中考数学二次函数压轴题之三角形面积问题
如图所示，直线y＝x + c 与x 轴交于点A（﹣4，0），与y 轴交于点C，抛物线y＝﹣x2 + bx + c 经过点A、C，点M 是线段OA 上的一个动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AC 和抛物线分别交于点P、N．（1）求抛物线的解析式；
（2）当以C、P、N 为顶点的三角形为直角三角形时，S△CPN＝；（3）过点N 作NH⊥AC 于H，求S△HPN 的最大值．
【解析】解：
（1）将点A （﹣4，0）代入直线y＝x + c 得：c＝4，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2 + bx + 4，
再将点A（﹣4，0）代入抛物线y＝﹣x2 + bx + 4 并解得：b＝﹣3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣3x + 4；
（2）
①当∠CNP＝90°时，如下图所示：
点N（﹣3，4），点P（﹣3，1），
S△CPN＝1/2 ×CN ×PN＝1/2 ×3 ×3＝9/2；
②当∠NCP＝90°时，如下图所示：
点N（x，﹣x2﹣3x + 4），点P（x，x + 4），点C（0 , 4），
在Rt△NCP 中，
NP2 =（﹣x2﹣4x ）2，NC2 = x2 +（﹣x2﹣3x ）2，PC2 = x2 + x2 , 根据勾股定理：NP2 = NC2 + PC2，
∴（﹣x2﹣4x ）2 = x2 +（﹣x2﹣3x ）2 + x2 + x2，
解得x = -2 或0（舍去），
∴N（-2 , 6），P（-2 ，2），
S△CPN＝1/2 ×NP ×2＝1/2 ×4 ×2＝4；
由图可知∠NPC ≠90°；
故答案为：9/2 或4；
（3）设点N（x，﹣x2﹣3x + 4），则点P（x，x + 4），
∵OA＝OC，
∴∠HPN＝∠APM＝∠PAM = 45°，
∴S△HPN＝1/2 ×NH ×PH＝1/4（NP）2，
∵NP＝﹣x2﹣3x + 4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x，
∴当x＝﹣2 时，NP 的最大值为：4，
故S△HPN＝1/2 ×NH ×PH＝1/4（NP）2 = 1/4 ×4 ×4＝4，
∴S△HPN 的最大值为4．
【总结】
（1）把点的坐标代入函数解析式，求出c、b，从而确定抛物线的解析式非常简单；
（2）分类讨论，根据图像可知存在两种情况，第一种情况比较容易求出面积，第二种情况先设出点的坐标来，在直角三角形中通过勾股定理建立方程，用了两点之间的距离公式来表示线段的长，最后把点的坐标求出来，用三角形面积公式求出面积；
（3）这是一个二次函数求最值问题，通过分析可知这个三角形是个等腰直角三角形，先把N、P 两点的坐标设出来，建立一个面积关于边长的函数关系式，最后根据二次函数的性质来求最值，从而可求出三角形面积的最大值。
