高等数学基础第一次作业点评1
责任教师：许院年
第1章 函数
第2章 极限与连续
（一）单项选择题
⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．
A. 2
)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =
，x x g =)(
C. 3
ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1
1)(2--=x x x g
点评：从函数的两要素可知：两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则也相同。而与自变量或因变量所用的字母无关。
⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y =
点评：可先用奇偶函数的定义来判断它是什么函数，若是奇函数就关于坐标原点对称，若是偶函数就关于Y 轴对称。
⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．
A. )1ln(2
x y += B. x x y cos =
C. 2
x
x a a y -+= D. )1ln(x y +=
点评：可直接用奇偶函数的定义来判断它是什么函数。若)()(x f x f =-，则函数为偶函数；若)()(x f x f -=-，则函数为奇函数。 ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2
x
y = D. ⎩
⎨⎧≥<-=0,10
,1x x y
点评：基本初等函数是指：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数。
⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．
A. 12lim 2
2
=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0
=+→x x C. 0sin lim
=∞→x x x D. 01
sin lim =∞→x
x x 点评：只有无穷小量乘以有界变量才为无穷小量，如C ，没有无穷大量乘以有界变量为无穷小量。
⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．
A.
x
x
sin B. x 1
C. x
x 1
sin D. 2)ln(+x
点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量
⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。
A. )()(lim 00
x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义
C. )()(lim 00
x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0
x f x f x x x x -+→→=
点评：直接用函数在某点连续的定义判断。即函数在某点连续，则在该点的极限值等于函数值。
（二）填空题 ⒈函数)1ln(3
9
)(2x x x x f ++--=
的定义域是 ．}33{>-≤x x x 或
点评：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。
⒉已知函数x x x f +=+2
)1(，则=)(x f ．x x -2
点评：正确理解函数对应关系f 的含义。
⒊=+∞→x
x x
)211(lim ．21
e
点评：两个重要极限之一稍加变形。
⒋若函数⎪⎩⎪
⎨⎧≥+<+=0,
0,)1()(1
x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．e
点评：用连续函数在某点连续的定义求解。 ⒌函数⎩⎨
⎧≤>+=0
,sin 0
,1x x x x y 的间断点是 ．0=x
点评：因为函数在该点的函数值不等于极限值。
⒍若A x f x x =→)(lim 0
，则当0x x →时，A x f -)(称为 ．无穷小量
（三）计算题
求极限常用的方法有： ⑴利用极限的四则运算； ⑵利用两个重要极限； ⑶利用无穷小量的性质； ⑷利用连续函数的性质。 ⒈设函数
⎩
⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x
求：)1(,)0(,)2(f f f -．
解：2)2(-=-f
0)0(=f
e e
f ==1)1(
点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。即正确选择某段函数。
⒉求函数x
x y 1
2lg
lg -=的定义域． 解：欲使函数有意义，必使01
2lg >-x
x ，
即：
11
2>-x
x 亦即：x x >-12 解得函数的定义域是：1>x
点评：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。
⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 点评：建立函数关系(即数学表达式)的一般步骤是：
⑴分析问题中的各个量，哪些是常量，哪些是变量，从而确定自变量和因变量，并设出表示它们的字母；
⑵建立适当的坐标系(若需要的话)；
⑶由已知条件或题意找出变量之间的关系，建立关系式； ⑷确定自变量的取值范围。 解：设梯形的高CM=x ，则22x R DM -=
梯形的上底222x R DC -=，下底R AB 2=
则梯形的面积
2
)22(22x
R x R s +-=
)0()(22R x x R x R <<+-=
⒋求x
x
x 2sin 3sin lim
0→．
解：原式=23
112322sin lim 33sin lim
2
300=⨯=⨯
→→x
x x x
x x 点评：正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。
⒌求)
1sin(1
lim 21+--→x x x ．
解：原式=21
21
)1sin(lim )1(lim 1)1sin(1lim 11
1-=-=++-=++--→-→-→x x x x x x x x x
点评：正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。
⒍求x
x
x 3tan lim 0→．
解：31
1
133cos 1lim 33sin lim 33cos 133sin lim 33cos 3sin lim 0000=⨯⨯=⨯=⨯=→→→→x x x x x x x x x
x x x x
点评：同上。
⒎求x
x x sin 11lim 20-+→．
解：原式=010sin 1
lim
1
1lim
sin )11()
11)(11(lim
20
2220
=⨯=⨯++=++++-+→→→x
x x x x
x x x x x x
