第一章
集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义及表示方法
1.集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.
2.集合中元素的三大特征：①确定性；②互异性；③无序性.
确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；
互异性：集合中的元素必须是互不相同的，即不重复出现的；
无序性：元素完全相同的两个集合相等，与列举的顺序无关.
3. 集合与元素之间的关系
通常用大写字母表示集合，小写字母表示元素.
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a A
∈，
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A
∉，
因此元素a与集合A的关系是a A
∈，或者a A
∉，两者必居其一.
4. 集合的表示方法：自然语言，列举法，描述法.
自然语言：我们可以用自然语言（大白话）描述一个集合.
例如：全体非负整数组成的集合称为非负整数集（也称自然数集），记作N；
*
N或N
表示正整数集；
+
Z表示整数集；
R表示实数集，
Q 表示有理数集.
列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
如：{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
描述法：有些集合中的元素是列举不完的，但集合中的元素有共同的特征，我们可以用元素所具有的共同特征来描述这个集合. 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
例如：不等式12x -<的解集中，元素的共同特征是：x R ∈，且3x <，就可把解集表示为集合{3}D x R x =∈<或{3,}D x x x R =<∈
5.集合里面仍然可以是一个集合.
集合可以看作一个箱子，箱子里面可以装很多小箱子.小箱子可以看作是大箱子中的元素.
例如：{{1},{2},{3}}A =，则{1}A ∈.
1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素中都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇）.
读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.
2.真子集：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ）.
3.两集合相等：如果A B ⊆，且B A ⊆，则A B =.
4.空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集.
5.集合间基本关系常用结论：
（1）任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆；
（2）对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆.
6.Venn 图（韦恩图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图.如下图，集合A B ⊆可以用这个韦恩图来表示.
1.并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A B （读作“A 并B ”），即： {A B x x A =∈，或}x B ∈.
2.交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作A B （读作“A 交B ”），即： {A B x x A =∈，且}x B ∈.
3.补集：
①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U .
②补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U A ，即：{U A x x U =∈，且}x A ∉.
可用如下韦恩图表示：
4.集合中元素的个数
通常用()card A 来表示有限集合A 中元素的个数，如{,,}A a b c =，则()3card A =.
一般地，对任意两个有限集合A ，B ，有：
()()()()card A B card A card B card A B =+-.
5.一个集合的子集个数，真子集个数
若一个集合中含有n 个元素，则这个集合有2n 个子集，由21n -个非空子集，有21n -个真子集，有22n -个非空真子集.
例如{,,}A a b c =，则集合A 的子集有：∅，{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c ，{,,}a b c 共328=个.
1.2.1 函数的概念
1. 函数的定义：
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()
f x 和它对应，那么就称:f A B
→为从集合A到集合B的一个函数，记作=∈.
y f x x A
(),
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{(),}
∈叫做函
f x x A
数的值域.
显然，值域是集合B的子集.
2.区间：集合的简写形式
a b x a x b
=≤≤，a b
[,]{}
<；
a b x a x b
=<≤，a b
(,]{}
<；
=≤<，a b
[,){}
a b x a x b
<；
+∞=≥；
a x x a
[,){}
-∞=≤.
a x x a
(,]{}
3. 函数的三要素：定义域，对应法则，值域.
其中定义域和对应法则决定了值域.
判定两个函数是否相同：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.
