2018年秋北师大版八年级上册数学第一章勾股定理同步练习含答案

专题02 勾股定理求最短路径长度问题【专题说明】求最短距离的问题,第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形,将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中,然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形,将立体图形展开为平面图形,在平面图形中将路程转化为两点间的距离,然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)． 一、通过计算比较解最短问题1、如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人从A 走到B,为了避免拐角C 走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m),却踩伤了花草．(第1题)【答案】4[来2、小明听说“武黄城际列车”已经开通,便设计了如下问题：如图,以往从黄石A 坐客车到武昌客运站B,现在可以在黄石A 坐“武黄城际列车”到武汉青山站C,再从青山站C 坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB ＝80 km,BC ＝20 km,∠ABC ＝120°.请你帮助小明解决以下问题：(1)求A,C 之间的距离．(参考数据：21≈4.6)(2)若客车的平均速度是60 km/h,市内的公共汽车的平均速度为40 km/h,“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h,为了在最短时间内到达武昌客运站,小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)解：(1)如图,过点C 作AB 的垂线,交AB 的延长线于点E.∵∠ABC ＝120°,∴∠BCE ＝30°. 在Rt △CBE 中,∵BC ＝20 km, ∴BE ＝10 km.由勾股定理可得CE ＝10 3 km.在Rt △ACE 中,∵AC 2＝AE 2＋CE 2＝(AB ＋BE)2＋CE 2＝8 100＋300＝8 400, ∴AC ＝2021≈20×4.6＝92(km)．(2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车所需时间为8060＝113(h),乘“武黄城际列车”所需时间约为92180＋2040＝1190(h)．∵113>1190,∴选择乘“武黄城际列车”．二、用平移法求平面中最短问题1、如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别是50 cm,30 cm,10 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只壁虎,它想到B点去吃可口的食物,请你想一想,这只壁虎从A点出发,沿着台阶面爬到B点,至少需爬( )A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm【答案】C点拨：将台阶面展开,连接AB,如图,线段AB即为壁虎所爬的最短路线．因为BC＝30×3＋10×3＝120(cm),AC＝50 cm,在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AB2＝AC2＋BC2＝16 900,所以AB＝130 cm.所以壁虎至少爬行130 cm.2、如图,已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°,且AB＝CD＝3,BC＝4,DE＝EF＝2,则AF的长是________．(第4题)【答案】10三、用对称法求平面中最短问题1、如图,正方形ABCD的边长为8,点M在DC上且DM＝2,N是AC上的一动点,求DN＋MN的最小值．解：如图所示,∵正方形是轴对称图形,点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点,∴连接BN,BD,则直线AC即为BD的垂直平分线,∴BN＝ND.∴DN＋MN＝BN＋MN.连接BM交AC于点P,∵点N为AC上的动点,∴由三角形两边之和大于第三边,知当点N运动到点P时,DN＋MN＝BP＋PM＝BM,DN＋MN的最小值为BM的长度．∵四边形ABCD为正方形,∴BC＝CD＝8,CM＝8－2＝6,∠BCM＝90°,BM＝BC2＋CM2＝82＋62＝10.即DN＋MN的最小值为10.2、高速公路的同一侧有A,B两城镇,如图,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km,BB′＝4 km,A′B′＝8 km.要在高速公路上A′,B′之间建一个出口P,使A,B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．(第6题)解：如图,作点B关于直线MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则点P即为所建的出口．此时A,B两城镇到出口P的距离之和最小,最短距离为AC的长．作AD⊥BB′于点D,在Rt△ADC中,AD＝A′B′＝8 km,DC ＝6 km.∴AC＝AD2＋DC2＝10 km,∴这个最短距离为10 km.四、用展开法求立体图形中最短问题类型一、圆柱中的最短问题如图,已知圆柱体底面圆的半径为2π,高为2,AB,CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发,沿圆柱侧面爬行到C点,则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．(第7题)【答案】2 2点拨：将圆柱体的侧面沿AD剪开并铺平得长方形AA′D′D,连接AC,如图．线段AC就是小虫爬行的最短路线．根据题意得AB＝2π×2π×12＝2.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2＝AB2＋BC2＝22＋22＝8,∴AC＝8＝2 2.类型二、圆锥中的最短问题已知：如图,观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的物体,并把它沿AS剪开,铺在桌面上,则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C是SA的中点,在A处有一只蜗牛,在C处恰好有蜗牛想吃的食品,但它又不能直接沿AC爬到C处,只能沿此立体图形的表面爬行,你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)SA的长为10,侧面展开图的圆心角为90°,请你求出蜗牛爬行的最短路程．解：(1)圆锥(2)扇形(3)把此立体图形的侧面展开,如图所示,AC为蜗牛爬行的最短路线．(4)在Rt△ASC中,由勾股定理,得AC2＝102＋52＝125,∴AC＝125＝5 5.故蜗牛爬行的最短路程为5 5.类型三、正方体中的最短问题如图,一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当正方体木柜的棱长为4时,求蚂蚁爬过的最短路径的长．解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.(2)如图,AC ′1＝AC 1＝（4＋4）2＋42＝4 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4 5. 类型四、 长方体中的最短问题如图,长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm,8 cm,30 cm,在AB 的中点C 处有一滴蜜糖,一只小虫从E 处沿盒子表面爬到C 处去吃,求小虫爬行的最短路程．解：分为三种情况：(1)如图①,连接EC,在Rt △EBC 中,EB ＝12＋8＝20(cm),BC ＝12×30＝15(cm)．由勾股定理,得EC ＝202＋152＝25(cm)． (2)如图②,连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝673 cm>25 cm. (3)如图③,连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝122＋（30＋8＋15）2＝ 2 953(cm)>25 cm. 综上可知,小虫爬行的最短路程是25 cm.。

新北师大版八年级上学期《第一章勾股定理》同步练习题一、选择题1.如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是【】A．6 B．7 C．8 D．92.如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是平【】A.40cm B．202cm C．20cm D ．102 cm3.如图，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=46，则PE+PF的长是【】A．46B．6 C．42D．264.点P在等腰Rt△ABC的斜边AB所在直线上，若记：k=AP2+BP2，则【】A.满足条件k ＜2CP2的点P有且只有一个 B.满足条件k＜2CP2的点P有无数个 C.满足条件k=2CP2的点P有有限个 D.对直线AB上的所有点P，都有k=2CP25.如图，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是【】A．Sl +S2＞S3B．Sl+S2＜S3C．S1+S2=S3D．S12+S22=S326.如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是【】A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④7. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是【】A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.58.如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是【】A．217 B．25 C．42 D．79.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，43第1题图第2题图第3题图第5题图10.已知△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高AD=8，则边BC 的长为【 】 A ．21 B ．15 C ．6 D ．以上答案都不对 11.如图：在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，且EF ∥BC 交AC 于M ，若CM=5，则CE 2+CF 2等于【 】A ．75 B ．100 C ．120 D ．12512. 如图，正方形网格中，每个正方形的顶点叫格点，每个小正方形的边长为1，则以格点为顶点的三角形中，三边长都是整数的三角形的个数是【 】 A ．4 B ．8 C ．16 D ．2013.如图，P 为等腰△ABC 内一点，过点P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，已知AB=AC=10，BC=12，且PD ：PE ：PF=1：3：3，则AP 的长为【 】A ．43B ． 203C ．7D ．814. 如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是【 】 A ．52 B ．42 C ．76 D ．7215. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为【 】 A ．90 B ．100 C ．110 D ．121 二，填空题16.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕第11题图第12题图第13题图第14题图第6题图第7题图第8题图第9题图一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．17. 如图，△ABC 中，AB=AC=2，若P 为BC 的中点，则AP2+BP•PC 的值为 ；若BC 边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，记mi=APi2+BPi•PiC（i=1，2，…，100），则m1+m2+…+m100的值为 ．18.直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．设S△ABC=S，a+b+c=L ，则S 与L 的比SL蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a+b-c 的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表： 三边a 、b 、c a+b-c L S S/L 3、4、5 2 12 6 1/2 6、8、10 4 24 24 1 5、12、13 4 30 30 1 8、15、17 6 40 48 3/2 12、16、20 8 4896 2 … … … ………若a+b-c=m ，则观察上表我们可以猜想出SL= （用含m 的代数式表示） 19.如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm ．20.图中所示是一条宽为1.5m 的直角走廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板面ABCD 的宽AB 为1m ，若要想顺利推过（不可竖起来或侧翻）直角走廊，平板车的长AD 不能超过 m ．21.如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D 是BC 的中点，且它关于AC 的对称点是D′，则BD′= ． 三、解答题（必须有必要的解答过程）22. 如图，在一棵树CD 的10m 高处的B 点有两只猴子，它们都要到A 处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m 处的池塘A 处，另一只猴子爬到树顶D 后直线跃入池塘的A 处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？ 第16题图第17题图第19题图第20题图第21题图23.如图，在一张长方形ABCD纸张中，一边BC折叠后落在对角线BD上，点E为折痕与边CD的交点，若AB=5，BC=12，求图中阴影部分的面积．24.如图，AD是已知△ABC中BC边上的高．P是AD上任意一点，当P从A向D移动时，线段PB、PC的长都在变化，试探索PB2-PC2的值如何变化？25.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．26.定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．27.我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是12(9−1)，12(9+1)；勾是五时，股和弦的算式分别是12(25−1)，12(25+1)．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦．28. 大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，其一腰上的高为h ，M 是底边BC 上的任意一点，M 到腰AB 、AC 的距离分别为h1、h2．（1）请你结合图形来证明：12h h h +=；（2）当点M 在BC 延长线上时，12h h 、、h 之间又有什么样的结论．请你画出图形，写出结论并证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线1l ：y=34x+3，2l ：y=-3x+3，若2l 上的一点M 到1l 的距离是32．求点M 的坐标．。

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如果梯子的底端离建筑物5m，那么13m长的梯子可以达到建筑物的高度是( )A.10mB.11mC.12mD.13m2、如图，有两棵树，一棵高5米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树飞到另一棵树的树梢，至少飞了( )米。

A. 米B.5 米C.4米D. 米3、如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（）A. B. C. D.4、在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（）A.a＝，b＝，c＝B.a＝b，∠C＝45°C.∠A：∠B：∠C＝3：4：5D.a＝，b＝，c＝25、在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A.13B.12C.4D.106、如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（）A.5B.7C.9D.117、如图，一艘船由A港沿北偏西60°方向航行10海里至B港，然后再沿北偏东30°方向航行10海里至C港．则下列说法正确的是（）A.C港在A港的南偏西30°方向上B.C港在A港的北偏西30°方向上 C.C港在A港的北偏西15°方向上 D.C港在A港的南偏西15°方向上8、以下列各组数据中，能构成直角三角形的是（）A.2，3，4B.3，4，7C.5，12，13D.1，2，39、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（）A.10B.8C.5D.310、已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是（）A.5B.C.D. 或511、已知△ABC的三边分别长为a,b,c，且满足，则△ABC是（）.A.以a为斜边的直角三角形B.以b为斜边的直角三角形C.以c为斜边的直角三角形D.不是直角三角形12、已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（）A.24cm 2B.30cm 2C.40cm 2D.48cm 213、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）A. B. C. D.14、将直角三角形的三条边长同时扩大为原来的2倍，得到的三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.无法确定15、如图，顺次连接矩形ABCD各边中点,得到四边形EFGH，若AD＝2AB，则下列结论错误的是( )A.四边形EFGH为菱形B.S四边形ABCD ＝2S四边形EFGHC.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形中，点分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点恰好落在上的同一点，记为点F.若，，则________.17、直角三角形两直角边长分别为，，则斜边长为________．18、如图，矩形AOBC的边OA，OB分别在x轴，y轴上，点C的坐标为（﹣2，4），将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为________．19、如图，已知直线AB与⊙O相交于A、B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB=________．20、某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要________元．21、如图，在 3×3 的正方形网格中标出了∠1 和∠2，则∠2－∠1=________°22、如图,已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD 的长为________cm.23、菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2014秒时，点P的坐标为________．24、如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为4，则弦AB的长为________．25、如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是________ cm．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．27、深圳市民中心广场上有旗杆如图①所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图②，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为16米，落在斜坡上的影长CD为8米，AB⊥BC；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°。

第3课时 一定是直角三角形吗?A 考点训练 确保基本分知识点一 勾股定理的逆定理1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A ．1.5，2，3B ．7，24，25C ．6，8，10D ．9，12，152．在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别是a ，b ，c ，且222a b c -=，则下列说法正确的是( )A ．C ∠是直角B ．B ∠是直角C ．A ∠是直角D ．A ∠是钝角3．三角形三边长分别为22a b +，22a b -，2(ab a b >，a 、b 都为正整数），则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定4．如图，正方形网格中有ABC ∆，若小正方形的面积为1，则ABC ∆的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对5．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里500=米，则该沙田的面积为( )A ．7.5平方千米B ．15平方千米C ．75平方千米D ．750平方千米6．在ABC ∆中，12AB cm =，16BC cm =，20AC cm =，则ABC ∆的面积是 ．7．已知：在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出哪一个角是直角？（1）3a 22b =5c =；（2）5a =，7b =，9c =；（3）2a =，3b =，7c =；（4）5a =，26b =，1c =．8．如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现8AB DC m ==，6AD BC m ==，9AC m =，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？知识点二 勾股数9．下列各组数是勾股数的是( )A ．2，3，4B ．0.3，0.4，0.5C ．7，24，25D ．13，14，1510．所谓的勾股数就是指使等式222a b c +=成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m 、()n m n >，取22a m n =-，2b mn =，22c m n =+，则a 、b 、c 就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和 组成一组勾股数．11．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，⋯，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；⋯，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 ， ， ．B 综合运用 挑战高分12．如图，两艘船从同一港口O 同时出发，一号舰沿南偏西30︒方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A ，B 两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是( )A ．南偏东30︒B ．北偏东30︒C ．南偏东60︒D ．南偏西60︒13．如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠+∠= ︒（点A ，B ，P 是网格线交点）．14．如图，在ABC ∆中，4AB =，3AC =，DE 是BC 的垂直平分线，交BC 于点D ，交AB于点E ，AF BC ⊥于点F ．（1）若90BAC ∠=︒，求AE 的长；（2）若0.7DF =，求证：ABC ∆为直角三角形．C 拓展延伸 冲刺满分15．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：22221()21().2a m n b mnc m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中0m n >>，m ，n 是互质的奇数． 应用：当1n =时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．第3课时 一定是直角三角形吗?参考答案与试题解析一．试题（共15小题）1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A ．1.5，2，3B ．7，24，25C ．6，8，10D ．9，12，15解：A 、2221.523+≠，不符合勾股定理的逆定理，故正确；B 、22272425+=，符合勾股定理的逆定理，故错误；C 、2226810+=，符合勾股定理的逆定理，故错误；D 、22291215+=，符合勾股定理的逆定理，故错误．故选：A ．2．在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别是a ，b ，c ，且222a b c -=，则下列说法正确的是( )A ．C ∠是直角B ．B ∠是直角C ．A ∠是直角D ．A ∠是钝角 解：如果222a b c -=，则ABC ∆是直角三角形，且90A ∠=︒；故选：C ．3．三角形三边长分别为22a b +，22a b -，2(ab a b >，a 、b 都为正整数），则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解：22224224224224222()(2)242()a b ab a a b b a b a a b b a b -+=-++=++=+．∴这个三角形是直角三角形．故选：A ．4．如图，正方形网格中有ABC ∆，若小正方形的面积为1，则ABC ∆的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对解：正方形小方格边长为1，2221865BC ∴=+=，2223213AC =+=，2226452AB =+=，在ABC ∆中，222AB AC BC +=，ABC ∴∆是直角三角形．故选：A ．5．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里500=米，则该沙田的面积为( )A ．7.5平方千米B ．15平方千米C ．75平方千米D ．750平方千米 解：22251213+=，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：155001250075000002⨯⨯⨯⨯=（平方米）7.5=（平方千米）． 故选：A ．6．在ABC ∆中，12AB cm =，16BC cm =，20AC cm =，则ABC ∆的面积是 296cm ． 解：222121620+=，∴根据勾股定理的逆定理，三角形ABC ∆是直角三角形，两直角边为12cm 和16cm ， 所以面积21121696()2cm =⨯⨯=． 故答案为：296cm ．7．已知：在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出哪一个角是直角？（1）a b =c =；（2）5a =，7b =，9c =；（3）2a =，b c =（4）5a =，b =1c =．解：（1）3a =，b =c =，23a ∴=，28b =，25c =，358+=，222a c b ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，90B ∠=︒；（2）5a =，7b =，9c =，225a ∴=，249b =，281c =．25497481+=≠，∴此三角形不是直角三角形；（3）2a =，3b =，7c =，24a ∴=，23b =，27c =．437+=，222a b c ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，90C ∠=︒；（4）5a =，26b =，1c =，225a ∴=，224b =，21c =．24125+=，222b c a ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，90A ∠=︒．8．如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现8AB DC m ==，6AD BC m ==，9AC m =，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解：8AB DC m ==，6AD BC m ==2222866436100AB AD ∴+=+=+=，而22981AC ==，222AB AD AC ∴+≠，90ABC ∴∠≠︒∴该农民挖的不合格．9．下列各组数是勾股数的是( )A ．2，3，4B ．0.3，0.4，0.5C ．7，24，25D ．13，14，15解A 、222234+≠，∴不是勾股数，故此选项错误；B 、2220.30.40.5+=，但不是正整数，∴不是勾股数，故此选项错误；C 、22272425+=，∴是勾股数，故此选项正确；D 、222111()()()345+≠，∴不是勾股数，故此选项错误； 故选：C ．10．所谓的勾股数就是指使等式222a b c +=成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m 、()n m n >，取22a m n =-，2b mn =，22c m n =+，则a 、b 、c 就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和 13 组成一组勾股数．解：由题意2285284m n mn ⎧+=⎨=⎩， m n >，解得7m =，6n =227613-=，85∴（三个数中最大）、84和13组成一组勾股数． 故答案为：13．11．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，⋯，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；⋯，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 5，12，13 ， ， ．解：符合222a b c +=即可，例如5，12，13；8，15，17；9，40，41．（答案不唯一）12．如图，两艘船从同一港口O 同时出发，一号舰沿南偏西30︒方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A ，B 两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是( )A ．南偏东30︒B ．北偏东30︒C ．南偏东60︒D ．南偏西60︒ 解：由题意可得：16 1.524BO =⨯=（海里），12 1.518AO =⨯=（海里），30AB =海里， 则此时：222AO BO AB +=，故AOB ∆是直角三角形，则90BOA ∠=︒，30AOD ∠=︒，60DOB ∴∠=︒，2∴号舰的航行方向是：南偏东60︒．故选：C ．13．如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠+∠= 45 ︒（点A ，B ，P 是网格线交点）．解：延长AP 交格点于D ，连接BD ，则222125PD BD ==+=，2221310PB =+=，222PD DB PB ∴+=，90PDB ∴∠=︒，45DPB PAB PBA ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：45．14．如图，在ABC ∆中，4AB =，3AC =，DE 是BC 的垂直平分线，交BC 于点D ，交AB于点E ，AF BC ⊥于点F ．（1）若90BAC ∠=︒，求AE 的长；（2）若0.7DF =，求证：ABC ∆为直角三角形．解：（1）连接CE ，设AE x =，4AB =，4BE x ∴=-， DE 是BC 的垂直平分线，4CE BE x ∴==-，90BAC ∠=︒，3AC =，2223(4)x x ∴+=-，78x ∴=，即78AE =．（2）证明：设BD y =，则CD y =，0.7DF =，0.7BF y ∴=+，0.7CF y =-，AF BC ⊥，22222AB BF AC CF AF ∴-=-=，22224(0.7)3(0.7)y y ∴-+=--，2.5y ∴=，5BC ∴=，222345+=，ABC ∴∆为直角三角形．15．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：22221()21().2a m n b mnc m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中0m n >>，m ，n 是互质的奇数． 应用：当1n =时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．解：当1n =，21(1)2a m =-①，b m =②，21(1)2c m =+③， 直角三角形有一边长为5，∴Ⅰ、当5a =时，21(1)52m -=，解得：11m =（舍去）， Ⅱ、当5b =时，即5m =，代入①③得，12a =，13c =，Ⅲ、当5c =时，21(1)52m +=，解得：3m =±， 0m >，3m ∴=，代入①②得，4a =，3b =，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．。