2007年四川省高考数学试卷(理科)及解析
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2007年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）复数的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
2．（5分）函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）=（ ）
A．0 B．1 C． D．
4．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
5．（5分）如果双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是，且二面角B﹣OA﹣C的大小是，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（ ）
A．4a﹣5b=3 B．5a﹣4b=3 C．4a+5b=14 D．5a+4b=14
8．（5分）已知抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ）
A．3 B．4 C． D．
9．（5分）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ）
A．36万元 B．31.2万元 C．30.4万元 D．24万元
10．（5分）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）
A．288个 B．240个 C．144个 D．126个
11．（5分）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知一组抛物线y=ax2+bx+1，其中a为2、4、6、8中任取的一个数，b为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）若函数f（x）=（e是自然对数的底数）的最大值是m，且f（x）是偶函数，则m+μ=
．
14．（4分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是
．
15．（4分）已知⊙O的方程是x2+y2﹣2=0，⊙O'的方程是x2+y2﹣8x+10=0，由动点P向⊙O和⊙O'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是 ．
16．（4分）下面有5个命题：
①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是；
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有3个公共点；
④把函数的图象向右平移得到y=3sin2x的图象；
⑤角θ为第一象限角的充要条件是sinθ＞0
其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求β．
18．（12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望Eξ，并求该商家拒收这批产品的概率．
19．（12分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P﹣MAC的体积．
20．（12分）设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1，0）（n∈N*），其中x1为正实数．
（Ⅰ）用xn表示xn+1；
（Ⅱ）证明：对一切正整数n，xn+1≤xn的充要条件是x1≥2
（Ⅲ）若x1=4，记，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式．
22．（14分）设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．
（Ⅰ）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）对任意的实数x，证明＞f'（x）（f'（x）是f（x）的导函数）；
（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜k＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．
2007年四川省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2007•四川）复数的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
【分析】复数的分母实数化，就是分子、分母同乘分母的共轭复数，然后化简即可．
【解答】解：．
故选A．
2．（5分）（2007•四川）函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1解析式，分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系，（即如何变换得到），分析其经过的特殊点，即可用排除法得到答案．
【解答】解：∵f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上移1而得，
∴其图象必过点（1，1）．
故排除A、B，
又∵g（x）=21﹣x=2﹣（x﹣1）的图象是由y=2﹣x的图象右移1而得
故其图象也必过（1，1）点，及（0，2）点，
故排除D
故选C
3．（5分）（2007•四川）=（ ）
A．0 B．1 C． D．
【分析】通过因式分解，把分子分母同时消除零因子x﹣1，然后把x=1直接代入求解就能得到最后结果．
【解答】解：原式=，
故选D．
4．（5分）（2007•四川）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
【分析】A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．
【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；
C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；
D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°
故选D
5．（5分）（2007•四川）如果双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据点P到双曲线右焦点的距离判断点P在右支上，再根据双曲线的第二定义知点P到双曲线右准线的距离和有准线方程，进而得到点P到y轴的距离．
【解答】解：由点P到双曲线右焦点的距离是2知P在双曲线右支上．
又由双曲线的第二定义知点P到双曲线右准线的距离是，双曲线的右准线方程是，
故点P到y轴的距离是．
故选A．
6．（5分）（2007•四川）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是，且二面角B﹣OA﹣C的大小是，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【分析】结合图形，求出三个球面距离即可．
【解答】解：．故选C．
7．（5分）（2007•四川）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为
（ ）
A．4a﹣5b=3 B．5a﹣4b=3 C．4a+5b=14 D．5a+4b=14
【分析】构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果．
【解答】解：∵与在方向上的投影相同，
∴
∴4a+5=8+5b，
∴4a﹣5b=3
故选：A．
8．（5分）（2007•四川）已知抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ）
A．3 B．4 C． D．
【分析】先设出直线AB的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，进而可求AB中M的坐标，代入直线x+y=0中求得b，进而由弦长公式求得|AB|．
【解答】解：设直线AB的方程为y=x+b，由⇒x2+x+b﹣3=0⇒x1+x2=﹣1，
进而可求出AB的中点，
又∵在直线x+y=0上，
代入可得，b=1，
∴x2+x﹣2=0，
由弦长公式可求出．
故选：C．
9．（5分）（2007•四川）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按
