遂宁市高中2021届第二学期教学水平监测
数 学 试 题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求） 1．设,,a b c R ∈，且a b c ，则下列各不等式中恒成立的是
A ．bc ac >
B ．b
c C ．22b a >
D ．a c b c
2．已知各项均为正数的等比数列n b ，若3716b b ⋅=，则5b 的值为 A ．-4 B ．4 C ． 4 D ．0
3．已知(sin15,sin 75)a =，(cos30,sin 30)b =，则a b ⋅=
A ．2．2 C ．12 D ．1
2
-4．已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足sin sinC A
且3
ABC S ∆=
，则△ABC A ．一定是等腰非等边三角形 B ．一定是等边三角形 C ．一定是直角三角形
D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．在ABC Δ中，D 是BC 上一点，且1
3
BD
BC ，则AD = A ．13AB AC + B ．1
3AB AC -
C ．2133AB AC +
D ．12
33AB AC +
6．若4sin cos 3αα+=
，且(0,)4
π
α∈，则sin cos αα-的值是 A ．23-
B ．32-
C ．3
2
D ．23± 7．右图中，小方格是边长为1的正方形， 图中粗线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为 A ．182 B ．16
C ．
1112 D ．223
8．已知0,0x y >>，且2x y xy += ，则42x y +的最小值为 A ．8 B ．12 C ．16 D ．20 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a B b A c C ，2CB ，
则CB 在CA 方向上的投影为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 10．下面结论中，正确结论的是
A ．存在两个不等实数,αβ，使得等式sin()sin sin αβαβ+=+成立
B ．4
sin sin y x x
=+
(0< x < π)的最小值为4 C ．若n S 是等比数列n a 的前n 项的和，则232,,n n n n n S S S S S
成等比数列
D ．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
若222a b c +>，则ABC ∆一定是锐角三角形
11．关于x 的不等式2
(2)10x
a x a 的解集中，恰有3个整数，
则a 的取值范围是
A ．]4,3(
B ．]5,4(
C ．[)
(]4,33,4-- D ．]5,4()2,3[ --
12．已知数列}{n a 的前n 项和为21n
S n n ，
令()1cos
2
n n n b a π
+=，记数列}{n b 的前n 项为n T ，则2019
T
A ．2020
B ．2019
C ．2018
D ．2017
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知向量1,,2,1a
x b ，若a b ⊥，则x ▲
14．计算：
1tan15
1tan15
+-= ▲
15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若553
S π
=
，则24cos()a a += ▲
16．一湖中有不在同一直线的三个小岛A 、B 、C ，前期为开发旅游资源在A 、B 、C 三岛之间已经
建有索道供游客观赏，经测量可知AB 两岛之间距离为3公里，BC 两岛之间距离为5公里，AC 两岛之间距离为7公里,现调查后发现，游客对在同一圆周上三岛A 、B 、C 且位于AC （优弧）一片的风景更加喜欢，但由于环保、安全等其他原因，没办法尽可能一次游览更大面积的湖面风光，现决定在AC 上选择一个点D 建立索道供游客游览，经研究论证为使得游览面积最大，只需使得△ADC 面积最大即可.则当△ADC 面积最大时建立索道AD 的长为 ▲ 公里.（注：索道两端之间的长度视为线段）
三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）
已知向量()1,1,2,a b =-=
且()
24a b b +⋅=，
（Ⅰ）求向量a 与b 的夹角；
