函数图像与函数方程
【知识要点】 1.函数图象变换 (1)平移变换
(2)对称变换
①)(x f y =――→关于x 轴对称
)(x f y -=； ②)(x f y =――→关于y 轴对称
)(x f y -=； ③)
(x f y =――→
关于原点对称
)(x f y --=；
④)10(≠>=a a a y x
且――→
关于y ＝x 对称
)10(log ≠>=a a x y a 且.
(3)翻折变换
①)(x f y =――――――――――→保留x 轴上方图像
将x 轴下方图像翻折上去|)(|x f y =. ②)(x f y =――――――――――――→保留y 轴右边图像，并作其
关于y 轴对称的图像|)(|x f y =. (4)伸缩变换
①)(x f y = )(ax f y =.
②)(x f y = )(x af y =.
2.函数的零点 (1)函数零点的定义
对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． (2)几个等价关系
方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得
0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根．
【例题解析】
考点一 函数图象变换
【例1】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数()2x
f x =的图像经过怎样的变换得到
的。 （1）1
2x y -= （2）2+1x y = （3）2x
y =
（4）2-1x y = （5）2x
y =- （6）2x
y -=-
【变式训练1】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数()2log f x x =的图像经过怎样的变换得到的。
（1）2log (1)y x =- （2）2log 1y x =+ （3）2log ||y x =
（4）2|log 1|y x =- （5）x y 2log -= （6）)(log 2x y --=
【变式训练2】函数()y f x =的曲线如图所示，那么方程(2)y f x =-的曲线是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【变式训练3】函数2
1
x y x -=
-的图象大致是 （ ）
【变式训练4】(2012湖北)已知定义在区间]2,0[上的函数)(x f y =的图像如图所示，则
)2(x f y --=的图像为( )
考点二 函数的零点 题型一 零点存在性定理
【例2】下列各种说法中正确的个数有（ ） ①函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 内只有一个零点; ②函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅≤,则函数()y f x =在区间[,]a b 内有零点; ③函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅>,则函数()y f x =在区间(,)a b 内没有零点;
④函数()y f x =在[,]a b 上连续且单调,并满足()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间
(,)a b 内只有一个零点;
⑤函数2
()23f x x x =--的零点是(3,0)与(1,0)-. A ．0个 B ．1个 C ．2个
D ．3个
【例3】若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点
分别位于区间（ ）
A ．(),a b 和(),b c
B ．(),a -∞和(),a b
C ．(),b c 和(),c +∞
D ．(),a -∞和(),c +∞
【例4】函数a ax x f 21)(-+=在区间)1,1(-上存在一个零点,则实数a 的取值范围是________
【变式训练5】函数2()3log ()x f x x =--的零点所在区间是（ ） A. 5,22⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
B. ()2,1--
C. ()1,2
D. 52,2⎛⎫
⎪⎝⎭
【例5】已知二次函数2
(),f x ax bx c =++满足42
c b
a +>且0c <，则含有()f x 零点的一个区间是（ ） A ．()2,0-
B ．()
1,0-
C ．()01，
D ．()02，
【变式训练6】根据表格中的数椐，可以判断2)(--=x e x f x
的一个零点属于区间（ ）
A.()1,0-
B.()0,1
C.()1,2
D.()2,3
考点三 函数与方程
题型二 方程()f x m =的根的问题
【例6】若方程()20f x -=在(,0)-∞内有解,则()y f x =的图象是
【例7】已知函数24
1,
(4)()log ,(04)
x f x x
x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实 根,则实数k 的取值范围是___________________.
【变式训练9】已知函数⎩⎨
⎧≤+->=,
0),4(,
0|,lg |)(x x x x x x f 则函数()3-=x f y 的零点的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
题型四 方程()()f x g x =型问题
【例8】已知函数|lg |,010,()16,10.2
x x f x x x <≤⎧⎪
=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则
abc 的取值范围是（ ）
A ．(1,10)
B ．(5,6)
C ．(10,12)
D ．(20,24) 【变式训练10】函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【变式训练11】函数()2ln f x x =的图像与函数()2
45g x x x =-+的图像的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
【变式训练12】函数[]x x f =)(的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[]4-5.3-=，
[]21.2=，当(]时5.4,3∈x ，x x f =)(，的解集为（ ）
A ．{}4,3
B ．{}4
C ．{}3
D ．]5.4,3(
【变式训练13】 []x 表示不超过x 的最大整数，定义函数()[]f x x x =-．则下列结论中正确的有___________________.
