两角和与差的正弦、余弦和正切公式【学习目标】1．能以两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.【要点梳理】要点一：两角和的余弦函数两角和的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()C αβ+要点诠释：(1)公式中的αβ、都是任意角；(2)和差角的余弦公式不能按分配律展开，即()cos cos cos αβαβ±≠±；(3)公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由cos50cos 20sin 50sin 20︒︒+︒︒能迅速地想到()cos50cos 20sin 50sin 20cos 5020cos30︒︒+︒︒=︒-︒=︒=； (4)第一章所学的部分诱导公式可通过本节公式验证；(5)记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反.要点二：两角和与差的正弦函数两角和正弦函数sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ ()S αβ+在公式()S αβ+中用β-代替β，就得到：两角差的正弦函数sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- ()S αβ-要点诠释：(1)公式中的αβ、都是任意角；(2)与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即()sin sin sin αβαβ±≠±；(3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如()sin 2sin2cos cos2sin 0cos 1sin sin παπαπαααα-=-=⨯-⨯=-当α或β中有一个角是2π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便； (4)使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简()()sin cos cos sin αββαββ+-+时，不要将()sin αβ+和()cos αβ+展开，而应采用整体思想，进行如下变形：()()()sin cos cos sin sin sin αββαββαββα+-+=+-=⎡⎤⎣⎦这也体现了数学中的整体原则.(5)记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同.要点三：两角和与差的正切函数利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角关系式推导.sin()sin cos cos sin tan tan tan()cos()cos cos sin sin 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+-- sin()sin cos cos sin tan tan tan()cos()cos cos sin sin 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ----===-++ ∴tan()αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+- ()T αβ+ tan()αβ-=tan tan 1tan tan αβαβ-+ ()T αβ- 要点诠释：(1)公式成立的条件是：,,Z 2222k k k k k ππππαπβπαβπαβπ≠+≠++≠+-≠+∈或，其中；(2)公式的变形：()tan tan tan()1tan tan αβαβαβ+=+-()tan tan tan()1tan tan αβαβαβ-=-+(3)两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如()tan tan tan()1tan tan αβαβαβ+=+-就可以解决诸如tan 25tan 20tan 25tan 20︒+︒+︒︒的求值问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.(4)公式对分配律不成立，即()tan tan tan αβαβ±≠±.要点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键．（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．,αβ中若有为2π的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开．2．重视角的变换三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：();()ααββαββα=+-=--；(2)()ααβαβ=---；[]1()()2ααββα=+--等，常见的三角变换有：切化弦、221sin cos αα=+等．要点五：辅助角公式1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形：sin cos a x b x +x x ⎫+⎪⎭令cos ϕϕ==sin cos a x b x +)sin cos cos sin x x ϕϕ+)x ϕ+（其中ϕ角所在象限由,a b 的符号确定，ϕ角的值由tan b a ϕ=确定，或由sin ϕ=和cos ϕ=）2．辅助角公式在解题中的应用通过应用公式sin cos a x b x +)x ϕ+（或sin cos a x b x +)αϕ-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一个三角函数)x ϕ+（或)αϕ-）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．【典型例题】类型一：两角和与差的三角函数公式的正用例1．已知4sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5cos 13β=-，β是第三象限角，求cos()αβ+、sin()αβ+、sin()αβ-的值．举一反三：【变式1】已知12sin 13θ=，θ是第二象限角，求cos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭π、cos 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π、sin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π和sin 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭π的值．例2．（1）21tan(),tan(),54αβαβ+=-=求tan 2α的值； （2）已知3312,,,sin(),sin(),45413ππαβπαββ⎛⎫∈+=--= ⎪⎝⎭求cos()4πα+的值．举一反三：【高清课堂：两角和与差的三角公式401863 例6 】【变式1】已知α与β均为锐角，3cos 5=α，5cos()13+=-αβ，求cos β类型二：两角和与差的三角函数公式的逆用及变形应用例3．计算下列各式的值：（1）cos12cos18sin12sin18-；（2；（3）tan17tan28tan17tan28︒+︒+︒︒．举一反三：【变式1】求下列各式的值：（1）cos15°cos105°+sin15°sin105°；（2）sin xsin(x+y)+cos xcos(x+y)．（3）1tan15 1tan15 -︒+︒【变式2】求值：sin7cos15sin8 cos7sin15sin8︒+︒︒︒-︒︒类型三：两角和与差的三角函数在三角形中的应用例4．在非直角△ABC中，（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；（2）若2B=A+C，且tan tan2A C=ABC的三内角的大小．举一反三：【变式1】在△ABC 中，3sin 5A =，5cos 13B =，求cosC ．类型四：辅助角公式的应用例5．将下列各式化成sin()A x ϕ+的形式．（1）sin x+cos x ；（2cos )x x -；（3）444x x ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．举一反三：【变式1】求函数()sin f x x x =的最值、周期【变式2】已知函数.,2cos 32sin R x x x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合；（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象.。
