一、等积模型
D
C B
A
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; ③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD
BCD S S =△△;
反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形与正方形可以瞧作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
二、共角定理(鸟头定理)
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
(1)
(2)
(3)
(4)
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
知识框架
五大几何模型
① 1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.
S 4
S 3
S 2
S 1O D
C
B
A
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”): ①2213::S S a b =
②
22
1324::::::S S S S a b ab ab =; ③ S 的对应份数为()2
a b +.
④
A B
C
D
O b
a S 3
S 2
S 1S 4
四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
G
F E A
B
C
D
A B C
D
E
F
G
①
AD AE DE AF
AB AC BC AG
===
; ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：.
所谓的相似三角形,就就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方; ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理
:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.
相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具. 在小学奥数里,出现最多的情况就是因为两条平行线而出现的相似三角形. 五、共边定理(燕尾定理)
有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
共边定理:
设直线AB与PQ交于点M,则
S PM
PAB
S QM
QAB
∆=
∆
特殊情况:当PQ∥AB时,易知△PAB与△QAB的高相等,从而S△PAB=S△QAB
一、三角形相似模型
【例 1】图30-10就是一个正方形,其中所标数值的单位就是厘米.问:阴影部分的面积就是多例题精讲
少平方厘米?
【巩固】 如图,四边形ABCD 与EFGH 都就是平行四边形,四边形ABCD 的面积就是
16,:3:1BG GC =,则四边形EFGH 的面积=
________.
G
E
C
B
A
【例 2】 已知三角形ABC 的面积为a ,:2:1AF FC =,E 就是BD 的中点,且EF ∥BC ,交CD 于G ,
求阴影部分的面积.
【巩固】 图中ABCD 就是边长为12cm 的正方形,从G 到正方形顶点C 、D 连成一个三角形,已知
这个三角形在AB 上截得的EF 长度为4cm ,那么三角形GDC 的面积就是多少？
A
B
C
D E F
G
【例 3】 如图,O 就是矩形一条对角线的中点,图中已经标出两个三角形的面积为3与4,那么阴
影部分的一块直角三角形的面积就是多少？
D
B 【巩固】ABCD就是平行四边形,面积为72平方厘米,E、F分别为AB、BC的中点,则图中阴影部分的面积为平方厘米.
B
二、蝴蝶模型
【例 4】如图所示,长方形ABCD内的阴影部分的面积之与为70,AB=8,AD=15四边形EFGO的面积为______.
8
F
【巩固】如图5所示,矩形ABCD的面积就是24平方厘米,、三角形ADM与三角形BCN的面积之与就是7、8平方厘米,则四边形PMON的面积就是平方厘米。
O P N
M
D C
B
A
【例 5】如图,ABC
∆就是等腰直角三角形,DEFG就是正方形,线段AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG的面积48,:1:3
AK KB=,则BKD
∆的面积就是多少？
B
