i 行与第s 行(1≤i ＜s ≤n )互换后，得到行列式15 / 205)()(212121112111行行s i a a a a a a a a a a a a D nnn n in i i sn s s n= 显然，乘积n s i nj sj ij j a a a a 11在行列式D 和D 1中，都是取自不同行、不同列的n 个元素的乘积，根据§3 定理１，对于行列式D ，这一项的符号由)()1(1)1(n s i j j j j N n s i N +-决定；而对行列式D 1，这一项的符号由)()1(1)1(n s i j j j j N n i s N +-决定．而排列1…i …s …n 与排列1…s …i …n 的奇偶性相反，所以)()1(1)1(n s i j j j j N n s i N +-= –)()1(1)1(n s i j j j j N n i s N +-即D 1中的每一项都是D 中的对应项的相反数，所以D = –D 1．例１计算行列式53704008000051753603924--=D 解：将第一、二行互换，第三、五行互换，得504008053070392417536)1(2---=D 将第一、五列互换，得16 / 205120!5543215084000753004392067531)1(3-=-=⋅⋅⋅⋅-=---=D 推论 若行列式有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零． 证：将行列式D 中对应元素相同的两行互换，结果仍是D ，但由性质２有D = –D ， 所以D =0．性质３ 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．即nnn n in i i n nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a211111211211111211= 证：由行列式的定义有 左端＝∑-nn i n j j j nj ij j j j j N a ka a 21121)()1(1)( ＝∑-nn i n j j j nj ij j j j j N a a a k211211)()1(＝右端．此性质也可表述为：用数k 乘行列式的某一行(列)的所有元素，等于用数k 乘此行列式．推论：如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零． 证：由性质３和性质２的推论即可得到．性质４ 如果行列式的某一行 (列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即17 / 205nnn n in i i n nn n n in i i n nnn n in in i i i i n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a21211121121211121121221111211+=+++证：左端＝∑+-nn i i n j j j nj ij ij j j j j j N a c b a a 212121)()1(21)(＝∑-nn i n j j j nj ij j j j j j N a b a a 21212121)()1(∑-+nn i n j j j nj ij j j j j j N a c a a 21212121)()1(＝nnn n in i i n nn n n in i i n a a a c c c a a a a a a b b b a a a212111211212111211+＝右端．性质5 把行列式的某一行 (列)的所有元素乘以数k 加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变．即nnn n sn s s in i i n a a a a a a a a a a a a D21212111211=18 / 205nnn n sn in s i s i in i i na a a a ka a ka a ka a a a a a a2122112111211+++ 证：由性质４右端=nn n n in i i in i i n a a a ka ka ka a a a a a a21212111211+nnn n sn s s ini i n a a a a a a a a a a a a21212111211=k ⋅０ +nnn n sn s s ini i n a a a a a a a a a a a a21212111211=左端 作为行列式性质的应用，我们来看下面几个例子．例2计算行列式3111131111311113=Di 行×k 加 到第s 行19 / 205解：这个行列式的特点是各行４个数的和都是６，我们把第２、３、４各列同时加到第１列，把公因子提出，然后把第１行×(–1)加到第２、３、４行上就成为三角形行列式．具体计算如下：4826200002000020111163111131111311111631161316113611163=⨯====D例3 计算行列式112012120112110-----=D解：13211021102011)112121110011112121011110------=----------=D 4)2()2()1(12420021102011)1(220420021102011=-⨯-⨯-⨯-=------=-⨯------=例4试证明：011=++++=cb adb a dcd a c b d c b a D １１证：把２、３列同时加到第４列上去，则得20 / 2050111111)(11=+++=++++++++++++=a dd cc b b ad c b a dc b a adb c b a d c d c b a c b d c b a b a D １１１１例5计算n +1阶行列式xa a a a x a a a a x a a a a x D n n n 321212121= 解：将D 的第２列、第３列、…、第n+1列全加到第１列上，然后从第１列提取公因子∑=+ni iax 1得xa a a x a a a x a a a a x D n n n ni i 32222111111)(∑=+= =nni i a x a a a a a x a a a x a x ------+∑= 2312212111010010001)( =)())()((211n ni ia x ax a x a x ---+∑=例6解方程×(–a 1)×(–a 2)…… ×(–a n )21 / 2050)1(11111)2(111112111111111111=------xn xn x x解法一：=-⨯------)1()1(11111)2(111112111111111111xn x n x x])2][()3[()1)(()2(00)3(000001000000011111x n x n x x xn xn x x------=------所以方程的解为x 1=0， x 2=1， …， x n –2=n –3， x n –1=n –2．解法二：根据性质２的推论，若行列式有两行的元素相同，行列式等于零．而所给行列式的第１行的元素全是１，第２行，第３行，…第n 行的元素只有对角线上的元素不是１，其余均为１．因此令对角线上的某个元素为１，则行列式必等于零．于是得到1–x =1 2–x =1 … (n –2)–x =122 / 205(n –1)–x =1有一成立时原行列式的值为零．所以方程的解为x 1=0， x 2，=1，…， x n –2=n –3， x n –1=n –2．例7 计算n 阶行列式),2,1( 321213132n i a x xa a a a x a a a a x a a a a x D i n nn =≠= 解：将第1行乘以(–1)分别加到第２、３、…、n 行上得nn a x xa a x xa a x x a a a a x D ------= 0000001312132 从第一列提出x –a 1，从第二提出x –a 2，…，从第n 列提出x –a n ，便得到1101010011)())((3322121----------=nn n a x a a x a a x a a x x a x a x a x D 由,1111a x a a x x-+=-并把第２、第３、…、第n 列都加于第1列，有23 / 205100010000101)())((3322121nn n i i in a x a a x a a x a a x a a x a x a x D ----+---=∑=)1)(())((121∑=-+---=ni iin a x a a x a x a x 例8试证明奇数阶反对称行列式000021212112=---=n nnn a a a a a a D证：D 的转置行列式为00021212112nnnn T a a a a a a D ---=从D T 中每一行提出一个公因子(–1)，于是有D a a a a a a D n n nnnnT)1(000)1(21212112-=----=，但由性质1知道D T =D∴D =(–1)n D又由n 为奇数，所以有D = –D ， 即 2D =0， 因此 D =0．思考题：1．证明下列各题：24 / 205222333111)(111c c b b a a c b a c c b b a a ++=． 2．计算下列n 阶行列式：111110000000002211n n a a a a a a ---； §1.5行列式按一行(列)展开本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式的问题，从而得到计算行列式的另一种基本方法——降阶法．为此，先介绍代数余子式的概念．定义 在n 阶行列式中，划去元素a ij 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按原来的位置构成一个n –1阶行列式，称为元素a ij 的余子式，记作Ｍij ．元素a ij 的余子式Ｍij 前面添上符号(–1)i+j 称为元素a ij 的代数余子式，记作A ij ．即A ij ＝(–1)i +j M ij ．例如：在四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =中a 23的余子式是M 23=444241343231141211a a a a a a a a a 而 A 23=(–1)2+3M 23=–444241343231141211a a a a a a a a a 是a 23的代数余子式． 定理１ n 阶行列式D 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+…+a in A in (i =1，2，…，n )或 D =a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a nj A nj (j=1，2，…，n )．25 / 205证明：只需证明按行展开的情形，按列展开的情形同理可证． 1°先证按第一行展开的情形．根据性质４有nnn n n nnnn n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a D2122221112112122221112110000000++++++++++==nnn n nnnnn n n nnn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a212222112122221122122221110+++=按行列式的定义∑-=nn n j j j nj j j j j j N nnn n na a a a a a a a a a21212121)(212222111)1(0111111112)(1121221)1(A a M a a a a nn n j j j nj j j j j N ==-=∑同理12121212122212212212222112)1(00)1(0A a M a a a a a a a a a a a a a a a nnn n nnnn n n =-=-=………nn n n n nn n nnn nnn nnn n n nA a M a a a a a a aa a a a a a a a 1111111122121121222211)1(0)1(00=-=-=----所以 D =a 11A 11+a 12A 12+…+a 1n A 1n ．26 / 2052°再证按第i 行展开的情形将第i 行分别与第i –1行、第i –2行、…、第１行进行交换，把第i 行换到第１行，然后再按１°的情形，即有22121111112111211211)1()1()1()1()1(i i i i i i nnn n nini i i M a M a a a a a a a a a a D +-+----+--=-=inin i i i i in n in i A a A a A a M a +++=--+++- 221111)1()1(定理２n 阶行列式D 中某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即：a i 1A s 1+a i 2A s 2+…+a in A sn =0 (i ≠s )或a 1j A 1t +a 2j A 2t +…+a nj A nt =0 (j ≠t )．证：只证行的情形，列的情形同理可证．考虑辅助行列式)()(212121112111行行s i a a a a a a a a a a a a D nnn n in i i in i i n= 这个行列式的第i 行与第s 列的对应元素相同，它的值应等于零，由定理1将D 1按第s 行展开，有D 1= a i 1A s 1+a i 2A s 2+…+a in A sn =0 (i ≠s )．定理１和定理２可以合并写成 a i 1A s 1+a i 2A s 2+…+a in A sn =⎩⎨⎧≠=)(0)(s i s i D27 / 205或a 1j A 1t +a 2j A 2t +…+a jn A nt =⎩⎨⎧≠=)(0)(t j t j D定理1表明，n 阶行列式可以用n –1阶行列式来表示，因此该定理又称行列式的降阶展开定理．利用它并结合行列式的性质，可以大大简化行列式的计算．计算行列式时，一般利用性质将某一行(列)化简为仅有一个非零元素，再按定理1展开，变为低一阶行列式，如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二阶．这在行列式的计算中是一种常用的方法．例１计算行列式511242170131312-----=D解：D 的第四行已有一个元素是零，利用性质５，有( 1 3323111)1(00013321831311112113214-⨯⨯----=----=-=+D8525534)1(25503401111 11-=--=---=+例２计算n 阶行列式abb a a bab a D 000000000000=28 / 205解：按第一列展开得nn n n n n n b a bb aa bab b a b b ab a a b a a D 1111111)1()1( 000000000)1(00000000)1(+-+-++-+=-+=-+-=例３计算yy x xD -+-+=1111111111111111，其中 xy ≠０．解：根据定理1，把行列式适当地加一行一列，然后利用性质５，有yy x x yy xx D ------=-⨯-+-+=00100010001000111111)1(111111110111101111011111第2列提出因子x ，第3列提出–x ，第4列提出y ，第5列提出–y ，得11 1 1 1010********0010111111101001001010001111111)()(2222⨯⨯⨯⨯=--=--------=y x y y x x y x y y x x y y x x D例４试证加到 各 行29 / 205∏≤<≤-----=ni j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a 111312112232221321)(1111(1) 式中左端叫范德蒙行列式．结论说明，n 阶范德蒙行列式之值等于a 1， a 2，…， a n ，这n 个数的所有可能的差a i –a j (1≤j<i ≤n )的乘积．证明：用数学归纳法1°当n=2时，计算２阶范德蒙行列式的值：122111a a a a -=可见n=2时，结论成立．2°假设对于n –1阶范德蒙行列式结论成立，来看n 阶范德蒙行列式：把第n –1行的(–a 1)倍加到第n 行，再把第n –2行的(–a 1)倍加到第n –1行，如此继续作，最后把第1行的(–a 1)倍加到第2行，得到211231132211212312321221131211312112232221223222132100011111111-----------------------=n nn n n n n n nn n n nn n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aaaaa a a a)()()()()()(1213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n ---------=---30 / 205223223211312111)())((------=n nn n nn a a a a a a a a a a a a后面这个行列式是n –1阶范德蒙行列式，由归纳假设得∏≤<≤----=ni j j i n nn n na a a a a a a a 22232232)(111于是上述n 阶范德蒙行列式等于∏≤<≤----ni j j in a aa a a a a a 211312)()())((∏≤<≤-ni j j ia a１＝)(根据数学归纳法原理，对一切n ≥2，(1)式成立．例５计算n 阶行列式xa x a x a x a a D nn n 0100000100001000011321----=-解：把第一行乘以x 加到第二行，然后把所得到的第二行乘以x 加到第三行，这样继续进行下去，直到第n 行，便得到31 / 205100000010000010000011113221211∑∑=-=----++-+-=ni in i ni i n i n xa x a a x a x a a x a a D =110001)1(11----∑=-+ni in i n xa=∑∑=--=-+-=--ni in i nn ni n in xa xa 121111)1()1()1(=n n n n a x a x a xa ++++---12211例6证明22211211222112112221222112111211222112110000b b b b a a a a b b c c b b c c a a a a ⋅=证 将上面等式左端的行列式按第一行展开，得2221211211112112222122121112221122212221121112112221121100000000b b c b b c a a b b c b b c a a b b c c b b c c a a a a -=2221121121122211222112112112222112112211)(b b b b a a a a b b b b a a b b b b a a -=-=32 / 2052221121122211211b b b b a a a a ⋅=本例题的结论对一般情况也是成立的，即mmm m mk m m m k kkk k k b b b c c c b b b c c c a a a a a a21211121111211211121100000mmm m m kk k k k b b b b b b a a a a a a 21112112111211⋅= 思考题：1．计算下列行列式：432131122210113210-------n n n n n n n ．2．证明下列等式：)1(00010001000111111021210∑=-=ni in na a a a a a a a a ，(a i ≠0)；§1.6 克莱姆法则前面我们已经介绍了n 阶行列式的定义和计算方法，作为行列式的应用，本节33 / 205介绍用行列式解n 元线性方程组的方法——克莱姆法则．它是§１中二、三元线性方程组求解公式的推广．设含有n 个未知量n 个方程的线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* (1)它的系数a ij 构成的行列式nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=称为方程组(1)的系数行列式．定理１ (克莱姆法则)如果线性方程组(1)的系数行列式D ≠０，则方程组(1)有唯一解：, , , ,2211DD x D Dx D D x n n ===(2) 其中D j (j=1，2，…，n ，)是D 中第j 列换成常数项b 1，b 2，…，b n ，其余各列不变而得到的行列式．这个法则包含着两个结论：方程组(1)有解，解唯一．下面分两步来证明． 第一步：在D ≠０的条件下，方程组(1)有解，我们将验证由(2)式给出的数组, , ,21DD D D D D n 确实是方程组(1)的解． 第二步：若方程组有解，必由(2)式给出，从而解是唯一的． 证：首先将 , , ,2211DD x D Dx D D x n n ===代入(1)的第i 个方程有： )(112112211n in i i n in i i D a D a D a DD D a D Da D D a +++=+++= 左端(3)34 / 205把D 1按第１列展开，D 2按第2列展开，…，D n 按第n 列展开，然后代入(3)式有：左端＝)([1112121111n n i i i A b A b A b A b a D+++++ )]()(2211222221212nn n in i n n in n n i i i A b A b A b A b a A b A b A b A b a +++++++++++++＝)([111221111n in i i A a A a A a b D+++ )]()()(2211221122222112nn in n i n i n in in i i i i i n in i i A a A a A a b A a A a A a b A a A a A a b ++++++++++++++ ＝]000[121⋅++⋅++⋅+⋅n i b D b b b D＝i i b D b D=⋅1＝右端 这样证明了, , ,21DD D D D D n 是(1)的解． 其次，证明方程组若有解，其解必由(2)式给出，即解是唯一的． 即 假设x 1=k 1， x 2=k 2，…，x n =k n 是方程组(1)的一个解，证明必有下式DD k D Dk D D k n n ===, ,,2211 因x 1=k 1， x 2=k 2，…，x n =k n 是(1)的解，把它代入(1)有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b k a k a k a b k a k a k a b k a k a k a 22112222212111212111 (1)将系数行列式D 的j 列的代数余子式A 1j ， A 2j ， …， A nj 乘等式两边，得a 11A 1j k 1+…+ a 1j A 1j k j +…+ a 1n A 1j k n =b 1A 1j a 21A 2j k 1+…+ a 2j A 2j k j +…+ a 2n A 2j k n =b 2A 2j35 / 205…………a n 1A nj k 1+…+ a nj A nj k j +…+ a nn A nj k n =b n A nj把这n 个等式相加，并利用行列式按一列展开定理，得j n j D c k D k =⋅++⋅++⋅001即 j j D k D =⋅ 因为 D ≠０，所以DD k j j =．由于在上述证明过程中j 可取遍1，2，…，n ，于是有DD k D Dk D D k n n ===, ,,2211 所以方程组的解是唯一的．例１解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=+-+=+-+24664284333521234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解：因为1721301150001101231261912130011012314616284323521231≠=----=----=------=D所以方程组有唯一解，又,04626284323321211 ,34461228442353123121=-----=-=-----=D D36 / 205852616484333521231 ,17421624432352113143=-----==---=D D ．即得唯一解：51785 ,11717 ,0170 ,217344321======-=-=x x x x ． 注意：用克莱姆法则解线性方程组时，必须满足两个条件：一是方程的个数与未知量的个数相等；二是系数行列式D ≠０．当方程组(1)中的常数项都等于０时，称为齐次线性方程组．即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 称为齐次线性方程组．显然，齐次线性方程组(3)总是有解的，因为x 1=0， x 2=0，…，x n =0必定满足(3)，这组解称为零解，也就是说：齐次线性方程组必有零解．在解x 1=k 1， x 2=k 2，…，x n =k n 不全为零时，称这组解为方程组(3)的非零解． 定理2 如果齐次线性方程组(3)的系数行列式D ≠０，则它只有零解． 证：由于D ≠０，故方程组(3)有唯一解，又因为(3)已有零解，所以(3)只有零解．定理的逆否命题如下：推论 如果齐次线性方程组(3)有非零解，那么它的系数行列式D ＝０． 例2若方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02003213213211x bx x x bx x x x x a 只有零解，则a 、b 应取何值？解：由定理２知，当系数行列式D ≠０时，方程组只有零解，37 / 205)1(1211111a b bb a D -==所以，当a ≠1且b ≠０时，方程组只有零解．例3设f (x )=c 0+c 1x +…+c n x n ，用克莱姆法则证明： 若f (x )有n+1个不同的根，则f (x )是一个零多项式．证明：设a 1，a 2，…，a n ，a n+1是f (x )的n+1个不同的根，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++0012121102222210212110n n n n n nn nn n a c a c a c c a c a c a c c a c a c a c c这是以c 0，c 1，c 2，…，c n 为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为nn n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D 12121222112112113233222212111111111++++++==此行列式是范德蒙行列式，由于a i ≠a j (i ≠j )，所以∏+≤<≤≠-=110)(n i j j ia aD ，根据定理２知，方程组只有唯一零解．即c 0= c 1= c 2=…= c n =0故f (x )是一个零多项式．思考题：当λ为何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=++0 0433221321x x x x x x x λλλ(1) 仅有零解；(2) 有非零解．§1.7 数域线性代数的许多问题在不同的数的范围内讨论会得到不同的结论．例如，一元1．但在整数范围内，方程2x=1是一次方程2x=1 在有理数范围内是有解的：x=2无解的．为了深入讨论线性代数中的某些问题，需要介绍数域的概念．定义如果数集P满足：(1) ０∈P，１∈P．(2) 数集P对于数的四则运算是封闭的，即P中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)仍然在P中，则称数集P是一个数域．用上述定义容易验证，有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域，今后称它们为有理数域Q、实数域R、复数域C．另外还有一些其它的数域，例，形如a+(a，b为任意有理数) 的数构成的数集是一个数域．2b整数集不是数域，数集{2a+| a，b为任意整数}也不是数域．b可以证明：最小的数域是有理数域．我们约定在以后的各章里，所讨论的问题都是在任何一个数域里进行的．第二章线性方程组说明与要求:本章的内容分向量和线性方程组两部分．向量部分是由线性组合、线性相关(无关)出发，进而讨论向量中线性无关向量的个数，从而引出对向量组的秩和矩阵的秩的研究．要理解向量的线性相关、线性无关、向量的秩和矩阵的秩等概念．对于向量的线性相关性的讨论，无论是证明、判断还是计算，关键在于深刻理解基本概念，搞38 / 205。