极坐标与参数方程题型和方法归纳
题型一：极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。方法如下：
{222cos sin tan (0x y x y y
x x ραρα
ρρθ==⎧=+⎪⎨=≠+⎪⎩
或(1)极坐标方程直角坐标方程
2
2
1θθ=−−−−−−−−−−−−→←−−−−−−−−−−−−消参（代入法、加减法、sin +cos 等）圆、椭圆、直线的参数方程
(2)参数方程直角坐标方程
−−→−−→←−−←−−
(3)参数方程直角坐标方程(普通方程)极坐标方程
1、已知直线l
的参数方程为112x t y ⎧
=+⎪
⎨⎪=⎩
（t 为参数）以坐标原点O 为极点，以x 轴正
半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C
的方程为2
sin cos 0θθ=.
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标.
题型二：三个常用的参数方程及其应用
（1）圆222
()()x a y b r -+-=的参数方程是： cos sin ()x a r y b r θθθ
=+⎧⎨=+⎩为参数
（2）椭圆22
221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是：cos ,()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数
（3）过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t α
α=+⎧⎨
=+⎩为参数
对（3）注意： P 点所对应的参数为00t =，记直线l 上任意两点,A B 所对应的参数分别为
12,t t ，则①12AB t t =-,②1212121212,0
,0t t t t PA PA t t t t t t ⎧+⋅>⎪+=+=⎨
-⋅<⎪⎩，
③
1212
PA PA t t t t ⋅=⋅=⋅
2、在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2sin y t
⎨
=⎩ （t 为参数，0a > ）以坐标
原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l
的极坐标方程为
cos 4πρθ⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
（Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.
3、已知曲线1C ：12cos 4sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩（参数R θ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为
极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为3cos()
3
ρπ
θ=
+，点Q
的极坐标为)4
π
．
（1）将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点Q 的直角坐标； （2）设P 为曲线1C 上的点，求PQ 中点M 到曲线2C 上的点的距离的最小值．
4、已知直线l
：1122
x t y t
⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.
（1）设l 与1C 相交于两点,A B ，求||AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的
12
倍，纵坐标压缩为原来的2倍，得到曲
线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.
5、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:sin C y α
⎨
=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O
为极点，以x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l
的极坐标方程为
cos()124
π
ρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，求弦AB 的长．
6、面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5 cos α，y ＝sin α
（α为参数）．以坐标原点O 为极
点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ＋ π 4)=2．l 与C
交于A 、B 两点.
（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P (0,－2),求：① |PA |＋|PB |，②PA PB
⋅,③
11
PA PB
+,④
AB
题型三：过极点射线极坐标方程的应用 出现形如：（1）射线OP ：6
π
θ=
（0ρ≥）；（1）直线OP ：6
π
θ=
（R ρ∈）
7、在直角坐标系xOy 中，圆C
的方程为22
((1)9x y ++=，以O 为极点，x 轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线OP ：6
π
θ=（R ρ∈）与圆C 交于点M 、N ，求线段MN 的长．
8、在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为(65sin y αα
⎨=-+⎩为参数), 以坐标原点为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程为0θα=，其中0α
满足0tan 2
l α=
与C 交于,A B 两点，求AB 的值.
9、在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,0)P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的 极坐标方程为2
6cos 50ρρθ-+=．
（Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围； （Ⅱ）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．
10、在直角坐标系中xOy 中，已知曲线E
经过点1,3P ⎛ ⎝⎭
，
其参数方程为cos x a y α
α=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线E 的极坐标方程；
（2）若直线l 交E 于点A B 、，且OA OB ⊥，求证：
2
2
11OA
OB
+
为定值，并求出这个
定值．
