§161二次根式(1)
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人教版八年级下册16.1.1《二次根式》二次根式的概念课件
m m2
2 4
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，
解得m≥2且m≠-2，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 x2 6xm都有意 义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
二5的次算根术式平的方被根开是方_数__非_.负
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 二一((12))次般若(3根 地)二(5式，次)(的如7根)实果均式质一不是个是表数二示的次一平有根个方意式非等义. 负于，数a求，（m那的或么取式x 这值）个范1的数围算叫．术做平a方的根平.方根.
即求(二x+次3根)2式+m中-字9≥母0.的取值范围的基本依据2：
（）
一定是二次根式的有
（）
解：由题意得x2+6x+m≥0，
3个
B.
解：∵被开方数需大于或等于零，
16.1.1 二次根式的概念 4 已知y=
,求3x+2y的算术平方根.
解：∵被开方数需大于或等于零，
一般地，我们把形如
的式子叫做二次根式.
问题2 这些式子有什么共同特征？
注意：a可以是数，也可以是式.
x＞2 B.
一定是二次根式的有 (本2)节无课论主x取要任学何习实了数二，次代根数式式的定义及被开方数都的有取意值义范，围求.m的取值范围．
(若2)式无子论为x取分任式何，实应数同，时代考数虑式分母不为零. 都有意义，求m的取值范围．
一(2)个无正论数x取有任两何个实平数方，根代；数式
都有意义，求m的取值范围．
数学下册第16章二次根式161二次根式第2课时课件(新版)
(3)-
2 2
- 3 =-
2 2 2
=-3.
3
1
2
3
4
5
6
1.计算 (-3)2 的结果是
.
关闭
3
答案
1
2. -2
2
3
1
2
4
5
6
2
=
.
关闭
2
答案
1
2
3
4
5
6
3.若 x,y 为实数,且|x+2|+ -3=0,则(x+y)2 020 的值为
.
关闭
+ 2 = 0,
由|x+2|和 -3都是非负数,得
第2课时
二次根式的性质
学前温故
新课早知
a
1.|a|= 0, = 0,
-a
, > 0,
, < 0.
2.当a>0时,a的算术平方根是
,0的算术平方根是 0
.
学前温故
新课早知
1.当 a≥0 时, ≥ 0.
2.若 a,b 为实数,且|a-1|+ =0,则 a+b= 1
3.( )2= a (a≥0); 2 = a
(2) (-2.7)2 = 2.72 =2.7.
(3)(2 3)2=22×( 3)2=4×3=12.
-2
(4) (-5) =
5-2
=
1
25
=
1
.
5
答案
1
2
3
4
5
6
6.化简:(1) 2 (a<0);(2) (3-π)2 .
关闭
解 (1)∵a<0,∴ 2 =-a.
2 2
- 3 =-
2 2 2
=-3.
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1.计算 (-3)2 的结果是
.
关闭
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答案
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关闭
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答案
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3.若 x,y 为实数,且|x+2|+ -3=0,则(x+y)2 020 的值为
.
关闭
+ 2 = 0,
由|x+2|和 -3都是非负数,得
第2课时
二次根式的性质
学前温故
新课早知
a
1.|a|= 0, = 0,
-a
, > 0,
, < 0.
2.当a>0时,a的算术平方根是
,0的算术平方根是 0
.
学前温故
新课早知
1.当 a≥0 时, ≥ 0.
2.若 a,b 为实数,且|a-1|+ =0,则 a+b= 1
3.( )2= a (a≥0); 2 = a
(2) (-2.7)2 = 2.72 =2.7.
(3)(2 3)2=22×( 3)2=4×3=12.
-2
(4) (-5) =
5-2
=
1
25
=
1
.
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答案
1
2
3
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6
6.化简:(1) 2 (a<0);(2) (3-π)2 .
关闭
解 (1)∵a<0,∴ 2 =-a.
八年级数学下册 第十六章 二次根式 16.1 二次根式 16.1.1 二次根式课件
负数
平方根.。2.下列各式中,不一定是二次根式的是(
).。A.x≥0
B.x≤0。C.x>0
D.x<0。会判断一个根式是二次根式。分析:(2)中,因为被开方数小于0,所以不是二次根式。关闭
No
Image
12/13/2021
第十五页，共十五页。
数不是2,所以不是二次根式;(6)中,因为-x2-8<0,被开方数小于0,所以不是二
次根式;(3)中,因为x≤6,所以6-x≥0,即被开方数非负,所以是二次根式;(5)中因
为m2-2m+1=(m-1)2≥0,所以是二次根式.
解:(1)(3)(5)是二次根式.
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第六页，共十五页。
互动课堂理解
(a≥
0)的式子叫做
2.下列各式中,不一定是二次根式的是(
A.
3
C. 9
). A
B.- 2 + 1
D.
2
3
3.在实数(shìshù)范围内x,
有意义,则x的取值范围是 (
A.x≥0 B.x≤0
C.x>0
二次
,“ 根式 ”称为(chēnɡ
D.x<0
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A).
数有两个互为相反数的平方根,即a的平方根记作
就是(jiù
±shì)它的
平方根.
平方根
.一般地,正
,其中正的平方根
;0的平方根和算术平方根都是
算术(suànshù)平方根 ;负数
没有
0
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快乐预习感知
学前温故
(wēn ɡù)
平方根.。2.下列各式中,不一定是二次根式的是(
).。A.x≥0
B.x≤0。C.x>0
D.x<0。会判断一个根式是二次根式。分析:(2)中,因为被开方数小于0,所以不是二次根式。关闭
No
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数不是2,所以不是二次根式;(6)中,因为-x2-8<0,被开方数小于0,所以不是二
次根式;(3)中,因为x≤6,所以6-x≥0,即被开方数非负,所以是二次根式;(5)中因
为m2-2m+1=(m-1)2≥0,所以是二次根式.
解:(1)(3)(5)是二次根式.
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互动课堂理解
(a≥
0)的式子叫做
2.下列各式中,不一定是二次根式的是(
A.
3
C. 9
). A
B.- 2 + 1
D.
2
3
3.在实数(shìshù)范围内x,
有意义,则x的取值范围是 (
A.x≥0 B.x≤0
C.x>0
二次
,“ 根式 ”称为(chēnɡ
D.x<0
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A).
数有两个互为相反数的平方根,即a的平方根记作
就是(jiù
±shì)它的
平方根.
平方根
.一般地,正
,其中正的平方根
;0的平方根和算术平方根都是
算术(suànshù)平方根 ;负数
没有
0
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快乐预习感知
学前温故
(wēn ɡù)
16.1 二次根式课件(共2课时)
变式 : 16 4 n 是整数 , 求自然数 n 的值 .
变式 : n 为何值时 6 3 2 n 的值最 。
课堂小结
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 a 4. a≥0, ≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
正数的正平方根和 零的平方根，统称 算术平方根.
用a ( a 0 ) 表 示 .
塔座
50米
?米
a米
3.塔座所形成的这个直角三角形的
2 斜边长为______________ a 2500 米。
下球体
S
4. 圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S 则半径为____________.
5
a
a 2500
形 如 a ( a 0 ) 的 式 子 叫 做 二 次 根 式 .
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
隋堂练习 1
练习：求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1
(2) 1 1 2a
(3) (a 3)
2
2
4 25 x 5 2x1 6x 5 3 2 x
a =
b =
几个非负数的和为0,当且仅当每一个都为0.
例 3：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。
能力小测验
1.已知
a 2 b 3 0
）
2
则a2-2b=（
（ 2 x 4 y )x 4 y 0 2.若 求4x－y的值
3.已知：
16.1 二次根式
1 第16章 二次根式 §16.1 二次根式 知识精要 1.二次根式的概念 在实数这一章里，我们学习了开平方运算.当0a，a表示a的一个平方根.把它看作由平方根
号“”与a所成的式子时，这是一个代数式.
代数式)0(aa叫做二次根式.仍然读作“根号a”，其中a是被开方数，可以为整式或分式. 例如：222212,,1,4(40),(2)32abacbacxx等，都是二次根式. 注意：在实数范围内，负数没有平方根，所以如：3、(0)bb这样的式子没有意义. a有意义的条件是0a. 2.二次根式的性质 在平方根的学习中，我们根据开平方与平方互为逆运算的关系，得到了下列等式.现在把这两个
等式作为二次根式的性质.
性质1 aa2 (0a). 性质2 aa2)( (0a). 问题1：当a为实数时，2a与a有什么关系? 试填写下列表格： a 3 1 32 0 32 1 3 2a
a
一般来说，由22aa，得22aa，其中0a.利用二次根式的性质1，可知aa2.所以有
推论 ).0(),0(0),0(2aaaaaaa
性质3 baab )0,0(ba. 性质4 baba )0,0(ba. 说明：性质3、4两个等式中，左边是以两个数的积(或商)为被开方数的二次根式，右边是分别2
以这两个数为被开方数的两个二次根式的积(或商).在二次根式的运算或变换中，可以据此从左到右或从右到左进行转化.
问题2 18与23相等吗?为什么?
将18分解素因数，得23218.利用二次根式的性质3和性质1，可知它们相等. 推论 abbaab22
问题3 83与46相等吗?为什么? 利用分数的基本性质以及二次根式的性质4和性质1，可知它们相等. 推论 babbabbbbaba2 3.二次根式的化简 把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”.
16.1 二次根式(第1课时)
• 当x为何值时,下列各式在实数范围内有意义?
• （1） x 3 （2）
2 4x 3
• （3）
5x
• （5） 1 x • （7） x
（4）
（6） （8）
1 2x
x 1
x2
x3
拓展思考
当x是怎样的实数时，x2在实数范围内有意义？x3 ?
x为任意实数 x为大于或等于零的实数
归纳总结
• 求二次根式中字母的取值范围的基本依据： • ①被开方数不小于0； • ②分母中有字母时，要保证分母不为0.
第16章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时
回顾与思考
1．4的平方根是_±__2__；0的平方根是___0___.
2．5的平方根是_____5__；5的算术平方根是__5__.
3. 什么叫平方根？ 什么叫算术平方根？
新知引入
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为3的正方形的边长为
注意事项
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1. a 表示 a 的算术平方根.
2. a 可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
.
4. a 0.
5. a 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
例题讲解
例1 当x是怎样的实数时， 义？
在实数范围内有意
解：由x 2 0，得 x2
当x 2时，x 2在实数范围内有意义 .
巩固练习
解：设其宽为2x，长为3x，则有
检测反馈
2. 如图，在平面直角坐标系中，A（2，3）、B（5， 3）、C（2，5）是三角形的三个顶点，求BC的长.
解：由图示知 AC=5-3=2 AB=5-2=3
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(a 1) 2
(3)
(a为任何实数)
快
解：由 a 1 0 得a 1
乐 训
解：由 1 2a 0 得 a 1 2
练 营
(3)
(a为任何实数)
思考： a2 2a 1 (a 1)2
a2 (a=0)
解题规律： ①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
求二次根式的值
例3.当a分别取下列值时，求二次根式 2 3a 的
新人教版八年级下册
§16.1 二次根式(1)
执教人：程文静
课前热身
求下列各数的平方根和算术平方根.
9的平方根 3 ，算术平方根
3
0的平方根 0 ，算术平方根
0
3的平方根 3 ，算术平方根
3
a(a≥0)的平方根 a ，算术平方根 a
A
50米 ?米
C a米 B
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为____a_2___2_5__0_0__米。
5
s
a2 2500
b3
h
5
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫被开方数，
表示二次根号.
你能举一些二次根式的式子吗？
凭着你已有的知识,说说对 二次根式 a (a≥0)的认识,好 吗?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 4. a≥0,
12 n为一个整数, 求自然数n的值.
n的值为3、8、12
6 5
C(2,5)
4
3 2
A(2,3)
B(5,3)
1
123 456 x
BC AB2 AC2 32 22 13
答：BC长为 13
思考：
1、写出a的一个值，使二次根式 2a 5 的值 为有理数，并求出这个有理数。
2、写出a的一个值，使二次根式 2a 5 的值 为无理数，并求出这个无理数。
x (5) x3 x 0
解 : (1) x 1 0 x 1
(2) 3x 0 x 0
(3) 无论x为何实数,4x2 0 x为全体实数 .
如图，在平面直角坐标系中，A（2，3）、
B（5，3）、C（2，5）是三角形的三个顶点，
求BC的长.
y
解：由图示知 AC=5－3=2
AB=5－2=3 根据勾股定理
B
北
t
t2 9
O
A
3
当t=5时，t2 +9 52 9 34
东
知识大闯关 比比谁聪明
本节课我们学习了哪些知识？你 有什么收获？
说出你这节课的心得和体会 让大家与你一起分享吧！
1、课堂学习反思
姓名
日期
今天数学课的课题
所学的重要数学知识
理解得最好的地方
疑惑（或还需进一步理解的地方）
对课堂表现的评价（包括对自己、同学、 老师）
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S
则半径为____________.
b-3
如图示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是 b 3
一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单
位：s）与开始落下时的高度h（单位：m）满足关系 h=5t2 .如果用含有h的式子表示t，则t=_____h____
值。 (1) -3
(2) 0
(3) 1 3
解：(1)当a 3时，2－3a 2 3(3) 11
(2)当a 0时，2－3a 2 3 0 2
(3)当a 1 时，2－3a 2 3 1 1 1
3
3
二次根式的应用
例4.一只小虫先向东北方向爬行3秒，再向西北方向 爬行t秒。小虫的爬行速度是每秒1厘米。 1)、用关于t的代数式表示小虫离开出发地的距离。 2)、求当t=5时，小虫离开出发地多少厘米。（结果可带根号）
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断二次根式
例1、下列各式哪些是二次根式?
(1) 5,
(4) 12
(2) +2, (3) 9,
(5) -m m 0
(6) x2 +1 , (7) a2 ,(8) 3 5
求字母取值范围
例2 当a是怎样的实数时,下列二次根式在实
数范围内有意义?
(1)
(a 1) (2)Leabharlann 所学内容在日常生活中的应用举例
2、作 业： 教材第5－6页 习题21.1 第1、3题。
谢谢大家！
sxcgcwj@
下列代数式若能作为二次根式的被开方数，则 求出字母a的取值范围？若不能，则说明理由。
2a
a2 1
a2 2
1 3a 2
试一试
求下列二次根式中字母x的取值范围.
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0 (3) 4x2 x为全体实数(4) 1 x 0