高中数学竞赛标准教材解三角形
一、基础知识
在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，
2
c
b a p ++=
为半周长。 1．正弦定理：C
c
B b A a sin sin sin =
==2R （R 为△ABC 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2
1
sin 21sin 21B ca A bc C ab ==
推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足
)
sin(sin a b
a a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =
C ab sin 2
1
；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即
sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B
b
A a sin sin =
，所以
)
sin()
sin(sin sin A a A a --=θθ，即
sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于2
1
-
[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]=
2
1
-
[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只
有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。
2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bc
a
c b A 2cos 222-+=
⇔，下面用余弦定理证明几个常用的结论。
（1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2
=
.22pq q
p q
c p b -++ （1）
【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π，
所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得
qc 2
+pb 2
=(p+q)AD 2
+pq(p+q)，即AD 2
=
.22pq q
p q
c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2
222
22a c b AD -+=
（2）海伦公式：因为412
=∆ ABC S b 2c 2
sin 2
A=4
1b 2c 2
(1-cos 2
A)=
4
1
b 2
c 2
16
14)(12
22222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-c b a c b [(b+c)2
-a 2
][a 2
-(b-c) 2
]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里
.2
c
b a p ++=
所以S △ABC =).)()((c p b p a p p ---
二、方法与例题
1．面积法。
例1 （共线关系的张角公式）如图所示，从O 点发出的三条射线满足βα=∠=∠QOR POQ ,，
另外OP ，OQ ，OR 的长分别为u, w, v ，这里α，β，α+β∈(0,
π)，则P ，Q ，R 的共线的充要条件是
.)
sin(sin sin w
v u βααβ+=+ 【证明】P ，Q ，R 共线ORQ OPQ OPR ΔPQR S S S S ∆∆∆+=⇔=⇔0 sin 21uv ⇔
(α+β)=21uwsin α+21
vwsin β v
u w α
ββαsin sin )sin(+
=+⇔，得证。 2．正弦定理的应用。
例2 如图所示，△ABC 内有一点P ，使得∠BPC-∠BAC=∠CPA-∠CBA=∠APB-∠ACB 。 求证：AP ·BC=BP ·CA=CP ·AB 。
【证明】 过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，F ，则P ，D ，C ，E ；P ，E ，A ，F ；P ，D ，B ，F 三组四点共圆，所以∠EDF=∠PDE+∠PDF=∠PCA+∠PBA=∠BPC-∠BAC 。由题设及∠BPC+∠CPA+∠APB=3600可得∠BAC+∠CBA+∠ACB=1800。
所以∠BPC-∠BAC=∠CPA-∠CBA=∠APB-∠ACB=600。 所以∠EDF=600，同理∠DEF=600，所以△DEF 是正三角形。
所以DE=EF=DF ，由正弦定理，CDsin ∠ACB=APsin ∠BAC=BPsin ∠ABC ，两边同时乘以△ABC 的外接圆直径2R ，得CP ·BA=AP ·BC=BP ·AC ，得证：
例3 如图所示，△ABC 的各边分别与两圆⊙O 1，⊙O 2相切，直线GF 与DE 交于P ，求证：PA ⊥BC 。 【证明】 延长PA 交GD 于M ，
因为O 1G ⊥BC ，O 2D ⊥BC ，所以只需证
.21AE
AF
AO A O MD GM == 由正弦定理βπαπsin )2sin(,sin )1sin(AE
PA AF AP =∠-=∠-，
所以.sin sin 2sin 1sin α
β⋅∠∠=AF AE
另一方面，2sin sin ,1sin sin ∠=∠=PM
MD PM GM βα，
所以βα
sin sin 1sin 2sin ⋅∠∠=MD GM ， 所以AE AF MD GM =
，所以PA//O 1G ， 即PA ⊥BC ，得证。
3．一个常用的代换：在△ABC 中，记点A ，B ，C 到内切圆的切线长分别为x, y, z ，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.
例4 在△ABC 中，求证：a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2
(a+b-c) ≤3abc. 【证明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y ，则 abc=(x+y)(y+z)(z+x)
zx yz xy ⋅⋅≥8=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)-2abc.
所以a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c) ≤3abc. 4．三角换元。
例5 设a, b, c ∈R +，且abc+a+c=b ，试求1
3
12122
22+++-+=
c b a P 的最大值。 【解】 由题设=
b ac
c
a -+1，令a=tan α, c=tan γ, b=tan β,
