微积分习题讲解与答案
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习题
1.指出下列微分方程的阶数,并指出哪些方程是线性微分方程: (1)02)(2
=+'-'xy y y y x (2) 02
=+'-y y x y x (3)0)(sin 42
=+''+'''y x y y x (4)θθ
2sin d d =+p p
解 (1) 1阶 非线性 (2) 1阶 线性 (3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性
2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) x
x
y x y y x sin ,cos =
=+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数) (3) x
Ce y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数) (4) x x
e C e
C y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数)
(5) C y xy x y x y y x =+--='-2
2
,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2
xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是,左=x x x
x
x x x x
cos sin sin cos 2
=+-=右 (2) 是,左=x x C x x Cx x 2)12(1)
1(22
2
=-++---=右
(3) 是,左=02=+-x
x
x
Ce Ce Ce =右 (4) 是,左=
0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x x
e C e C e C e C e
C e C λλλλλλλλλλλλλλ =右
(5) 是,左==-=---y x y
x y
x y x 222)
2(右
(6) 是,左=x xy y
x xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)()(22)(2
2332 =
0)()
)(2()()(222
222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右 3.求下列微分方程的解
(1) 2d d =x y
; (2) x x
y cos d d 22=; (3) 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) y
x x y y )1()1(2
2++=' 解 (1) C x y x y +==⎰
⎰2,d 2d (2) 1
sin ,d cos d C x y x x x y +='=''⎰⎰
2
1
1
cos ,d )(sin d C
x C x y x C x x y ++-=+='⎰⎰
(3)
⎰⎰=+-x y y y d d 11 ⎰⎰=+++-x y y y d d 12
)1(
解得 ⎰⎰⎰
=++
-x y y y d d 12
d
即 C x y y +=++-|1|ln 2
(4)
⎰⎰+=+dx x x
dy y y )1(122
解得 2
12
2
)1ln()1ln(C x y ++=+
整理得 2
2
211C x
y =++ 4.已知曲线)(x f y =经过原点,并且它在点),(y x 处的切线的斜率等于2
2x ,试求这条曲线的方程。
解 已知 2
2x y ='
解得 C x y +=
3
3
2 又知曲线过原点,得0=C 所求曲线方程为33
2x y =
习题
1.用分离变量法求下列微分方程的解
(1) y x y 4=' (2) 0ln =-'y y y x (3) y
x y +='10
(4) 0d tan sec d tan sec 2
2=+y x y x y x
(5)
1|,0d 1d 10==+-+=x y y x
y x y x (6) 0|,02=='=+x y x y e y 解 (1)
x xd dy y
⎰⎰
=41 解得 22)(C x y +=
(2)
⎰
⎰=x
dx
y y dy ln 解得 Cx e y = (3) ⎰⎰=-dx dy x y
1010
解得 C x y +=--1010 即 C y x =+-1010
(4) ⎰⎰-=dx x
x
dy y y tan sec tan sec 22 解得 1|tan |ln |tan |ln C x y +-= 整理得 C y x =⋅tan tan
(5)
⎰⎰+=+dx x x dy y y )1()1( 解得
C x x y y ++=+3
2323
1213121 由于 1|0==x y ,解得 6
5
=
C 则
6
5
312131213232++=+x x y y