2020届高考数学大二轮复习层级二专题六概率与统计第2讲概率与统计的综合应用课时作业

层级二 专题六 第2讲 概率与统计的综合应用(文) 限时50分钟 满分76分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1.

(2020·吉林百校联盟联考)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象地表达了阴阳轮转，展现了一种相互转化、相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐

标系中，圆O被y＝3sinπ6x的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( ) A.136 B.118

C.112 D.19 解析：B [由题意，所求事件的概率模型是一个与面积相关的几何概型． 由图可知，大圆的直径等于函数y＝3sinπ6x的周期T.

设大圆的半径为R，则R＝T2＝12×2ππ6＝6，

则大圆面积为S1＝πR2＝36π. 两个小圆的半径都为1，故其面积和为S2＝π×12×2＝2π，

由几何概型可得，所求事件的概率P＝2π36π＝118.故选B.] 2．(课标全国Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )

A.13 B.12

C.23 D.56 解析：C [从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白 色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率P＝46＝23，故选C.] 3．(2020·海口模拟)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课时间为7：50～8：30，课间休息10分钟，某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是( )

A.15 B.14

C.13 D.12 解析：B [他在8：50～9：30之间随机到达教室，区间长度为40，他听第二节课的时间不少于20分钟，则他在8：50～9：00之间随机到达教室，区间长度为10，所以他在8：50～

9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是1040＝14.] 4．(2019·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )

A.16 B.14

C.13 D.12 解析：D [本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数

相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12.故选D.] 5．(2020·保定模拟)甲、乙、丙三名同学6次数学成绩及班级平均分(单位：分)如表所示： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 95 87 92 93 87 94 乙 88 80 85 78 86 72 丙 69 63 72 71 74 74 全班 88 72 81 80 75 77 则下列说法错误的是( ) A．甲同学的数学成绩高于班级平均水平，且较稳定 B．乙同学的数学成绩平均值是81.5分 C．从丙同学前4次的数学成绩中随机抽取2次，这2次中至少有1次成绩超过70分的 概率为56 D．在6次数学成绩中，乙同学成绩超过班级平均分的概率为12 解析：D [由统计表知，甲同学的数学成绩高于班级平均水平，且较稳定，故A正确；乙同学的数学成绩平均值是16×(88＋80＋85＋78＋86＋72)＝81.5，故B正确；从丙同学前4次的数学成绩中随机抽取2次的所有可能情况为(69,63)，(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，)(72,71)，共6种，至少有1次成绩超过70分的情况为(69,72)，(69,71)，(63,72)，

(63,71)，(72,71)，共5种，故所求概率为56，故C正确；在6次数学成绩中，乙同学成绩超

过班级平均分的次数为2，所以超过班级平均分的概率为13，故D不正确．故选D.] 6．(2019·潍坊三模)某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润．从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为( )

A.19 B.110 C.15 D.18 解析：B [当日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的3天，日销售量为21个的有2天．日销售量为20个的3天，分别记为a，b，c，日销售量为21个的2天，分别记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出

的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P＝110.] 二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分) 7．已知1,4,2,8，y这5个数的平均值为4，在2,0,1，y这4个数中随机取出3个不同的数，则2是取出的3个不同数的中位数的概率为________． 解析：由题意得4×5＝1＋4＋2＋8＋y，得y＝5，从数2,0,1,5中随机取出3个不同的数，有(2,0,1)，(2,0,5)，(0,1,5)，(2,1,5)，共4种不同情况，其中2是取出的3个不同

数的中位数的是(2,0,5)，(2,1,5)，共2种，∴对应的概率P＝24＝12.

答案：12 8．(2019·江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________． 解析：计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环．在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，设3名男同学为A1、A2、A3,2名女同学为B1、B2，则从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，A1A2、A1A3、A1B1、A1B2、A2A3、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2、B1B2共10种情况． 若选出的2名学生恰有1名女生，有A1B1、A1B2、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2共6种情况， 若选出的2名学生都是女生，有B1B2共1种情况，

所以所求的概率为6＋110＝710.

答案：710 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 9．(2020·武汉模拟)某公司为了提高利润，从2013年至2019年每年都对生产环节的改进进行投资，投资金额x(单位：万元)与年利润增长量y(单位：万元)的数据如表：

年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 投资金额x/万元 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 年利润增长量y/万元 6.0 7.0 7.4 8.1 8.9 9.6 11.1 (1)请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程．如果2020年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长量为多少？(结果保留两位小数) (2)现从2013年至2019年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长量－投资金额，求这两年都是λ＞2万元的概率． 解析：(1)x＝6，y＝8.3,7x y＝348.6， a^＝y＝b^x＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13，

所以回归直线方程为y^＝1.57x－1.13. 将x＝8代入方程得y^＝1.57×8－1.13＝11.43， 即该公司在该年的年利润增长量大约为11.43万元． (2)由题意可知， 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 λ/万元 1.5 2 1.9 2.1 2.4 2.6 3.6

2013年至2019年这7年分别记为1,2,3,4,5,6,7，则总的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共21种， 抽出的两年都是λ＞2万元的情况为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共6种，

所以抽出的两年都是λ＞2万元的概率P＝621＝27. 10．(2019·北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额 支付方式 不大于2 000元 大于2 000元 仅使用A 27人 3人 仅使用B 24人 1人 (1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数； (2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率； (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由． 解析：本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．(1)由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人， 由题意知A，B两种支付方式都不使用的有5人， 所以样本中两种支付方式都使用的有100－30－25－5＝40，

所以全校学生中两种支付方式都使用的有40100×1 000＝400(人)． (2)因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2 000元， 所以该学生上个月支付金额大于2 000元的概率为125.

(3)由(2)知支付金额大于2 000元的概率为125， 因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元， 依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多．