P y X x P
.则x =，y =.(请用X
所服从的分布的分位数表示).
4、（4分）设821,,,X X X 是取自正态总体),(2
σμN 的简单随机样本，∑==4
1
141i i X Y ， 882
2225511,()43i i i i Y X S X Y ====-∑∑，则S
Y Y )(221-服从自由度为的分布.
二、（10分）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为0.5的指数分布)5.0(E ，求方差D(XY)和协方差),cov(Y X Y X -+.
三、(12分)设某同学的手机在一天内收到短信数服从参数为λ泊松分布)(λP ,每个短信是否为垃圾短信与其到达时间独立,也与其他短信是否为垃圾短信相互独立. 如果假设每个短信是垃圾短信的概率为p .
(1)如果已知该同学的手机一天内收到了n 条短信,求其中恰有k 条垃圾短信的概
率.(n k ≤≤0). (2)求该同学的手机一天内收到k 条垃圾短信的概率.( ,2,1,0=k ).
四、(14分) 假设离散型随机变量21X X 与都只取-1和1,且满足
5.0)1(1=-=X P ,()3
1
11)11(1212====-=-=X X P X X P .
（1）求),(21X X 的联合概率函数；（2）求概率)0(21=+X X P ; （3）分别求21X X 与的协方差和相关系数),(),,(2121X X X X Cov ρ.
五、(16分)设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为
⎩
⎨⎧<<=其他,01
,),(22y x y ax y x f
(1) 求常数a ; (2) 分别求X 和Y 的边缘密度函数； (3) 求概率()1,0≤≤Y X P ； (4）求概率)(Y X P ≤.
六、(10分) 某城市每次交通堵塞造成的平均损失15万元，损失的标准差是3万元.假设各次堵塞造成的损失是相互独立的,且服从相同的分布.如果今天该城市发生了100次交通堵塞,试用中心极限定理求今天该城市由于交通堵塞造成的损失在1440万元到1530万元之间的概率 .
七、(8分) 设某工厂生产的化纤强度X 服从正态分布2
(,)N μσ，长期以来其标准差
85.0=σ,现从该厂生产的产品中抽取了25个样品,测定其强度，并由此算出样本均值为
,25.2=x 试求μ的置信水平0.95的双侧置信区间。（结果保留四位小数）
八、(14分)设n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本，X 的概率密度函数为
⎩⎨
⎧≥=-其他
,0,3),(43θ
θθx x x f ，其中0>θ. θ未知.
（1）求θ的矩估计θ~
和极大似然估计θˆ；
（2）问：θ的矩估计θ~
是否为θ的无偏估计？请说明理由. （3）问：θ的极大似然估计θˆ是否为θ的无偏估计？请说明理由.
答案：
一、 (1) 0.3 3/7
(2)
2
32,0()0,
y e y f y else
-⎧>=⎩
(3) 2
2
0.030.98(2)(2)χχ (4) 3 t
二、48 ， 0 三、(1)|~(,)(2)~()X Y n B n p X P p λ=
四、（1）
2
11(2)
(3)
3
4
4
-- 五、(1)
21/4
5
24
2
217(1)1101(2)
()()8
2
0,0,x x x y y f x f y else else
⎧⎧--<<<<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩
⎩
117(3)
(4)
2
20
六、 0.8185
七、 [1.9168 , 2.5832]
八、 (1)
2
ˆˆ(1)(2)()(3)()3
X
X E E θθθ
θθ
θ===≠
