实数大小比较的常用方法

实数的大小比较的常用方法
一、法则法
比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而
小。

例1 比较与5的大小。
析解：由于5|5|,||，且5，所以5。
说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正
数进行比较。
二、平方法
用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有：baba22。
例2 比较73与37的大小。
析解：由于147)37(,63)73(22，而14763，所以3773。
说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的
是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。

三、数形结合方法
用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表
示的数大。
例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、－a、b、－b、c、－
c的大小。

析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点画
出来，容易得到结论：.cbaabc

四、作差法：
差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据
当a－b﹥0时，得到a﹥b。
当a－b﹤0时，得到a﹤b。
当a－b＝0，得到a=b。

例1：（1）比较与的大小。 （2）比较1－与1－的大小。
解 ∵－＝＜0 ， ∴＜。
解 ∵（1－）－（1－）=＞0 ， ∴1－＞1－。
例2、比较的大小。
解析：因为，所以。
五、作商法

比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b有：;ba1ba;ba1ba.ba1ba来比较
a与b的大小。

例1：比较与的大小。
解：∵÷=＜1 ∴＜
例2 比较1200812008222111与1200812008333222的大小。
析解：设1200812008n,1200812008m333222222111，
111
2008a
，则,2008a,2008a33332222

,nm,11a2a1aaanm,1a2a1aaa,a2aa,0)1a(aa2aa,1a2a1aaa1a1a1a1anm,1a1an,1a1am2434434232232434232322














即.12008120081200812008333222222111
例3：比较20102009与20092008的大小
解：20102009÷20092008=20102009×20082009=40360804036081﹤1
所以20102009﹤20092008

六、倒数法
倒数法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据当＞
时，a＜b。来比较a与b的大小。
例1：比较－与－的大小。

解∵=+ ， =+
又∵+＜+
∴－＞－
例2、已知a﹥1,b﹥2,试比较12aa与23ab的大小
解：aa12=aa2+a1=2+a1 因为a﹥1，所以2+a1﹤3

ba23=bb3+b2=3+b2因为b﹥2，所以3+b
2
﹥3

因为aa12﹤ba23 所以12aa﹥23ab
例3、设，则a、b、c的大小关系是（ ）。
A、a>b>c B、a>c>b C、c>b>a D、b>c>a
解析：当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时，可选用倒数法。

首先，，
，因为，所以，
则b>c。又因为，所以，则a>b。由此可得：a>b>c。故选A。
七、平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由＞得
到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。
例5：比较与的大小
解：， =8+2。
又∵8+2＜8+2 ∴＜。
八、估算法
估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值
范围，再进行比较。

例4：比较与的大小
解：∵3＜＜4 ∴－3＜1 ∴＜
九．比较被开方数法。

基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a的大小，可先把根号外的因数a与c
平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。

例6：比较2与3的大小
解：∵2==，3==。
又∵28＞27， ∴2＞3。
十、特殊值法
比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。

例1：当时，，，的大小顺序是______________。
解：（特殊值法）取=，则：=，=2。
∵＜＜2，∴＜＜。
例2、已知xA、M

解析：根据条件，不妨设，则M=4，N=1，。不难得到：N应选D。
例3、已知a﹥1,b﹥2,则12aa______23ab (填﹥、﹤或=)
分析：为填空题，可用赋值法。取a=2，b=3代入，52﹥113 所以填入“﹥〉”。

例4 设a＝20，b＝(－3)2，c＝，d＝，则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确
的是（ ）
A.c＜a＜d＜b B.b＜d＜a＜c C.a＜c＜d＜b D.b＜c＜a＜d
分析 可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.

解 因为a＝20＝1，b＝(－3)2＝9，c＝＝－，d＝＝2，而－＜1＜2＜9，所
以c＜a＜d＜b.故应选A.
除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比
较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结
果。
十一、 中间值法（还是判不了，就把中人找）
如果a比该数大时，可选用此法。

例1、比较的大小。
解析：因为，所以。所以，即
。
例2、比较−3.55和−943的大小
解: −3.55﹤−3.5 −943﹥−95.43 即−943﹥−3.5
所以−3.55﹤−3.5﹤− 943 即−3.55﹤−
9

4
3
十二、分子有理化法
例14、比较的大小。

解析：，
。
因为，故，所以。

（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）