2011年浙江高考数学理科试卷(带详解)

分离变量法解2011年高考数学浙江卷最后一题泽普二中数学组王永高设函数2()()ln ,f x x a x a R =-∈（1）若x e =为()y f x =的极值点，求实数a .（2）求实数a 的取值范围，使得对任意的(0,3]x e ∈，恒有2()4f x e ≤成立.注：e 为自认对数的底数.解：（1）由题意，得2()()ln (0)f x x a x x =->，则21()2()ln ()f x x a x x a x '=-+-∙ 因为x e =为()f x 的极值点，所以()0f e '=.即:212()ln ()0e a e e a e -+-∙=. ()(3)0a e a e --=.所以a e =或3a e =.这里需要检验a 的值,但是参考答案只是很简单的三个字:经检验,怎样检验?当a e =时,2()()2()ln x e f x x e x x -'=-+=2()(ln )2x e x e x x-+-- 这里为什么这样变形呢?主要是由于导函数的零点不好求,想通过构造两个函数,通过它们的图像去分析零点,所以代数中一些常见的变形要非常熟练.设12ln ,2x e y x y x-+==,下面作两个函数12,y y 的图像.设两个函数图像交点横坐标是1x ,下面列表格说明(),()f x f x '的关系.所以a e =是符合题意的.同理3a e =也符合题意.综上,a e =或3a e =上面作图涉及到对数函数和一次分式函数的图像,一次分式函数图像虽然教材没有讲到,只是通过平移讲了一下,但是我认为要快速的作出,主要是把握两条渐进线,再选取一个点,确定双曲线的位置.作图能力和运算能力如果过关的话,我想高考数学120分是没有问题的,现在的学生就差这两样. 好了,下面开始第(2)问.(2)也是一个不等式恒成立的问题,这是高考数学一个永恒的话题.无非两种方法,我写过2010年新课标的最后一题,那一题是用讨论所求变量的范围,那样做要好些.本题如果讨论a 的范围就不好了,因为参考答案是这样做的,很繁琐,逻辑性太强.本题我用的是分离变量法,初看你会觉得不好分离,但是分离后你会觉得很好做.看来做题还是不能停留在思维层面上,动手也很重要.有一句话说的好,偏向虎山行,做难题就要多尝试,要敢于尝试.由题意,2()4f x e ≤,即22()ln 4x a x e -≤对于(0,3]x e ∈恒成立. 这里注意到(0,1]x ∈时,ln 0x ≤,左边不大于0,故不等式恒成立.做到这里,需要有敏锐的观察力,这也是本题的一个得分点.我想这样的得分应该是不会做也要得分的那种,对于压轴题绝不能空着,一定要把踩分点写上.下面分析(1,3]x e ∈的情况.此时,ln 0x >,故不等式可变形为:224()ln e x a x -≤,两边开方,x a -≤即:x a -≤-≤ 即:()a x g x ≤+=,且()a x h x ≥-= 这里分离变量后,给已知变量所在函数起个名称,方便表达. 下面求()g x 的最小值和()h x 的最大值.研究()g x和()h x的单调性.21()1lneg xx x'=-∙∙=由于()0g e'=,得()g x与()g x'的关系所以()g x最小值为()3g e e=,所以3a e≤21()10lneh xx x'=+∙∙>,从而()h x在(1,3]e上是增函数,()h x最大值为(3)3h e e=-所以3a e≥-综上33e a e-≤≤总结:这里()g x,()h x的求导有点复杂,但是如果对课本上的几种基本结构掌握的好的话,应该没有问题,这里分离两个变量,需要对代数里的变形要熟悉,特别是,不等式的开方,要求两边都为正,有些学生就是不注意到这一点,只管开方,不管两边是否为正,导致出现问题.。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1)复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数、又在(0,)+∞单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ）45-（B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的 侧视图可以为（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 （9）由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P （11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π,且()()f x f x -=,则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于 （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 。

浙江省2011年高考名师名校交流卷（十）数学（理）试题本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字亦的签字笔或钢笔镇写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式棱台的体积公式S = 4πR 2)2211(31S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1, S 2分别表示棱台的上.下底面积, h 表示棱台 V =34πR 3的高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1、【原创】已知集合{}{}{}0,1,2,3,|2,,0,2,4A B x x a a A C ===∈=则（ ） A ．AB C = B ．A B C ⊃ C ．A B C = D ．A B C ⊂2、【原创】α为锐角是sin cos 1αα+>的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3、【原创】如图，有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)理科数学 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题有且只有一个选项是符合题目要求的. 1. 复数212ii+-的共轭复数是 ( )A. 35i -B.35iC. i -D. i2. 下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)单调递增的函数是()A. 3y x =B. ||1y x =+C. 21y x =-+D. ||2x y -=3. 执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 ()A. 120B. 720C. 1440D. 50404. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )A.13B.12C.23D.345. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=( )A. 45-B. 35-C.35D.456. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为 (7.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A、B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ( )A.B.C. 2D. 38. 51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A. －40B. －20C. 20D. 40（A ） （B ） （C ） （D ）9. 由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 ( )A.103B. 4C.163D. 610. 已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：1p ：2||1[0,)3a b πθ+>⇔∈； 2p ：2||1(,]3a b πθπ+>⇔∈； 3p ：||1[0,)3a b πθ->⇔∈；4p ：||1(,]3a b πθπ->⇔∈.其中的真命题是( )A. 1p ，4pB. 1p ，3pC. 2p ，3pD. 2p ，4p11. 设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0ω>，||2πϕ<)的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则()A. ()f x 在(0，2π)单调递减 B. ()f x 在(4π，34π)单调递减 C. ()f x 在(0，2π)单调递增D. ()f x 在(4π，34π)单调递增 12. 函数11y x=-的图像与函数2sin y x π=(24x -≤≤)的图像所有交点的横坐标之和等于 ()A. 2B. 4C. 6D. 8第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为.14. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，. 过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，且△2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 .15. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB =，BC =O ABCD -的体积为 .16. 在△ABC 中，60B =︒，AC =2AB BC +的最大值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =. (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)设3132log log n b a a =++…3log n a +，求数列1{}nb 的前n 项和.18. (本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， ∠60D AB =︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD . (I)证明：PA ⊥BD ；(II)若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值.CD P某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品. 现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表(I)分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；(II)已知用B配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t的关系式为2,942,941024,102ty tt-<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩. 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望. (以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)20. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点(0,1)A-，B点在直线3y=-上，M点满足MB∥OA，MA·AB=MB·BA，M点的轨迹为曲线C.(I)求C的方程；(II)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值.已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1，(1)f )处的切线方程为230x y +-=. (I)求a ，b 的值；(II)如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围.22. (本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合. 已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根.(I)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(II)若∠90A =︒，且4m =，6n =，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径.23. (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P点的轨迹为曲线2C . (I)当求2C 的方程；(II)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB .AC .E.24. (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设函数()||3a>.f x x a x=-+，其中0(I)当1a=时，求不等式()32≥+的解集；f x x(II)若不等式()0x x≤-，求a的值.f x≤的解集为{|1}2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)理科数学参考答案一．选择题 （1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D（9）C（10）A（11）A（12）D二．填空题 （13）6-（14）221168x y +=（15） （16）三．解答题 （17）解：（I ）设数列{}n a 的公比为q . 由23269a a a =得22349a a =，所以219q =.由条件可知0q >，故13q =.由12231a a +=得11231a a q +=，所以113a =.故数列{}n a 的通项公式为13n na =. （II ） 31323log log log n nb a a a =+++()()1122n n n +=-+++=-.故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 121111111122122311n n b b b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+. （18）解：（I ）因为60D AB ∠=︒，2AB AD =，由余弦定理得BD =. 从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥.又PD ⊥底面ABCD ，可得BD PD ⊥. 所以BD ⊥平面PAD. 故PA BD ⊥.（II ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，则 ()1,0,0A ，()B ，()0C -，()0,0,1P()AB =-，()1PB=-，()1,0,0BC =-设平面PAB 的法向量为(),,x y z =n ，则0AB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即00x z ⎧-=⎪-=.因此可取=n .设平面PBC 的法向量为m ，则00PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，可取(0,1,m =-.cos ,〈〉==m n .故二面角A PB C --的余弦值为. （19）解：（I ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为2280.3100+=，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.（II ）用B 配方生产的100件产品中，其质量指标落入区间[)90,94，[)94,102，[]102,110的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此()20.04P X =-=，()20.54P X ==,()40.42P X ==.即X 的分布列为则X 的数学期望20.0420.5440.42 2.68EX =-⨯+⨯+⨯=. （20）解：（I ）设(),M x y ，由已知得(),3B x -，()0,1A -. 所以(),1,MA x y =---，()0,3,MB y =--，(),2AB x =-. 再由题意可知()0MA MB AB +⋅=，即()(),4,2,20x y x ---⋅=. 所以曲线C 的方程为2124y x =-. （II ）设()00,P x y 为曲线21:24C y x =-上一点，因为12y x '=，所以l 的斜率为012x .因此直线l 的方程为()00012y y x x x -=-，即2000220x x y y x -+-=.则O 点到l的距离d . 又200124y x =-，所以2014122x d +⎫=≥ 当00x =时取等号，所以O 点到l 的距离的最小值为2. （21）解：（I ）()()221ln 1x a x b x f x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点()1,1，故()()11112f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩即 1122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得1a =，1b =. （II ）由（I ）知()ln 11x f x x x=++，所以 ()()()2211ln 12ln 11k x x k f x x x x x x⎛⎫--⎛⎫⎪-+=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭考虑函数()()()()2112ln 0k x h x x x x--=+>，则()()()22112k x xh x x -++'=（i ）设0k ≤，由()()()22211k x x h x x +--'=知，当1x ≠时，()0h x '<. 而()10h =，故当()0,1x ∈时，()0h x <，可得()2101h x x >-； 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，可得()2101h x x >- 从而当0x >，且1x ≠时，()ln 01x k f x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，即()ln 1x k f x x x ⎛⎫>+ ⎪-⎝⎭.（ii ）设01k <<，由于当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()()21120k x x -++>，故()0h x '>，而()10h =，故当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()0h x >，可得()2101h x x<-，与题设矛盾. （iii ）设1k ≥，此时()0h x '>，而()10h =，故当()1,x ∈+∞时，()0h x >，得()2101h x x <-，与题设矛盾. 综合得，k 的取值范围为(],0-∞. （22）解：（I ）连结DE ，根据题意在ADE ∆和ACB ∆中，AD AB m n AE AC ⨯==⨯， 即AD AEAC AB=. 又DAE CAB ∠=∠，从而ADE ∆∽ACB ∆. C因此ADE ACB ∠=∠. 所以C ，B ，D ，E 四点共圆.（II ）4m =，6n =时，方程2140x x mn -+=的两根为12x =，212x =. 故2AD =，12AB =.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH . 因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于90A ∠=︒，故//GH AB ，//HF AC ，从而5HF AG ==，()112252DF =-=. 故C ，B ，D ，E四点所在圆的半径为 （23）解：（I ）设(),P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩. 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数).(II)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=，所以12AB ρρ=-=. （24）解：（I ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为12x -≥由此可得3x ≥或1x ≤-，故不等式()32f x x ≥+的解集为{3x x ≥或}1x ≤-. （II ）由()0f x ≤得30x a x -+≤ 此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x aa x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩.由于0a >，所以不等式组的解集为2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎭⎩.由题设可得12a-=-，故2a =.。