【名师伴你行】2015届高考理科数学二轮复习专题提能专训23 第23讲 导数的简单应用与定积分

专 题
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热 分的性质及微积分基本定理，能熟练应用定积分求平面图形的面
点
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考 积．
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第一部分 专题一 第5讲 第20页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 ·理
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题
热点考向突破
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名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 ·理
都有 f(x)<f(x0) ，那么 f(x0)是函数的一个极大值，记作 y ＝ 极大值
专
f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点都有 f(x)>f(x0)，那么 f(x0)是函数
题 限
热 点
的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为 极值
．
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(4)函数的最值
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将函数 y＝f(x)在[a，b]内的 各极值 与
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第5讲 导数的简单应用及定积分
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高考真题体验
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[主干整合]

提能专训(十二) 与数列交汇的综合问题一、选择题1．(2014·某某实验中学)若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，且S 11＝22π3，则tan a 6的值为( )A. 3 B ．－ 3 C ．± 3 D ．－33[答案] B [解析] ∵S 11＝a 1＋a 11×112＝11a 6＝22π3，∴a 6＝2π3，∴tan a 6＝tan 2π3＝－ 3.2．(2014·某某二次联考)在△ABC 中，tan A 是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是________三角形( )A ．等腰直角B ．钝角C ．锐角D ．非等腰的直角[答案] C[解析] 依题意知，d ＝tan A ＝a 7－a 34＝4－－44＝2，q ＝tan B ＝3b 6b 3＝39÷13＝3. ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝2＋31－2×3＝－1<0，∴A ＋B 为钝角，故C 为锐角．易知A ，B 均为锐角． ∴△ABC 为锐角三角形．3．(2014·某某调研)等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，….且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．(n －1)2B ．(n ＋1)2C ．n (2n －1)D ．n 2[答案] D[解析] ∵等比数列{a n }满足a n >0，a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，∴a 5·a 2n －5＝(a n )2＝22n，∴a n＝2n.∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 3·…·a 2n －1)＝log 2(a n )n＝log 2(2n )n＝log 22n2＝n 2.4．计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1 101)2表示二进制数，将它转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数(11…114个01)2转换成十进制数是( )A ．216－1 B ．216－2 C ．216－3 D ．216－4[答案] C[解析] 由题意可得转化为十进制数为1×215＋1×214＋…＋1×22＋1×20＝1×215＋1×214＋…＋1×22＋1×2＋1×20－2＝216－3.故选C.5．(2014·某某5月适应性考试)数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为∏n ，且∏n ＝(2)n (n＋1)，则S 5等于( ) A ．31 B ．62 C ．124 D ．126[答案] B[解析] 因为∏n ∏n －1＝2n n ＋12n n －1＝2n (n ≥2)，所以a n ＝2n (n ≥2)，又a 1＝∏1＝(2)2＝2，所以a n ＝2n(n ∈N *)，即数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，则S 5＝2×1－251－2＝26－2＝62.故选B.6．(2014·浦东新区第一学期期末质量抽测)已知函数f (x )＝x 2x 2＋1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＋f (2 014)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＝( ) A ．2 01012B ．2 01112C ．2 01212D ．2 01312[答案] D[解析] 这种类型的求和问题，一般都是配对分组，观察式子的特征，研究发现f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1，因此把式子中f (k )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 合并使每个和都为1，共有2 013个1，而f (1)＝12，故结论为D.7．(2014·某某四校联考)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，令a n ＝f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，则S n ＝10时，n 的值是( )A ．110B ．120C ．130D ．140[答案] B[解析] 设f (x )＝x α，则4α＝2，α＝12，f (x )＝x ，1a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10得n ＝120，故选B.8．(2014·某某质检)已知函数f (x )＝(1－3m )x ＋10(m 为常数)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且a 1＝2，则数列{a n }前100项的和为( )A ．39 400B ．－39 400C ．78 800D ．－78 800[答案] B[解析] ∵a 1＝f (1)＝(1－3m )＋10＝2，∴m ＝3，∴a n ＝f (n )＝－8n ＋10，∴S 100＝－8(1＋2＋…＋100)＋10×100＝－8×101×1002＋10×100＝－39 400，故选B.9．(2014·某某、某某联考)如图，矩形A n B n D n 的一边A n B n 在x 轴上，另外两个顶点，D n在函数f (x )＝x ＋1x(x >0)的图象上．若点B n 的坐标为(n,0)(n ≥2，n ∈N *)，记矩形A n B n D n 的周长为a n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．208B ．216C ．212D ．220[答案] B[解析] 由B n (n,0)得⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，n ＋1n ，令x ＋1x ＝n ＋1n，即x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n x ＋1＝0，得x ＝n 或x＝1n，所以D n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n ＋1n .所以矩形A n B n D n 的周长a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＝4n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝4×(2＋3＋…＋10)＝216.10．(2014·某某一模)若数列{a n }，{b n }的通项公式分别是a n ＝(－1)n ＋2 013·a ，b n ＝2＋－1n ＋2 014n，且a n <b n 对任意n ∈N *恒成立，则常数a 的取值X 围是( )A ．(－2,1)B ．[－2,1)C ．(－2,1]D ．[－2,1][答案] B[解析] 由a n <b n ，得－(－1)n·a <2＋－1nn，要使其对任意n ∈N *恒成立，则当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a <2－12k －1恒成立，又⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1max＝1，所以a <2－1＝1；当n ＝2k (k ∈N *)时，－a <2＋12k 恒成立，又12k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，所以－a ≤2，得a ≥－2.综上所述，－2≤a <1.11．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f xg x＝a x，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f 1g 1＋f －1g －1＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n g n (n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7[答案] B [解析] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x ，因为f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′<0，即a x ln a <0，故0<a <1.由f 1g 1＋f －1g －1＝52，得a ＋1a ＝52，解得a ＝12.所以有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n g n (n ∈N *)是等比数列，其前n 项和S n ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋11－12＝3132，解得n ＝5.12．(2014·某某二模)设函数f (x )＝8x ＋sin πx －cos πx ，数列{a n }是公差不为0的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝14，则a 4＝( )A ．0 B.14C.12D ．1[答案] B[解析] 由题知[f (a 1)－2]＋[f (a 2)－2]＋…＋[f (a 7)－2]＝0，f (x )－2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＋2sin π⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14.令g (t )＝8t ＋2sin πt ，则g ′(t )＝8＋2πcos πt >0，g (－t )＝－g (t )， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－14＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－14＋…＋ga 7－14＝0. ∵数列{a n }是公差不为0的等差数列，∴不妨设a 1<a 2<…<a 7， 则a 1－14<a 2－14<…<a 7－14，假设⎝⎛⎭⎪⎫a 1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7－14>0， ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－14>－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7－14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－14>－g ⎝⎛⎭⎪⎫a 7－14，g ⎝⎛⎭⎪⎫a 1－14＋g ⎝⎛⎭⎪⎫a 7－14>0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－14＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－14＋…＋ga 7－14>0. 假设⎝⎛⎭⎪⎫a 1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7－14<0， 同理可得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－14＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－14＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7－14<0.综上，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7－14＝0，a 1＋a 7＝12，a 4＝14. 二、填空题13．(2014·某某六市统考)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝5，数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2×a nn ＋1(其中S n 为{a n }的前n 项和)，则f (a 6)＋f (a 7)＝________.[答案] －5[解析] 由题意，得S n ＝2a n ＋n ，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋n －(2a n －1＋n －1)＝2a n－2a n －1＋1，∴a n ＝2a n －1－1(n ≥2)⇒a n －1＝2(a n －1－1)，又a 1＝－1，∴数列{a n －1}是公比为2，首项为－2的等比数列．∴a n ＝－2n＋1.∴a 6＝－63，a 7＝－127.已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f 32－x ＝f (x )，∴f (x )是周期为3的函数．∴f (a 6)＋f (a 7)＝f (－63)＋f (－127)＝f (0)＋f (－1)＝f (2)＝－5.14．(2014·某某质检二)定义max{a ，b }表示实数a ，b 中的较大的．已知数列{a n }满足a 1＝a (a >0)，a 2＝1，a n ＋2＝2max{a n ＋1，2}a n(n ∈N *)，若a 2 014＝2a ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 014的值为________．[答案] 5 235[解析] ∵a 1＝a >0，a 2＝1，∴a 3＝4a ，a 4＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ≥2，8aa <2，a 5＝⎩⎪⎨⎪⎧2aa ≥2，4a <2，a 6＝a ，∴a 2 014＝a 402×5＋4＝a 4＝2a ＝4，∴a ＝2，∴S 2 014＝(2＋1＋2＋4＋4)×402＋2＋1＋2＋4＝5 235.15．(2014·某某三模)各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 7＝4，a 6＝8，若函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 10x 10的导数为f ′(x )，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．[答案]554[解析] 由题意，得公比q >0，且a n >0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 21q 6＝4，a 1q 5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，∴a n ＝14×2n－1＝2n －3，∴f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋10a 10x 9.∵na n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝n ×2n －3×21－n＝n 4，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14＋24＋…＋104＝10×112×14＝554. 16．(2014·某某一模)已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n≤B 对任意n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________．[答案]5972[解析] 根据题意，得S n ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ＝－3n －1－3n ，设C ＝S n －1S n ＝－3n －1－3n －－3n－3n－1＝－2×－3n＋1－32n －－3n ，令－2×(－3)n ＋1＝t ，则(－3)n ＝1－t 2，由于n ∈N *，所以当n 为奇数时(－3)n≤－3，t ≥7，当n 为偶数时(－3)n≥9，t ≤－17.则C ＝4t t 2－1＝4t －1t，在t ＝－17时取得最小值－1772，在t ＝7时取得最大值712，所以B －A 的最小值为712－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1772＝5972.三、解答题17．(2014·某某第一次质量预测)已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)，当x ＝－π3时取得最小值－4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝f (0)，a 4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .解：(1)由题意知x ＝－π3时f (x )取得最小值－4，∴A ＝4,4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2×π3＋φ＝－4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋φ＝－1，又0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)∵a 2＝f (0)，a 4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴a 4＝4，a 2＝2.设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝1，a 1＝1， ∴S n ＝n n ＋12， T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝21×2＋22×3＋…＋2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 18．(2014·某某第一次质量检测)已知函数f (x )＝x ＋1x(x >0)，以点(n ，f (n ))为切点作函数图象的切线l n (n ∈N *)，直线x ＝n ＋1与函数y ＝f (x )图象及切线l n 分别相交于A n ，B n ，记a n ＝|A n B n |.(1)求切线l n 的方程及数列{a n }的通项； (2)设数列{na n }的前n 项和为S n ，求证：S n <1.解：(1)对f (x )＝x ＋1x (x >0)求导，得f ′(x )＝1－1x2，则切线l n 的方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2(x －n )，即y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1n2x ＋2n.易知A n ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1，n ＋1＋1n ＋1， B n ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1，n ＋1＋n －1n 2， 由a n ＝|A n B n |知，a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＋1－n －1n 2＝1n 2n ＋1. (2)证明：∵na n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝a 1＋2a 2＋…＋na n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.19．(2014·某某七中3月模拟)设函数f (x )＝23＋1x(x >0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1，n ∈N *，且n ≥2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)对n ∈N *，设S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1，若S n ≥3t4n 恒成立，某某数t 的取值X 围．解：(1)由a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1，可得a n －a n －1＝23，n ∈N *，n ≥2.所以{a n}是等差数列．又因为a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13，n ∈N *.(2)因为a n ＝2n ＋13，所以a n ＋1＝2n ＋33，所以1a n a n ＋1＝92n ＋12n ＋3＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.所以S n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝3n 2n ＋3，n ∈N *.S n ≥3t 4n ，即3n 2n ＋3≥3t 4n ，得t ≤4n 22n ＋3(n ∈N *)恒成立．令g (n )＝4n 22n ＋3(n ∈N *)，则g (n )＝4n 22n ＋3＝4n 2－9＋92n ＋3＝2n ＋3＋92n ＋3－6(n ∈N *)．令p ＝2n ＋3，则p ≥5，p ∈N *.g (n )＝p ＋9p －6(n ∈N *)，易知p ＝5时，g (n )min ＝45.所以t ≤45，即实数t 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，45.。

此时 f (x) 在 (−∞,
− − − − − − 2 −a − √a − 3 ( 3 ,
上单调递增，在
− − − − − − 2 −a + √a − 3 , +∞) 3
− − − − − − 2 −a + √a − 3 ) 3
上单调递减，在 (
上单调递
增． II. 设函数 f (x) 在区间 (−
x (x) = − 1 + x
′
．
所以，在区间 (−1, 0) 上，f (x) > 0 ；在区间 (0, +∞) 上，f ′ (x) < 0 ． 故 f (x) 的单调递增区间是 (−1, 0) ，单调递减区间是 (0, +∞) ． 当 k > 0 时，令 f ′ (x) = 0 得
1 − k x 1 = 0, x 2 = > −1. k
k f (x) = ln (1 + x) − x + 2 x
2
2
(k ⩾ 0)
，求
f ( x)
的单调区间．
解 ：由题意
′
x (kx + k − 1) (x) = , x ∈ (−1, +∞) .
f
′
x (kx + k − 1) (x) = 1 + x , x ∈ (−1, +∞) .
当
k = 0
时，f ′
(1, +∞) 2 x − 1
，函数 f (x) 在 (−∞, 1) 上单调递减，在
上单调递减．
2. 已知函数 f (x) = x3 + ax2 + x + 1 ，a ∈ R ．
I. 讨论函数 f (x) 的单调区间；

提能专训(二十二) 导数的综合应用一、选择题1．(2014·江西八校联考)已知m 是区间[0,4]内任取的一个数，那么函数f (x )＝13x 3－2x 2＋m 2x ＋3在x ∈R 上是增函数的概率是( )A.14B.13C.12D.23 答案：C解析：∵f (x )＝13x 3－2x 2＋m 2x ＋3在R 上是增函数，∴f ′(x )＝x 2－4x ＋m 2≥0在R 上恒成立，∴Δ＝16－4m 2≤0，解得m ≤－2或m ≥2.又∵0≤m ≤4，∴2≤m ≤4. 故所求的概率为P ＝24＝12.2．(2014·辽宁五校联考)已知a ，b 是实数，且e<a <b ，其中e 是自然对数的底数，则a b 与b a 的大小关系是( )A ．a b >b aB ．a b <b aC ．a b ＝b aD ．a b 与b a 的大小关系不确定答案：A解析：构造辅助函数f (x )＝ln xx ，因为f ′(x )＝1－ln x x 2，所以在(e ，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )为减函数，则f (a )>f (b )，即ln a a >ln bb ，b ln a >a ln b ，ln a b >ln b a ，所以a b >b a .3．(2014·忻州联考)定义在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )<f ′(x )·tan x 成立，则( )A.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 B ．f (1)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin 1C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3答案：D解析：∵f (x )<f ′(x )·tan x ， 即f ′(x )sin x －f (x )cos x >0， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )sin x ′＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x >0， ∴函数f (x )sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增， 从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sin π3，即3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.4．(2014·浙江名校联考)若函数f (x )＝x cos x 在(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a 1，a 2，…，a n ，…，则对任意正整数n 必有( )A ．π<a n ＋1－a n <3π2 B.π2<a n ＋1－a n <π C ．0<a n ＋1－a n <π2 D ．－π2<a n ＋1－a n <0答案：B解析：f ′(x )＝cos x －x sin x ，令f ′(x )＝0，得1x ＝tan x ，函数y ＝1x与y ＝tan x 的图象如图所示，a n 与a n ＋1就是两个函数图象相邻交点的横坐标．由于函数y ＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，故随着n 的增加，a n 越来越接近其所在周期内的零点(y ＝tan x 的零点)，故a n ＋1－a n <π，又a n 与a n ＋1在各自周期内零点的右侧，因此a n ＋1－a n >π2，故选B.5．(2014·吉林长春第二次调研)设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 014)2f (x ＋2 014)－4f (－2)>0的解集为( )A ．(－∞，－2 012)B ．(－2 012,0)C ．(－∞，－2 016)D ．(－2 016,0)答案：C解析：由2f (x )＋xf ′(x )>x 2，x <0，得2xf (x )＋x 2f ′(x )<x 3，即[x 2f (x )]′<x 3<0，令F (x )＝x 2f (x )，则当x <0时，F ′(x )<0，即F (x )在(－∞，0)上是减函数，F (x ＋2 014)＝(2 014＋x )2f (x ＋2 014)，F (－2)＝4f (－2)，F (2 014＋x )－F (－2)>0，即F (2 014＋x )>F (－2)．又F (x )在(－∞，0)上是减函数，所以2 014＋x <－2，即x <－2 016，故选C.6．(2014·鄂尔多斯模拟)已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 答案：C解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ，由题意当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2＋(2－2a )·(－1)－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0， 解得a ≥34，选C.7．(2014·贵阳二中模拟)已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么函数f (x )的图象最有可能的是( )答案：A解析：当x <－2或x >0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当－2<x <0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．故选A.8．(2014·北大附中河南分校高考押题)函数f (x )＝2ln x ＋x 2－bx ＋a (b >0，a ∈R )的图象在点(b ，f (b ))处的切线斜率的最小值是( )A ．2 2B ．2 C. 3 D ．1 答案：A解析：∵f ′(x )＝2x ＋2x －b ， ∴f ′(b )＝2b ＋2b －b ＝2b ＋b ，∵b>0，∴f′(b)≥22b·b＝22，选A.9．(2014·重庆七校联考)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率是() A．2 B．1 C．3 D．－2答案：A解析：在f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8两边求导，得f′(x)＝2f′(2－x)×(－1)－2x＋8，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)×(－1)－2＋8，∴f′(1)＝2.10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象的是()答案：D解析：设h(x)＝f(x)e x，则h′(x)＝(2ax＋b)e x＋(ax2＋bx＋c)e x＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)e x.由x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，得当x＝－1时，ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1，x 2，则x 1x 2＝aa ＝1，D 中图象一定不满足该条件．11．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋cos x (x ≤0)，13x 3－4x ＋1(x >0)的零点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．无数个答案：B解析：当x ≤0时，f (x )＝x ＋cos x ，则f ′(x )＝1－sin x ≥0，故函数f (x )在(－∞，0]上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎪⎫－π2＝－π2＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫－π2＝－π2<0，f (0)＝0＋cos 0＝1>0，故函数f (x )在(－∞，0]上有1个零点；当x >0时，f (x )＝13x 3－4x ＋1，则f ′(x )＝x 2－4，令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝－2(舍)，则当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫143－4×14＋1＝1192>0，f (1)＝13－4＋1＝－83<0，故f (x )在(0,2)上只有1个零点；f (2)＝13×23－4×2＋1＝－133<0，f (4)＝13×43－4×4＋1＝193>0，故f (x )在(2，＋∞)上只有1个零点．综上，函数f (x )有3个零点．12．(2014·昆明质检)已知函数f (x )＝e x －ax －b ，若f (x )≥0恒成立，则ab 的最大值为( )A. e B ．e 2 C ．e D.e2答案：D解析：利用导数求解．当a ≤0时，函数f (x )＝e x －ax －b 在R 上单调递增，f (x )≥0不恒成立，所以a ≤0舍去．当a >0时，由f ′(x )＝e x －a ＝0解得x ＝ln a ，且当x <ln a 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >ln a 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以f (x )≥0恒成立，即f (x )min ＝f (ln a )＝a －a ln a －b ≥0，所以b ≤a －a ln a ，ab ≤a 2－a 2ln a ，a >0.令y ＝x 2－x 2ln x ，x >0，则y ′＝2x －2x ln x －x ＝x (1－2ln x )，x >0，由y ′＝0解得x ＝e ，且x ∈(0，e)时，y ′>0，函数y ＝x 2－x 2ln x 单调递增；x ∈(e ，＋∞)时，y ′<0，函数y ＝x 2－x 2ln x 单调递减．所以当x ＝e 时，函数y ＝x 2－x 2ln x 取得最大值e －12e ＝12e ，所以ab ≤a 2－a 2ln a ≤12e ，即ab 的最大值是12e ，故选D.二、填空题13．(2014·南京盐城二模)表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为________．答案：1∶2解析：因为12π＝2πrh ＋2πr 2，则rh ＋r 2＝6，所以V ＝πr 2h ＝πr (6－r 2)，0<r < 6.由V ′＝π(6－3r 2)＝0得r ＝ 2.当0<r <2时，V ′>0，当2<r <6时，V ′<0，所以当r ＝2时，V 取极大值，也是最大值，此时h ＝22，r ∶h ＝1∶2.14．(2014·青岛一模)如果对定义在R 上的函数f (x )，以任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝－x 3＋x ＋1；②y ＝3x －2(sin x －cos x )；③y ＝e x ＋1；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0. 以上函数是“H 函数”的所有序号为________． 答案：②③解析：因为x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，即(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，所以函数f (x )在R 上是增函数．由y ′＝－3x 2＋1>0，得－33<x <33，即函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫－33，33上是增函数，故①不是“H 函数”；由y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥3－22>0恒成立，所以②为“H函数”；由y ′＝e x >0恒成立，所以③为“H 函数”；由于④为偶函数，所以不可能在R 上是增函数，所以不是“H 函数”．综上可知，是“H 函数”的有②③. 三、解答题15．(2014·湖南怀化一模)已知函数f (x )＝ax ＋b ln x ＋c (a ，b ，c 是常数)在x ＝e 处的切线方程为(e －1)x ＋e y －e ＝0，且f (1)＝0.(1)求常数a ，b ，c 的值；(2)若函数g (x )＝x 2＋mf (x )(m ∈R )在区间(1,3)内不是单调函数，求实数m 的取值范围．解：(1)由题设，知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋bx .∵f (x )在x ＝e 处的切线方程为(e －1)x ＋e y －e ＝0， ∴f ′(e)＝－e －1e ，且f (e)＝2－e ，即a ＋be ＝－e －1e ，且a e ＋b ＋c ＝2－e. 又f (1)＝a ＋c ＝0，解得a ＝－1，b ＝1，c ＝1. (2)由(1)知f (x )＝－x ＋ln x ＋1(x >0)， ∴g (x )＝x 2＋mf (x )＝x 2－mx ＋m ln x ＋m (x >0)， ∴g ′(x )＝2x －m ＋m x ＝1x (2x 2－mx ＋m )(x >0)． 令d (x )＝2x 2－mx ＋m (x >0)．①当函数g (x )在(1,3)内有一个极值时，g ′(x )＝0在(1,3)内有且仅有一个根，即d (x )＝2x 2－mx ＋m ＝0在(1,3)内有且仅有一个根．又∵d (1)＝2>0，∴当d (3)＝0，即m ＝9时，d (x )＝2x 2－mx ＋m ＝0在(1,3)内有且仅有一个根x ＝32；当d (3)≠0时，应有d (3)<0，即2×32－3m ＋m <0，解得m >9.∴m ≥9.②当函数g (x )在(1,3)内有两个极值时，g ′(x )＝0在(1,3)内有两个根，即二次函数d (x )＝2x 2－mx ＋m ＝0在(1,3)内有两个不等根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4×2×m >0，d (1)＝2－m ＋m >0，d (3)＝2×32－3m ＋m >0，1<m 4<3，解得8<m <9.综上，实数m 的取值范围是(8，＋∞)． 16．已知函数f (x )＝1－a ＋ln xx ，a >0. (1)求f (x )的极值；(2)当a ＝1时，若不等式f (x )－k <0在(0，＋∞)上恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a －ln xx 2，令f ′(x )＝0得x ＝e a ， 当x ∈(0，e a )，f ′(x )>0，f (x )为增函数； 当x ∈(e a ，＋∞)，f ′(x )<0，f (x )为减函数． 可知f (x )有极大值为f (e a )＝e －a .(2)由于a ＝1，所以不等式f (x )－k <0在区间(0，＋∞)上恒成立，即ln x x <k 在(0，＋∞)上恒成立，设g (x )＝ln xx (x >0)．由(1)知，g (x )在x ＝e 处取得最大值1e ， ∴k >1e .即k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.17．已知函数f (x )＝e x－12x 2－ax (a ∈R )．(1)若函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；(2)若函数在R 上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f ′(x )＝e x －x －a ，∴f ′(0)＝1－a . 由题知1－a ＝2，解得a ＝－1. ∴f (x )＝e x－12x 2＋x .∴f (0)＝1.于是1＝2×0＋b ，解得b ＝1. (2)由题意得f ′(x )≥0， 即e x －x －a ≥0恒成立， ∴a ≤e x －x 恒成立．设h (x )＝e x －x ，则h ′(x )＝e x －1.当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：∴min ∴a ≤1.即a 的取值范围是(－∞，1]．18．(2014·浙江名校联考)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e](其中e 是自然对数的底数)．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间与极值；(2)求函数f (x )在区间(0，e]上的最小值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x －ln x ，所以f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，所以f (x )的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，e]， 所以f (x )的极小值为f (1)＝1，没有极大值．(2)记g (a )为函数f (x )在区间(0，e]上的最小值．f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ，当a ≤0时，f ′(x )<0，所以f (x )在区间(0，e]上单调递减， 所以g (a )＝f (e)＝a e －1.当0<a ≤1e 时，f ′(x )≤0，所以f (x )在区间(0，e]上单调递减，所以g (a )＝f (e)＝a e －1.当a >1e 时，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增， 所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a .综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a e －1，a ≤1e ，1＋ln a ，a >1e .。