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一元二次函数的定义

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精品文本 星火教育讲义

教学步骤：

一、新授内容

1.二次函数的概念及图象

定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.

图像：在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b2a)2+ 4a24ac-b的形式,先确定顶点(-b2a,4a24ac-b),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.

2.理解二次函数的性质

二次函数cbxaxy2用配方法可化成：abacabxay44222的形式，

其中对称轴是直线，abx2 顶点坐标为（- ab2，abac442）

抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大 教师姓名 李俊方 学生姓名 周龙 上课时间 2012-10-04

年级 初三 学科 数学 课时计划 第（ 5 ）课

教学内容 一元二次函数的定义及性质

教学重难点 二次函数的定义

教学目标 理解二次函数的概念和定义，掌握二次函数的表达式

审核 校区主任： 时间： .

精品文本 而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b2a时,y最小值=4a24ac-b;反之当a<•0时,简记左增右减,当x=-b2a时y最大值=4a24ac-b.

3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法

一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y•的值)•可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x•轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解.

【例1】 函数y=（m＋2）x22m＋2x－1是二次函数，则m= ．

【例2】 下列函数中是二次函数的有（ ）

①y=x＋x1；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=21x＋x．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【例3】正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式．

1、已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式．

2、已知正方形的周长是x，面积为y，求y与x之间的函数表达式．

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精品文本

3、已知正方形的边长为x，若边长增加5，求面积y与x的函数表达式．

【例4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y（元）与年利率x的函数表达式．

【例5】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x，请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式．

【例6】如图2-1-1，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一点，QP⊥AP交DC于Q，如果BP=x，△ADQ的面积为y，用含x的代数式表示y．

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精品文本

【例7】某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元，进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元．在销售过程中发现，当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）．

（1）试写出y与x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（2）试写出z与x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（3）计算销售单价为160元时的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元．请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？

【例8】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：

（1）在第n个图中，第一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有

块瓷砖（均用含n的代数式表示）； .

精品文本 （2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；

（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；

（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？

（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？

二、课堂训练

1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a

时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．

2．当m 时，y=（m－2）x22m是二次函数．

3．已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系．

4．已知：一等腰直角三角形的面积为S，请写出S与其斜边长a的关系表达式，并分别求出a=1，a=2，a=2时三角形的面积．

5．在物理学内容中，如果某一物体质量为m，它运动时的能量E与它的运.

精品文本 动速度v之间的关系是E=21mv2（m为定值）．

（1）若物体质量为1，填表表示物体在v取下列值时，E的取值：

v 1 2 3 4 5 6 7 8

E

（2）若物体的运动速度变为原来的2倍，则它运动时的能量E扩大为原来的多少倍？

6．下列不是二次函数的是（ ）

A．y=3x2＋4 B．y=－31x2 C．y=52x D．y=（x＋1）（x－2）

7．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）

A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n

C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数

8．半径为3的圆，如果半径增加2x，则面积S与x之间的函数表达式为（ ）

A．S=2π（x＋3）2 B．S=9π＋x C．S=4πx2＋12x＋9 D．S=4πx2＋12x＋9π

9．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）模型的是（ ）

A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系

C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）

D．圆的周长与圆的半径之间的关系．

10．下列函数中，二次函数是（ ） .

精品文本 A．y=6x2＋1 B．y=6x＋1 C．y=x6＋1 D．y=26x＋1

11．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y与高x的表达式；（2）求x的取值范围．

12．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R，通过的电流强度为I，则导线在单位时间所产生的热量Q=RI2．若某段导线电阻为0．5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= ．

三、课后作业

13．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？

14．某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为a（m），则正方体需要涂漆的表面积S（m2）如何表示？

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精品文本

15．⑴已知：如图菱形ABCD中，∠A=60°，边长为a，求其面积S与边长a的函数表达式．

⑵菱形ABCD，若两对角线长a：b=1：3，请你用含a的代数式表示其面积S．

⑶菱形ABCD，∠A=60°，对角线BD=a，求其面积S与a的函数表达式．

16．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．点P从点A开始沿AB方向向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．

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精品文本 17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．

（1）AE用含y的代数式表示为：AE= ；

（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；

（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．

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017-从函数的角度看一元二次方程

017-从函数的角度看一元二次方程

2022 017

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§3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

3.3.1 从函数观点看一元二次方程

学习目标 1.正确理解二次函数零点的概念.2.理解一元二次方程与二次函数的关系.3.掌握图象法解一元二次方程．

知识点一 二次函数的零点

1．定义：一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的 ，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点．

2．关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的 ⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的 ．

提醒 零点不是点，指的是一个实数．

知识点二 一元二次方程的根与二次函数的图象、零点间的关系

Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 x1,2＝－b±b2－4ac2a x1＝x2＝－b2a 无根

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 －b±b2－4ac2a －b2a 无零点

1．所有的二次函数都有零点．( )

2．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等实根x1，x2，则函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点为(x1,0)，(x2,0)．( )

3．二次函数y＝x2－1的零点为－1,1.( ) 2022 017

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4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ>0时有两个零点．( )

一、求二次函数的零点

例1 求下列函数的零点：

一元二次方程和二次函数的区别

一元二次方程和二次函数的区别

- 1 - 一元二次方程和二次函数的区别

一元二次方程和二次函数是微积分中重要的概念，它们是解决一元二次方程的有效方法。尽管它们有很多共性，但也存在很多不同之处。本文旨在对一元二次方程和二次函数的概念，定义，关系和区别进行探讨，以便更好地理解它们。

一元二次方程可以定义为一个变量的一元二次多项式，它的标准形式为ax2+bx+c=0，其中a，b，c都是常数。它的解法是求平方根，当a，b，c都不为零时，它的解可以写成x=（-b±√b2-4ac）/2a。

而二次函数是在二维坐标系上表示一个函数图像的方式，它的定义为：y=ax2+bx+c，其中a，b，c都是常数，也可以写成y=f(x)，其中f(x)表示一元二次多项式。

一元二次方程和二次函数的最大的关系在于，一元二次多项式是二次函数的表达式，它们有着相同的解。因此，一元二次方程和二次函数可以互相转换，从而更好地理解。

一元二次方程和二次函数之间存在一些不同之处。首先，一元二次方程是一元二次多项式的形式，而二次函数是一元二次多项式在二维坐标系上表示的函数图像。其次，解一元二次方程的方法是求平方根，而求解二次函数的过程是求一元二次多项式的根。另外，一元二次方程可求出实数解，而二次函数可求出实数解和虚数解。

综上所述，一元二次方程和二次函数有共性，也有不同之处。一元二次方程是一个一元二次多项式，而二次函数则是该多项式在二维坐标系上表示的函数图像。它们可以相互转换，以便更好地理解它们， - 2 - 但它们的解法也有所不同。由此可见，以上两个概念具有各自的重要性，可以用于解决不同的问题。

一元二次方程定义

一元二次方程定义

博学笃行 自强不息

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一元二次方程定义

一元二次方程是高中数学中比较重要且常见的一个概念，它是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知实数，且a ≠ 0。在一元二次方程中，x是未知数，我们需要通过解方程来确定x的值。这个过程涉及到一系列的解法和概念，本文将详细介绍一元二次方程的定义、性质以及解法。

一元二次方程的定义是指方程的形式。根据定义，一元二次方程的最高次项是x的平方，且系数不为0。这意味着方程的图像是一个二次曲线，通常是抛物线。方程中的a、b、c分别代表已知的实数，其中a通常被称为二次项系数，b被称为一次项系数，c被称为常数项。方程的解是使得方程两侧相等的所有x值。

一元二次方程的解可以通过多种方法求得，并且可以有不同类型的解。常见的解法包括因式分解、配方法、求根公式和完成平方等。

第一种解法是因式分解。当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式相乘的形式时，可以通过将方程两侧的表达式分解为两个因式之积，然后令这两个因式分别等于0，求解得到方程的解。

第二种解法是配方法，也叫做补全平方。通过将方程两侧配方，使得方程左侧成为一个完全平方的表达式，然后再通过求平方根的方法求解方程。 博学笃行 自强不息

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第三种解法是求根公式。一元二次方程有一个非常重要的公式——求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)。通过将方程的系数代入公式，可以求得方程的根。

第四种解法是完成平方。通过将方程两侧进行平方差展开，使得方程左侧成为一个完全平方的二次多项式，然后使用求平方根的方法求解方程。

除了这些解法之外，一元二次方程还有一些重要的性质。首先，二次方程的解的个数与方程的判别式有关。判别式是方程中的b² -

4ac，通过判别式的值可以判断方程的解的情况。当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程没有实数解，但有复数解。这个性质可以帮助我们判断一元二次方程的解的情况。

一元二次函数定义域的求法

一元二次函数定义域的求法

一元二次函数定义域的求法

大家好，今天咱们聊聊一元二次函数的定义域是怎么求的。你可能会想，哎呀，啥是定义域？难不成又是某个高大上的数学术语？别紧张，咱们把它给捋顺了。定义域就是指，那个让函数有意义的所有x值的范围。比如说，你去买一个苹果，商店里苹果摆得满满的，那苹果的“定义域”就是所有你能挑的苹果的个数。而如果咱们说这个函数的定义域，那就是告诉你：你能往这个函数里放多少种不同的x，才能不让它“崩溃”。什么意思？就是说，咱们不想给函数塞进去一个根本不能搞的x，让它炸掉，明白吧？

咱们说一元二次函数，一般都长得那样：( f(x) = ax^2 + bx + c )，看起来是不是很简洁，像个化学式一样？不过，你别被它的外表迷了眼，它可没那么简单，里面的奥秘可大着呢。这种函数的定义域其实是一个很简单的问题，基本上你不用担心它会很复杂。因为一元二次函数在现实生活中，几乎是个“万能牌”，你随便给个x，它就能给你算出来f(x)，不会发生什么特别糟糕的情况。

好啦，我们就得聊聊那些可能让人头疼的“坑”。有些函数，不是每个x值都能用。比方说，咱们遇到一个带有平方根的函数，比如 ( f(x) = sqrt{x 3 )，你会发现，嘿，这玩意儿对负数可不行！你想试试 x = 2 吗？不好意思，算出来会出现虚数，显然这不是咱们的菜。所以，定义域就得考虑这些“根本不让你做”的情况。举个例子，咱们要确保

x 3 要大于或等于零，才能算平方根。你能理解吧？就是说，3往前的数都不能来，要不然你就拿不出正数了，怪麻烦的。

一元二次函数的定义域就是这么简单吗？其实不然。如果你遇到的是带分母的函数，比如说 ( f(x) = frac{1{x2 )，那就要小心了！这里的x不能是2，因为分母不能为零，不

然结果就会“炸”掉，完全没有意义了。是不是又发现了新的坑？不过没关系，咱们这就会好好避开它。

不过说实话，对于标准的一元二次函数 ( ax^2 + bx + c )，它的定义域几乎就是全体实数。你给它多少x，它都能好好算出来。无论x是正数、负数还是零，它都能完美地处理。再说，毕竟一元二次函数的图像是个抛物线，左右两边都开得好好的，意味着它能“接受”任何实数作为输入，没啥限制。所以呢，这时候你就可以安心地把x的范围写成：( (infty, +infty) )，就是从负无穷到正无穷，想想都舒服。