专题：平面向量的概念知识梳理1．向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量。
例如：力，速度。
2．表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向。
用小写字母a ，b…或用AB ，BC ,…表示。
注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段。
3．模:向量的长度叫向量的模，记作a.向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。
4．零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定。
注意：0和0是不同，0是一个数字,0 代表一个向量，不要弄混. 5．单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.aaa =0注意：单位向量不是只有一个，有无数多个,如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成一个单位圆。
6．共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线。
注意:由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量对于两个非零向量b a,,若存在非零常数λ使b a λ=是b a ∥的充要条件.7．相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量。
练习:★判断下列命题的真假1、平行向量的方向一定相同的。
( × ) 解：有可能方向相反.2、与零向量相等的向量必定是零向量. ( √ )3、零向量与任意的向量方向都相同。
( √ ）4、向量就是一条有向的线段。
( × ）5、若m n =,n k =，则m k =。
（ √ )6、若,b a =，则.0=-b a(× ）解：注意区分0和零向量。
典例精讲例1（★)下列说法正确的是（D )A 、数量可以比较大小,向量也可以比较大小.B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C 、向量的大小与方向有关.D 、向量的模可以比较大小。
解析：任何都向量不能比较大小，模可以比较大小例2（★★）给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同,终点相同； ②若||||a b =，则a b =；③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中,一定有AB DC =； ⑤若m n =，n k =，则m k =;⑥若b c b a ∥∥,，则.c a ∥正确的是____④⑤______解析：①把一个向量平移后向量是不变的，③A ，B,C,D 有可能在一条直线上，⑥b可能是零向量例3。
→AB 22.9(1) 平面向量的减法教学目标：1、经历引进向量减法的过程,理解向量减法的意义,知道向量减法是向量加法的逆运算；2、初步掌握向量减法的三角形法则，会将向量减法转化为加法运算，和进行向量加减法的混合运算.教学重点：引进向量减法；使学生掌握向量减法的法则，并初步学会向量加减的混合运算. 教学难点：减法运算时差向量方向的确定. 教学过程： 一、复习旧知我们已经学习了向量加法的意义，以及用三角形法则和多边形法则来作和向量. 已知→a 、→b ，求作→c ，使得→c =→a +→b作法：在平面内任取点O 作向量→OA =→a ，作向量=→b ，则向量→OB =→c （口诀：首尾相接首尾连.） 二、引入新课【问题一】由向量的加法运算，自然联想到向量的减法运算，如何定义向量的减法运算？ 回忆一下，我们是怎么学习数的减法的？已知两个数的和,及其中一个数,求另一个数的运算.用符号语言表示：若c b a =+，则有b c a -=或a c b -=.那么我们可以用类似的方法来定义向量的减法运算:已知两个向量的和,及其中一个向量,求另一个向量的运算. 如果→a +→b =→c ，则→a 叫做→c 与→b 的差向量，记作→→-b c ，其中→c 是被减向量，→b 是减向量.同理，→a +→b =→c ，则→b 叫做→c 与→a 的差向量，记作→→-a c ，其中→c 是被减向量，→a 是减向量. 【问题二】如何作出两个向量的差向量？ 观察：已知→b 、→a ，→c ，→c =→→+b a分析：因为→c =→→+b a ，则由向量加法的三角形法则，首尾相接首尾连，观察下图，图中的→-OB 即是→b 与→a 的和，根据平行四边形法则，可作→→-=b OC 、→→-=a CB .→a →bA BC→b→aOA→→a→b→b→cB→a→cO请同学们观察，在上面作图中，→a 、→b 、→c 也组成一个三角形，→→→→--==b c a BC . 归纳作法：在平面内任取一点O 作向量→OB =→c ，再作向量→OC =→b ，则向量→CB 即是所求的→a .(同起点,连终点,指被减.)我们把这样作差向量的规定称为向量减法的三角形法则.比较向量减法的三角形法则和向量加法三角形法则的区别之处：※向量加法是把两个已知向量首尾相接，向量减法是从同一起点出发作两个已知向量； ※和向量是以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点（首尾相接首尾连）； 结论： 差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点（箭头指向被减向量）. 【问题3】我们在学习数的减法的时候曾经讲过数的减法可转化为加法运算，即减去一个数等于加上这个数的相反数，)(b c b c -+=-.那么对于向量，我们是否也可以类似的说减去一个向量等于加上这个向量的相反向量？ 先请同学回忆相反向量的定义.(方向相反，长度相等）接着我们来验证我们刚才的想法是否正确，即→→-b c 与）（→→-+b c 的结果是否相等？ 请同学们在图中用向量加法的三角形法则作出）（→→-+b c根据向量加减法的三角形法则，我们可得到→CB =→→-b c ，→-DA =）（→→-+b c 那么向量→CB 与向量→OA 是否相等？为什么？根据平行四边形的性质我们可以进行证明:把OB 和DE 叠合在一起，CB ∥OA 且CB =OA ，所以→a =→d结论：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量→d→-b→cOAO→a→b→c→a→b→cADE→a→b→cC BOABOC→d→a→b→-b→c三、课堂例题:例1、根据图型特征建立向量关系：如图已知AD 是△ABC 的中线，试用向量→AB 、→AD 、→AC 来表示向量→BD 和→DC 解：→BD =-→AD →AB ,→DC =-→AC →AD(分析：已知向量→AB 、→AD 共起点，所以应该用向量的减法来表示向量→BD ，而向量→BD 的起点是向量→AB 的终点，向量→BD 的终点→AD 的终点，因此→BD =-→AD →AB .)【课堂练习1】如图，四边形ABCD 中，向量→BA =→a ，向量→AD =→b ，向量→BC =→c ，试用→a 、→b 、→c 来表示向量→BD 、向量→CD .解：→BD =→a +→b→CD =-→BD →BC =→a +-→b →c（通过本题，使同学进一步体会什么时候应该用两个向量加法运算来表示第三个向量，什么时候应该用两个向量减法运算来表第三个向量向量.）【课堂练习2】已知点M 、N 分别是平行四边形ABCD 边AD 、DC 上的点，设→AB =→a ，→AM =→b ，→BC =→c ，→CN =→d ，分别用向量→a 、→b 、→c 、→d 来表示→BM 、→BN 、→MN .a b BM-=→，→BN =→c + →d ，→MN =→BN -→BM =→c +→d -（→b -→a ）=→c +→d -→b +→a . 本题进一步帮助学生理解向量加法、减法的三角形法则，学生根据图形特征建立向量关系式.C→ ACDAB CD→b→c →acB例2、向量加减混合运算的作图 1、已知向量→a 、→b 、→c ，求作：-→a →b （1）（2）在平面内任取一点O ，作向量→OA =→a ，作向量→OB =→b ，则=→BA -→a →b .既然减去一个向量可以看成是加上这个向量的相反向量，那么这一题还有没有其他作法？ 我们可以把-→a →b 转化为-+→(a →b ），然后利用向量加法的三角形法则来作图. (2）平行向量也同样如此.【课堂练习3】已知向量→a 、→b 、→c ，求作：-→a →b (1)(2)同向共线2、已知向量→a 、→b 、→c ，求作：-→a →b +→c .进行向量加减混合运算时，运算顺序的规定是与数的运算顺序一样的，按照从左到右的顺序进行运算可以如下作图：在平面内任取一点O ，作向量→OA =→a ，作向量→OB =→b ，则=→BA -→a →b ，再作向量→→=c AC ，然后作→BC ，则→BC =+→BA =→AC -→a →b +→c ；既然减去一个向量可以看成是加上这个向量的相反向量，那么这一题还有没有其他作法？ 我们可以把-→a →b +→c 转化为-+→(a →b ）+→c ，然后利用向量加法的多边形法则来作图.→a→a→b→bO AB→bOAB→a→-bOA→b→aA OB→a→b为所求作的向量.→BA B→a→b→a→a→b→c→a→b→cOA BC为所求作的向量.→BA →b→a向量→oc 为所求作的向量.向量加法满足交换律，我们也可以通过-→a →b +→c =+→a →c -→b 来作.【课堂练习4】已知向量→a 、→b 、→c ，求作：-→a -→b →c 我们知道：-→a -→b →c =-+→(a -+→()b →c ）；在平面内任取一点O ，顺次作向量→OA =→a ，=→AD →-b ，→→-=c DF ，再作向量→OF ，则→OF =+→OA =+→→DF AD -+→(a →b )+)(→-c =-→a -→b →c ；因此，几个向量相加减通常转化为几个向量相加，再用多边形法则作图.例3、化简下列各式:(1)→→→→-++MP MN QP NQ (2) )()(→→→→---BD AC CD AB 解：→→→→-++MP MN QP NQ =→→→=+0PN NP .)()(→→→→---BD AC CD AB =→→→→→→→→→→→=-=+-+=+--0AD AD CD AC BD AB BD AC CD AB ）（向量的加法和减法运算我们既要熟悉通过作图来求出向量，也要从符号表示的角度能熟练地进行化简和运算，同时还能熟练地运用交换律和结合律进行灵活的变形. 【课堂练习5】(1)→→→+-BC AC AB (2)→→→-+OC BC OA (3）五、课堂小结：(略)六、回家作业：练习册22.9（1）A OB→a→c→-bCAC B→a→c→-bO→a→-b→-cAD F)()(→→→→---BD AC CD AB→b→a→b→c→a→c D22.9 （1)平面向量的减法学习单习1】如图，四边形ABCD 中，向量→BA =→a ，向量→AD =→b ，向量→BC =→c ，试【课堂练用 →a 、→b 、→c 来表示向量→BD 、向量→CD .【课堂练习2】已知点M 、N 分别是平行四边形ABCD 边AD 、DC 上的点，设→AB =→a ，→AM =→b ，→BC =→c ，→CN =→d ，分别用向量→a 、→b 、→c 、→d 来表示→BM 、→BN 、→MN .【课堂练习3】已知向量→a 、→b 、→c ，求作：-→a →b (1) (2)【课堂练习4】已知向量→a 、→b 、→c ，求作：求作：-→a -→b →c .【课堂练习5】→b→a→b→aC→cABC(1)→→→+-BC AC AB (2)→→→-+OC BC OA (3）)()(→→→→---BD AC CD AB。
课题：《平面向量及其加减运算复习》教学目标:1．在理解向量相关概念的基础上，进一步掌握相等向量、相反向量、平行向量的概念；2．熟练掌握平面向量加法、减法的三角形法则，多个向量相加的多边形法则，加法的平行四边形法则；并能熟练用画图的方法求和向量和差向量；3.能运用向量的方法解决某些简单的几何问题，体会“数形结合”思想.核心素养：通过复习培养学生分析问题、解决问题的能力教学重点:进一步掌握平面向量相加减的作图方法，并会熟练应用教学难点：熟练应用向量相加减的法则解决较复杂问题教学环节教学过程设计意图一、复习知识点一、向量相关概念的复习1、课前练习练习1：如图,D、E、F顺次是等边△ABC的边AB,BC,AC的中点，则在A、B、C、D、E、F六个点中任意两点为起点和终点的向量中（1）写出与DE相等的向量；（2）写出与DF互为相反向量的向量；（3）写出与DF平行的向量；（4）与DE模相等的向量有多少个？（5）若2,AB=则DE=；=+CEBE .2、回顾向量的相关概念：通过课前练习来复习归纳平面向量的有关概念，并突出需要注意的知识点。
练习巩固（3）()BDACCDAB---4.复习向量加法的交换律和结合律5.练习5.如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边上的中点，记bADaDE==,用含ba,的式子表示BEEA,6.练习6：如图，已知四边形AECF是平行四边形，E、F在BD上，并且BE=FD，求证:四边形ABCD是平行四边形.提问：除了用几何证明方法解决外，能否用向量的方法来证明?向量加、减法法则和运算律化简算式建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，强化“数形结合思想”二、课堂小结1.本节课复习了平面向量的哪些内容？2.通过这节课的学习，谈谈你对每一题的收获和疑惑？通过对所学知识的小结，培养学生的概括，总结能力，同时可以对本节课知识梳理。
一、必做题：1.练习册：P62 第13 题及P63 第3题2.判断：EABEFCD三、布置作业（1）平行向量的方向一定相同。
