第三章 导数及其应用
一、变化率与导数
()()()()()()()()
000000000000000
10,0lim
lim lim
.
x x x x x y f x x x x x y
y x x x x
x y x x f x x f x y
x x
y x x f x y f x x f x f x x
∆→∆→=∆→==∆∆≠∆∆+∆∆∆→=+∆-∆=∆∆=+∆-=∆＇＇＇、定义：设在处取得一个增量.
函数值也得到一个增量称
为从到的平均变化率.若当时时，有极限存在，则称此极限值为函数在处的瞬时变化率，记为，也称为函
数在处的导数，记作或,即
()0y f x x x ==说明：导数即为函数在处的瞬时变化率.
()()00.
PT x f x P PT f x k ∆→=＇2、几何意义:时，Q 沿图像无限趋近于点时，切线的斜率.即
()()()()003==lim
lim .
x x f x x f x y
y f x y f x y x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆＇＇＇＇、导函数（简称为导数）
称为导函数，记作，即
二、常见函数的导数公式
1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；
2 若()f x x α=,则1
()f x x αα-'=;
3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=
4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;
5 若()x f x a =,则()ln x
f x a a '=
6 若()x f x e =,则()x
f x e '=
7 若()log x
a f x =,则1
()ln f x x a '=
1
三、导数的运算法则
1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±
2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•
3. 2
()()()()()
[
]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'=
四、复合函数求导
()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数，则
五、导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
（1）在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.
()()()()()()()()()()()()()()33=0000,000,f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f f x f x x ==>==>=＇＇＇＇＇＇＇＇说明：①若在定义域区间上不是单调的，则常常用的点划分的单调区间.
②若在某个区间恒有，则是常函数；若在某个区间内只有有限个点使，其余恒有则仍为增函数.
例如：在R 上有，其余恒有，仍为R 上的增函数，
其函数图像为：
()()()()20.0.f x f x f x f x ><＇＇＇（）求单调区间的步骤：
①求的定义域；②求导；
③令，解集在定义域内的部分为增区间④令，解集在定义域内的部分为减区间
“”“”“”“”.说明：当函数有多个递增区间或递减区间时，不能用、或相连，应该用，隔开或用和
(())()
y f g x g x '''=•
()()()()3“00?f x f x f x f x ≥≤＇＇（）一种常见的题型：
已知函数的单调性求参数的取值范围，利用若单调递增，则；若单调递减，则来求解，注意等号不能省略，否则可能漏解！
2.函数的极值与导数 （1）极大、极小值得定义：
()()()()()00000=0.x f x f x f x f x f x x <①若对附近的所有的点，都有且，则称是函数的一个极 大值称是极大值点.
()()()()()00000=0.x f x f x f x f x f x x >②若对附近的所有的点，都有且，则称是函数的一个极 小值称是极小值点.
说明：极大值与极小值统称为极值，极大值与极小值点统称为极值点，极值点是实数而不是点.
（2）求函数的极值的步骤：
()()()()()()()()()()00000000=0I 0,0,;II 0,0,;III f x f x x x f x x f x f x f x x f x f x f x x f x x <>><＇＇＇＇＇＇＇①确定定义区间，求导；②求方程的解；③检查左右两边的符号：
、如果在附近的左侧右侧那么是极大值、如果在附近的左侧右侧那么是极小值、如果在左右两侧导函数不改变符号，那么在处无极值.
说明：在解答过程中通常用列表：
3、函数的最值与导数
求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 ①求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；
②将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.
说明：“最值”是整体概念，“极值”是个局部概念.
4、生活中的优化问题
解决优化问题的基本思路：
()()()()()()()()()()()()
()()()()()()()()()
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“”1020
30x x n n n n f x f x e f x e f x f x xf x f x xf x xf x f x xf x nf x x f x x f x nx f x x xf x nf x x --⎡⎤⎡⎤+≥=+⎣⎦⎣⎦
+≥=+⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎡⎤+≥=+=+⎣⎦⎣⎦
扩展：常见的导函数构造函数型：1、关系式为加型
构造构造构造注意对的符号进行讨论
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22/
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2/
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21“”10
2030x x x x x n n n n n f x f x e f x e f x f x f x f x e e e f x xf x f x xf x f x x x f x x f x nx f x xf x nf x xf x nf x x x x x -+⎡⎤--⎢⎥-≥==⎢⎥⎣⎦
-⎡⎤-≥=
⎢⎥⎣⎦
--⎡⎤-≥==⎢⎥⎣⎦2、关系式为减型
构造构造构造注意对的符号进行讨论
